新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)《圓周角》

1、回回 憶憶1.什么叫圓心角什么叫圓心角?.OAB頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角2. 圓心角、弧、弦三個(gè)量之間關(guān)系的圓心角、弧、弦三個(gè)量之間關(guān)系的一個(gè)結(jié)論，這個(gè)結(jié)論是什么？一個(gè)結(jié)論，這個(gè)結(jié)論是什么？在同圓（或等圓）中，如果圓心角、弧、弦有一組量相等，在同圓（或等圓）中，如果圓心角、弧、弦有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余兩個(gè)量都分別相等。那么它們所對應(yīng)的其余兩個(gè)量都分別相等。探探 究究.OA問題：將圓心角頂點(diǎn)向上移，直至與問題：將圓心角頂點(diǎn)向上移，直至與 O相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)C?觀察觀察得到的得到的ACB有什么特征？有什么特征？C頂點(diǎn)在圓上頂點(diǎn)在圓上兩邊都與圓相交兩邊都與圓相交這樣的

2、角叫這樣的角叫圓周角圓周角。B圓周角定義圓周角定義: 頂點(diǎn)在圓上頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都和圓相交的角并且兩邊都和圓相交的角叫叫圓周角圓周角.問題探討：問題探討：判斷下列圖形中所畫的判斷下列圖形中所畫的P是否為圓周角？并說明理由。是否為圓周角？并說明理由。PPPP不是不是是是不是不是不是不是頂點(diǎn)不在頂點(diǎn)不在圓上。圓上。頂點(diǎn)在圓上，頂點(diǎn)在圓上，兩邊和圓相兩邊和圓相交。交。兩邊不和兩邊不和圓相交。圓相交。有一邊和圓有一邊和圓不相交。不相交。問題解決：問題解決：你能畫出同弧所對的圓周角和圓心角嗎？你能畫出同弧所對的圓周角和圓心角嗎？ABCOABCOABCO分析論證分析論證1.首先考慮一種特殊情況首先考慮

3、一種特殊情況 當(dāng)圓心當(dāng)圓心(O)在圓周角在圓周角(BAC)的一邊的一邊(BA)上時(shí)上時(shí),圓周角圓周角BAC與圓心角與圓心角BOC的大小的大小關(guān)系關(guān)系.ABCO OA=OCA=C又又 BOC=ACBOC=2A即即A= BOC21分析論證分析論證你能證明第你能證明第2種情況嗎種情況嗎ABCOD提示：作射線提示：作射線AO交交 O于于D。轉(zhuǎn)。轉(zhuǎn)化為第化為第1種情況種情況證明：由第證明：由第1種情況得種情況得 即即BAC= BOC21BAD BOD21CAD COD21BADCAD BOD COD2121分析論證分析論證你能證明第你能證明第3種情況嗎種情況嗎證明：作射線證明：作射線AO交交 O于于D。

4、由第由第1種情況得種情況得 即即BAC= BOC21BAD BOD21CAD COD21CADBAD COD BOD2121ABCOD綜上所述：我們得到：綜上所述：我們得到：同弧所對的同弧所對的圓周角度圓周角度數(shù)數(shù)等于這條弧所對的等于這條弧所對的圓心角的一半圓心角的一半ABCOABCOABCO即即BAC= BOC21圓周角定理圓周角定理OECDBA一條弧所對的圓一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一周角等于它所對圓心角的一半半.如圖，如圖，AA是圓是圓O O的圓周角，的圓周角， A=40A=40，求，求OBCOBC的度數(shù)。的度數(shù)。 OCBA鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)5,5,已知：已知：ABCABC的三個(gè)

5、頂點(diǎn)在的三個(gè)頂點(diǎn)在O O上上, ,BAC=50BAC=50,ABC=47,ABC=47, ,求求AOBAOBBACO 同弧或等弧所對的圓周角相等；同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。思考：思考：1 1、“同圓或等圓同圓或等圓”的條件能否去掉？的條件能否去掉？2 2、判斷正誤：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、判斷正誤：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距、兩個(gè)圓周角中有一兩條弧、兩條弦、兩條弦心距、兩個(gè)圓周角中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也相等。組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也相等。

6、推推 論論 1ABCDEABCDEFO 練習(xí)：練習(xí)： 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)圓上，四在同一個(gè)圓上，四邊形邊形ABCD的對角線把的對角線把4個(gè)內(nèi)角分成個(gè)內(nèi)角分成8個(gè)角，這個(gè)角，這些角中哪些是相等的角？些角中哪些是相等的角？D12345678ABC14273658解：解： 問題問題1：如圖，：如圖，AB是是 O的直徑，請問：的直徑，請問：C1、C2、C3的度數(shù)是的度數(shù)是 。ABOC1C2C3 推論：半圓（或直徑）所對的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是圓周角是直角直角；90的圓周角的圓周角所對的弦是所對的弦是直徑直徑。 問題問題2： 若若C1、C2、C3是是直角，那么直角，那么AO

7、B是是 。90180探究與思考：半圓或直徑所對的圓周角等于多少度？半圓或直徑所對的圓周角等于多少度？OABC2. 902. 90的圓周角所對的弦是的圓周角所對的弦是否是直徑？否是直徑？例例 如圖，如圖， O直徑直徑AB為為10cm，弦，弦AC為為6cm，ACB的平的平分線交分線交 O于于D，求，求BC、AD、BD的長的長86102222ACABBC又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，221052(cm)22ADBDAB解：解：AB是直徑，是直徑， ACB= ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，AD=BD.ACDBCD 七、例題七、例題OABCD如果如果A=44,

8、則則BOC=_.如果如果BOC=44,則則A=_.如果如果A=35,則則BDC=_.OABCD練一練3、如圖，在、如圖，在 O中，中，ABC=50，則則AOC等于（等于（ ）A、50； B、80；C、90； D、100ACBOD4、如圖，、如圖，ABC是等邊三角形，是等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P在圓周的劣弧在圓周的劣弧AB上，且不上，且不與與A、B重合，則重合，則BPC等于（等于（ ）A、30； B、60；C、90； D、45CABPB6、如圖，、如圖，ABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)A、B、C都在都在 O上，上，C30 ，AB2，則則 O的半徑是的半徑是 。CABO練一練7、如圖，、如圖，A=50， ACB=6

9、0 BD是是 O的直徑，則的直徑，則AEB等于（等于（ ）A、70； B、100；C、90； D、120BACBODE練習(xí)練習(xí): :8 8, ,如圖如圖 ABAB是是O O的直徑的直徑, C ,D, C ,D是圓上是圓上的兩點(diǎn)的兩點(diǎn), ,若若ABD=40ABD=40, ,則則BCD=BCD=. .ABOCD405003,3,如圖所示，如圖所示，ABAB，ACAC是是O O的弦，的弦，ADBCADBC于于D D，交，交O O于于F F，AEAE與與O O的直徑，試問的直徑，試問兩弦兩弦BEBE與與CFCF的大小有何關(guān)系，說明理的大小有何關(guān)系，說明理由由 5、如圖，、如圖，AB是是 O的直徑，的直

10、徑，BD是是 O的弦，延的弦，延長長BD到點(diǎn)到點(diǎn)C，使，使DC=BD，連接，連接AC交交 O于點(diǎn)于點(diǎn)F，點(diǎn)點(diǎn)F不與點(diǎn)不與點(diǎn)A重合。重合。（1）AB與與AC的大小有什么關(guān)系？為什么？的大小有什么關(guān)系？為什么？ACBDFO答：（答：（1）AB=AC。證明：連接證明：連接AD又又DC=BD，AB=AC。AB是直徑，是直徑，ADB=90，思考：思考：1、在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它、在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對的弧一定相等嗎？為什么？們所對的弧一定相等嗎？為什么？2、在一個(gè)圓中，一條弦所對有幾種圓周、在一個(gè)圓中，一條弦所對有幾種圓周角，它們有什么關(guān)系？角，它們有什么關(guān)系？結(jié)論

11、：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相結(jié)論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相 等，等，它們所對的弧相等。它們所對的弧相等。有兩種有兩種相等或互補(bǔ)相等或互補(bǔ)6,6,如圖，已知圓心角如圖，已知圓心角AOB=100AOB=100, ,求圓周角求圓周角ACBACB、ADBADB的度數(shù)？的度數(shù)？7,7,一條弦分圓為一條弦分圓為1 1：4 4兩部分，求這弦所對的兩部分，求這弦所對的圓周角的度數(shù)？圓周角的度數(shù)？DAOCB 在在同圓同圓或或等圓等圓中，中，同弧同弧或或等弧等弧所對的所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半的一半圓周角定理圓周角定理CDABO提示提示: 圓

12、周角定理是承上啟下的知識(shí)點(diǎn)圓周角定理是承上啟下的知識(shí)點(diǎn), ,要予以重視要予以重視. . 推論：推論：半圓（或直徑）半圓（或直徑）所對的圓周角所對的圓周角是是直角直角，90900 0的圓周角所對的弦是的圓周角所對的弦是直徑直徑。AOBC1C2C3 AB AB是直徑是直徑 ACAC1 1B=90B=900 0 AC AC1 1B=90B=900 0 AB AB是直徑是直徑同圓或等圓中，同圓或等圓中，相等的圓周角相等的圓周角所對的所對的弧弧也也相等。相等。DABOCEFF CAD=EBF CAD=EBF CD=EF CD=EF）課前練習(xí)：課前練習(xí)：1.1. 如圖，等邊三角形如圖，等邊三角形ABCAB

13、C，點(diǎn)，點(diǎn)D D是是O O上一點(diǎn)，則上一點(diǎn)，則BDC =BDC = ； 圖 3 O D C B A60 2. 2.如圖，在如圖，在O O中，中，ABAB是是O O的直徑，的直徑，D D2020，則，則AOCAOC的度數(shù)為的度數(shù)為_ 140A AB BD DC CO O3.3.如圖，如圖，ABAB和和CDCD都是都是0 0的直徑，的直徑，AOC=60AOC=60，則則C C的度數(shù)是的度數(shù)是 。3030 5.5.如圖如圖,C,C是是O O的圓周角，的圓周角，C=38C=38，則則OAB=OAB= . .C C B B 4 4、如圖，如圖，ABAB是是O O的直徑，點(diǎn)的直徑，點(diǎn)C C在圓上，在圓上，

14、A=20A=20, ,則則B=B= 度度 6.6.如圖，在如圖，在O O中，中，AOD=120AOD=120，BDP=25BDP=25，則，則P P的度數(shù)等于的度數(shù)等于 。707052523535新課講解：新課講解： 若一個(gè)多邊形若一個(gè)多邊形各頂點(diǎn)都在同一各頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上個(gè)圓上，那么，這個(gè)多邊形叫做圓，那么，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓形的外接圓。OBCDEFAOACDEBOOC CA AB BD D如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD為為OO的內(nèi)接四邊形；的內(nèi)接四邊形；OO為四邊形為四邊形ABCDABCD的的外外接圓。接圓。

15、COODBA如圖：圓內(nèi)接四邊形如圖：圓內(nèi)接四邊形ABCDABCD中，中， 弧弧BCDBCD和弧和弧BADBAD所對的所對的圓心角的和是周角圓心角的和是周角AAC C180 同理同理B BD D180180圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。 (1)(1)四邊形四邊形ABCDABCD內(nèi)接于內(nèi)接于O O，則，則A+C=_A+C=_ ，B+ADC=_;B+ADC=_;若若B=80B=800 0， 則則ADC=_ CDE=_ADC=_ CDE=_(2)(2)四邊形四邊形ABCDABCD內(nèi)接于內(nèi)接于O O，AOC=100AOC=1000 0則則B=_D=_ B=_D=_ (3)(3)四邊

16、形四邊形ABCDABCD內(nèi)接于內(nèi)接于O, A:C=1:3,O, A:C=1:3,則則A=_,A=_,EDBAC80DBACO100 180 180 100 80 50 130 45 填空填空若若ABCDABCD為圓內(nèi)接四邊形，則下列哪為圓內(nèi)接四邊形，則下列哪個(gè)選項(xiàng)可能成立個(gè)選項(xiàng)可能成立（ ）（A）A B C D 1 2 3 4 （B）A B C D 2 1 3 4 （C）A B C D 3 2 1 4 （D）A B C D 4 3 2 1B1 1、在、在O O中，中，CBD=30CBD=30，BDC=20BDC=20, ,求求A A。OABDC解法解法1 1：CBD=30CBD=300 0，B

17、DC=20BDC=200 0C=180C=1800 0-CBD-BDC=130-CBD-BDC=1300 0A=180A=1800 0-C=50-C=500 0（圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)）（圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)）變式：變式：已知已知OABOAB等于等于4040度度, ,求求C C的度數(shù)的度數(shù). . ABCOD2 2、如圖，在、如圖，在O O中，中，ABAB為直徑，為直徑，CB=CF,CB=CF,弦弦CGABCGAB，交，交ABAB于于D D，交，交BFBF于于E E。求證：求證：BE=ECBE=EC）OABDCEGFBE=ECBE=ECEBC=ECBEBC=ECBCF=BGCF=BG）CB=BGC

18、B=BG）CB=CFCB=CF）ABAB為直徑為直徑CGCGABAB3 3、如圖，、如圖，BCBC為半圓為半圓O的直徑，的直徑，AB=AF,ACAB=AF,AC與與BFBF交于點(diǎn)交于點(diǎn)M M。（1 1）若）若FBC=FBC=，求，求ACBACB（用（用表示）表示）（2 2）過）過A A作作ADBCADBC于于D D，交，交BFBF于于E E，求證：，求證：BEBE=EM=EM。）BCAFDOM4 4、判斷判斷（1 1）等弧所對的圓周角相等；（）等弧所對的圓周角相等；（ ）（2 2）相等的弦所對的圓周角也相等；（）相等的弦所對的圓周角也相等；（ ）（3 3）90900 0的角所對的弦是直徑；（的角所對的弦是直徑；（ ）（4 4）同弦所對的圓周角相等。（）同弦所對的圓周角相等。（ ）DBACO5.梯形ABCD內(nèi)接于 O,ADBC, B=750,則C=_ 75圓的內(nèi)接梯形一定是梯形。等腰已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC,以以AB為直徑的圓交為直徑的圓交BC于于D,交交AC于于E,(1)BD與與CD的大小有什么關(guān)系的大小有什么關(guān)系?為什么為什么?(2)求證：求證：BD=DE 連結(jié)連結(jié)