現(xiàn)代控制理論第6章

1、6.1 6.1 概述概述6.2 6.2 研究最優(yōu)控制的前提條件研究最優(yōu)控制的前提條件6.1 3 6.1 3 線性二次型次優(yōu)控制問線性二次型次優(yōu)控制問 題題6.12 6.12 線性二次型最優(yōu)控制問線性二次型最優(yōu)控制問 題題6.3 6.3 靜態(tài)最優(yōu)化問題的解靜態(tài)最優(yōu)化問題的解6.10 6.10 雙積分系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)雙積分系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu) 控制控制6.11 6.11 動(dòng)態(tài)規(guī)劃法動(dòng)態(tài)規(guī)劃法6.9 Bang-Bang6.9 Bang-Bang控制控制6.8 6.8 極小值原理極小值原理6.4 6.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的最優(yōu)控離散時(shí)間系統(tǒng)的最優(yōu)控6.5 6.5 離散時(shí)間系統(tǒng)最優(yōu)控制的離散時(shí)間系統(tǒng)最優(yōu)控制的 離散

2、化處理離散化處理6.7 6.7 用變分法求解連續(xù)系統(tǒng)最用變分法求解連續(xù)系統(tǒng)最 優(yōu)控制問題優(yōu)控制問題- -有約束條件有約束條件 的泛函極值的泛函極值6.6 6.6 泛函及其極值泛函及其極值- -變分法變分法61 概述 所謂最優(yōu)化，原非新鮮概念，人們在從事某項(xiàng)工作時(shí)，總是想著采取最合理的方案或措施，以期收到最好的效果，這里就包含著最優(yōu)化問題。 求解動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題的方法主要有古典變分法，極小(大)值原理及動(dòng)態(tài)規(guī)劃法等。 動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題可以分為確定性和隨機(jī)性兩大類。在確定性問題中，沒有隨機(jī)變量，系統(tǒng)的參數(shù)都是確定的。本書只討論確定性最優(yōu)控制問題。對(duì)連續(xù)時(shí)問系統(tǒng)對(duì)離散時(shí)間系統(tǒng)（6）6.2 研究最優(yōu)控制的

3、前提條件在研究確定性系統(tǒng)的最優(yōu)控制時(shí)，前提條件是：1.給出受控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)描述，即狀態(tài)方程2.明確控制作用域 在工程實(shí)際問題中，控制矢量 往往不能在 空間中任意取值，而必須受到某些物理限制，例如，系統(tǒng)中的控制電壓，控制功率不能取得任意大。即 要滿足某些約束條件，這時(shí)，在 空間中，把所有滿足上式的點(diǎn) 的集合，記作：（7）這時(shí)，在 空間中，把所有滿足上式的點(diǎn) 的集合，記作：(8)U U稱為控制集。把滿足（9）的 稱為容許控制。3明確初始條件 通常，最優(yōu)控制系統(tǒng)的初始時(shí)刻 是給定的。如果初始狀態(tài) 稱固定始端。如果 是任意的，則稱自由始端。如果 必須滿足某些約束條件：相應(yīng)的始端集始端集為：此時(shí)， 則稱為

4、可變始端。4明確終端條件 類似于始端條件，固定終端是指終端時(shí)刻 和終端狀態(tài) 都是給定的。 自由端則是在給定 情況下， 可以任意取值不受限制?？勺兘K端則是指 的情況。其中是由約束條件 所形成的一個(gè)目標(biāo)集目標(biāo)集。5給出目標(biāo)泛函，即性能指標(biāo)對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，一般表示為：對(duì)離散時(shí)間系統(tǒng)，一般表示為： 上述形式的性能指標(biāo)，稱為綜合型或鮑爾扎型綜合型或鮑爾扎型。它由兩部分組成，等式右邊第一項(xiàng)反映對(duì)終端性能的要求，例如對(duì)目標(biāo)的允許偏差、脫靶情況等，稱為終端指標(biāo)函數(shù)；第二項(xiàng)中L L為狀態(tài)控制過程中對(duì)動(dòng)態(tài)品質(zhì)及能量或燃料消耗的要求等，稱為動(dòng)態(tài)指標(biāo)函數(shù)。若不考慮終端指標(biāo)函數(shù)項(xiàng) 則有： 這種形式的性能指標(biāo)稱為積分型或

5、拉格朗日型。若不考慮動(dòng)態(tài)指標(biāo)函數(shù)項(xiàng)， 則形如：稱為終端型終端型或梅耶型梅耶型。6.3 靜態(tài)最優(yōu)化問題的解 靜態(tài)最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)多元普通函數(shù)，其最優(yōu)解可以通過古典微分法對(duì)普通函數(shù)求極值的途徑解決。動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)泛函數(shù)，確定其最優(yōu)解要涉及古典變分法求泛函極值的問題。6.3.1 一元函數(shù)的極值 設(shè) 為定義在閉區(qū)間 上的實(shí)值連續(xù)可做函數(shù)，則存在極值點(diǎn) 的必要條件是：（21）為極小值點(diǎn)充要條件是：為極大值點(diǎn)充要條件是： 因?yàn)?的極小值和 的極大值等效，所以今后所有推導(dǎo)和結(jié)論，均以圾小化為準(zhǔn)。6.3.2 多元函數(shù)的極值 設(shè) 元函數(shù) 這里 為 維列向量。它取極值的必要條件是：至于取

6、極小值的充要條件，尚需滿足：或函數(shù)的梯度為零矢量。即下列海賽矩陣為正定矩陣。6.3.3 具有等式約束條件的極值 上面講的是無約束條件極值問題的求解方法。對(duì)于具有等式約束條件的極值問題，則要通過等效變換，化為無約束條件的極值問題來求解。設(shè)罐頭桶的幾何尺寸：高為 半徑為 則容積為：（29）給定鐵皮面積A=常量。要使罐頭桶容積為最大，必然要受條件：（30）的約束： 解此類問題的方法有多種，如嵌入法嵌入法(消元法)和拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法(增元法)等。1.嵌入法 先從約束條件式(30) 解出一個(gè)變量，例如 等，然后代入目標(biāo)函數(shù)式(29)得：(31)這樣就變成一個(gè)沒有約束條件的函數(shù)式。顯然，式(3

7、1)取極值的條件為：可解出極值點(diǎn)： 又因?yàn)?故上述極值點(diǎn)為極大值點(diǎn)。罐頭桶的最大容積為：2.拉格朗日乘子法6.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的最優(yōu)控6.4.1 基本形式 6.4.2 具有二次型性能指標(biāo)的線性系統(tǒng)65 離散時(shí)間系統(tǒng)最優(yōu)控制的離散化處理式中， 為終端代價(jià)函數(shù)，假定 是自由終端。最優(yōu)控制問題是在式(73)約束條件下，尋求 使式(74)為最小。 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：（73）目標(biāo)函數(shù)為：（74）6.6 泛函及其極值變分法6.6.1 變分法的基本概念1泛函 變分法是研究泛函極值問題的數(shù)學(xué)工具。什么叫泛函呢?通俗地說，泛函就是函數(shù)的函數(shù)。它是普通函數(shù)概念的一種擴(kuò)充。2.泛函的極值3.泛函的變分4泛函極值定理

8、6.6.2 泛函極值的必要條件歐拉方程求泛函6.6.3 多元泛函的極值條件6.6.4 可變端點(diǎn)問題6.6.5 具有綜合型性能泛函的情況67 用變分法求解連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制問題有約束條件的泛函極值6.7.1 拉格朗日問題6.7.2 波爾札問題6.8 極小值原理定理6.8.1 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為： 始端條件為：（1）控制約束為：（2）終端約束為：（3）性能泛函為：（4）取哈密頓函數(shù)為：（5） 則實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制的必要條件是，最優(yōu)控制 、最優(yōu)軌線 和最優(yōu)協(xié)態(tài)矢量 滿足下列關(guān)系式：1)沿最優(yōu)軌線滿足正則方程（6）（7）若則為：（8）2)在最優(yōu)軌線上，與最優(yōu)控制 相應(yīng)的H H 函數(shù)取絕對(duì)極小值，即或（9）3)H

9、函數(shù)在最優(yōu)軌線終點(diǎn)處的值決定于：沿最優(yōu)軌線，有（10）（11）這就是著名的極小值原理。4)協(xié)態(tài)終值滿足橫截條件：（12）5)滿足邊界條件：（13）6.9 Bang-Bang控制 定理69l 線性定常系統(tǒng)=(A A，B B，C C)，若存在時(shí)間最優(yōu) 控制，則該控制 是惟一的。，但都能以證明 用反證法。設(shè)存在兩個(gè)控制相同的最小時(shí)間 廣使系統(tǒng)完成從初值 到零狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，因此有： 令 作用下，系統(tǒng)在 時(shí)刻也將初值 轉(zhuǎn)移到原點(diǎn) 。即 所以w也是最小時(shí)間控制，根據(jù)前面的結(jié)論， 都是BangBang控制，又 不相等的時(shí)刻上，有 不是BangBang控制，與w()是最優(yōu)控制矛盾，因此有：這表明控制 是惟一的。

10、6.10 雙積分系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)控制設(shè)雙積分系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：求最優(yōu)控制 ,把系統(tǒng)從仞態(tài)轉(zhuǎn)移到終態(tài)，使 為極小。6.10.l 根據(jù)極小值原理確定最優(yōu)控制列出哈爾密頓函數(shù)為使H全局最小呵得最優(yōu)控制：由協(xié)態(tài)方程得： 在 是一直線，其四種可能形狀以及與之相應(yīng)的 ，如下圖所示。解得：故即顯而易見，可供選擇的最優(yōu)控制序列有下列四種：切換次數(shù)至多一次。切換時(shí)刻為： 6.10.2 狀態(tài)軌線及開關(guān)曲線 6.10.3 最優(yōu)控制律 為了使系統(tǒng)的狀態(tài)能以最小時(shí)間從初態(tài) 轉(zhuǎn)移到終態(tài)(0，0)。當(dāng)初態(tài)所劃位置不同時(shí)，應(yīng)當(dāng)采取的控制規(guī)律不同。但是，凡不在開關(guān)曲線上的點(diǎn)，至少要經(jīng)過一次切換，轉(zhuǎn)到開關(guān)曲線后才能沿著 +或-到達(dá)

11、原點(diǎn)(0，0)。因此，按照初態(tài) 所處的位置可得到下列最優(yōu)控制規(guī)律：若將開關(guān)曲線寫成：則最優(yōu)控制律可表示成：6.10.4 最優(yōu)控制律的工程實(shí)現(xiàn)6.10.5 最優(yōu)時(shí)間計(jì)算 基本方法是把狀態(tài)轉(zhuǎn)移軌線按控制序列分成若f段，逐段汁算所需時(shí)問然后求和。下面給出的是從初態(tài) 沿最優(yōu)軌線到軌線與開關(guān)曲線交點(diǎn)的時(shí)問，以及從交點(diǎn)沿開關(guān)曲線到達(dá)原點(diǎn)時(shí)間的計(jì)算公式在日前情況下，只要把這兩段時(shí)間加起來，即為狀態(tài)轉(zhuǎn)移的最小時(shí)間。6.11 動(dòng)態(tài)規(guī)劃法 動(dòng)態(tài)規(guī)劃是貝爾曼(Bellman)在 20世紀(jì) 50年代作為多段(步)決策過程研究出來的，現(xiàn)已在許多技術(shù)領(lǐng)域中獲得廣泛應(yīng)用。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的核心是最優(yōu)性原理。6.11.1 多段決策問

12、題6.11.2 離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃6.11.3 連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃 利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)性原理，可以推導(dǎo)出能泛函為極小應(yīng)滿足的條件哈密爾頓雅可比方程。即 綜上所述，可將連續(xù)型動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解最優(yōu)控制問題的步驟歸納如下：1)構(gòu)造哈密爾頓函數(shù)： 2)由上述條件解出的 的函數(shù)。3)將 代入哈密爾頓一貝爾曼方程，并根據(jù)邊界條件，解出 4)將 代回 ，即得最優(yōu)控制 它是狀態(tài)變量的函數(shù)，據(jù)此可實(shí)現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制。5)將 代入狀態(tài)方程，可進(jìn)一步解出最優(yōu)軌線6)再將 代人求得最優(yōu)性能泛函 。 6.12 線性二次型最優(yōu)控制問題6.12.1 二次型性能泛函二次型性能泛函的一般形式如下：6.12.2 有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題

13、狀態(tài)調(diào)節(jié)器的任務(wù)在于，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)由于任何原因偏離了平衡狀態(tài)時(shí)，能在不消耗過多能量的情況下，保持系統(tǒng)狀態(tài)各分量仍接近于平衡狀態(tài)。在研究這類問題時(shí)，通常是把初始狀態(tài)矢量看作擾動(dòng)，而把零狀態(tài)取作平衡狀態(tài)。于是調(diào)節(jié)器問題就變?yōu)閷で笞顑?yōu)控制規(guī)律u，在有限的時(shí)間區(qū)間 內(nèi)，將系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零點(diǎn)附近，并使給定的性能泛函取極值。6.12.3 無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題對(duì)于無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器，這里要強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)： 1)適用于線性定常系統(tǒng)，且要求系統(tǒng)完全能控，而在有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器中則不強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)。 2)在性能泛函中，由于 ，而使終端泛函 失去了意義，即 3)與有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器一樣，最優(yōu)控制也是全狀態(tài)的線性反饋

14、，結(jié)構(gòu)圖也與前面的相同。但是，這里的P P 是nn 維的實(shí)對(duì)稱常矩陣，是黎卡捉矩陣代數(shù)方程的解。因此，構(gòu)成的是一個(gè)線性定常閉環(huán)系統(tǒng)。 4)閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即系統(tǒng)矩陣 的特征值均具負(fù)實(shí)部，而不論原受控系統(tǒng)A的特征值如何。6.12.4 輸出調(diào)節(jié)器問題 1.輸出調(diào)節(jié)器的任務(wù)是當(dāng)系統(tǒng)受到外擾時(shí)，在不消耗過多能量的前提下，維持系統(tǒng)的輸出矢量接近其平衡狀態(tài)。1.線性時(shí)變系統(tǒng)輸出調(diào)節(jié)器問題給定一個(gè)能觀的線性時(shí)變系統(tǒng)：性能泛函為：于是可以用狀態(tài)調(diào)節(jié)器上式來確定最優(yōu)控制：式中， 為下列黎卡提距陣微分方程的解：邊界條件：給定一個(gè)完全能控、能觀的線性定常系統(tǒng)：2. 線性定常系統(tǒng)輸出調(diào)節(jié)器問題性能泛函為：式中，

15、 任意取值； 為正定對(duì)稱矩陣； 為正定或半正定矩陣。要求在系統(tǒng)方程約束下，尋求最優(yōu)控制為：而 是下列黎卡提代數(shù)微分方程的解：6.12.5 跟蹤器問題 1.線性時(shí)變系統(tǒng)跟蹤器問題2.線性定常系統(tǒng)6.1 3 線性二次型次優(yōu)控制問題沒完全能控、能觀系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：性能指標(biāo)為二次型：式中， 為正定(或半正定)對(duì)稱陣； 為正定對(duì)稱陣。 如上所述，設(shè)控制變量 是由輸出變量 的線性負(fù)反饋所構(gòu)成，即閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖示如下圖所示：從圖可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程：（1）式中， 為閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣。式中此時(shí)，性能指標(biāo)演化為：（2） 在規(guī)定了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的情況下，設(shè)計(jì)任務(wù)就是確定輸出反饋矩陣K K，使性能指標(biāo)式(2)取極值。對(duì)漸近穩(wěn)定系統(tǒng)式(1)，構(gòu)造一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)：對(duì)于漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)，當(dāng) 必須為負(fù)定。將上