二元一次方程組教材分析人教版

1、二元一次方程組教材分析一、本章主要內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)（一）本章主要內(nèi)容涉及求多個(gè)未知數(shù)的問題是普遍存在的，而方程組是解決這些問題的有力工具。本章在學(xué)生對(duì)一元一次方程已有認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，對(duì)二元一次方程組進(jìn)行討論，并在二元一次方程組的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)討論三元一次方程組及解法。由此為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式組以及二次函數(shù)奠定基礎(chǔ)。本章主要內(nèi)容包括：利用二元一次方程組分析與解決實(shí)際問題，二元一次方程組及其相關(guān)概念，消元思想和代入法、加減法解二元一次方程組以及三元一次方程組解法舉例。其中，以方程組為工具分析問題、解決含有多個(gè)未知數(shù)的問題既是本章的重點(diǎn)，又是難點(diǎn)。使學(xué)生經(jīng)歷建立二（三）元一次方程組這種數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用

2、它們解決實(shí)際問題的過程，體會(huì)方程組的特點(diǎn)和作用，掌握運(yùn)用方程組解決問題的一般方法，提高分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)創(chuàng)新精神和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，是本章的中心任務(wù)。由于含有兩（三）個(gè)以及多個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系比較多，在某些問題中數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，所以列方程組表示問題中的數(shù)量關(guān)系通常是教學(xué)中的難點(diǎn)。全章共包括四節(jié)：二元一次方程組消元二元一次方程組的解法實(shí)際問題與二元一次方程組三元一次方程組解法舉例“二元一次方程組”首先從一個(gè)籃球聯(lián)賽中的問題入手，引導(dǎo)學(xué)生直接用和表示兩個(gè)未知數(shù)，并進(jìn)一步表示問題中的兩個(gè)等量關(guān)系，得到兩個(gè)相關(guān)的方程。然后，教科書以這兩個(gè)具體方程為例，讓學(xué)生體驗(yàn)二元一次方程、二元

3、一次方程組的特征，歸納出二元一次方程組及其解的概念，并估算簡(jiǎn)單的二元一次方程（組）的解?！?消元二元一次方程組的解法”的標(biāo)題點(diǎn)出了這一節(jié)的核心。二元一次方程組含有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，由兩個(gè)方程得出一個(gè)方程，就得到前面已學(xué)習(xí)過的一元一次方程。由它可以先解出一個(gè)未知數(shù)，然后再設(shè)法求另一個(gè)未知數(shù)。這一節(jié)首先從討論解方程組的需要出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從解決問題的基本策略的角度認(rèn)識(shí)消元思想。然后，教科書依次討論了兩種通過消元解方程組的常用方法代入法和加減法，并結(jié)合具體問題用框圖形式表示了這兩種解法的一般過程?！?實(shí)際問題與二元一次方程組”選擇了三個(gè)具有一定綜合性的問題： “牛飼料問題” “種植計(jì)

4、劃問題”“成本與產(chǎn)出問題”。使學(xué)生利用方程組為工具進(jìn)行一定深度的思考，增加運(yùn)用方程組解決實(shí)際問題的實(shí)踐。把全章強(qiáng)調(diào)的以方程組為工具，把實(shí)際問題模型化的思想提到新的高度。為切實(shí)提高利用方程組解決實(shí)際問題的能力，這節(jié)內(nèi)容的問題形式包括：估算與精確計(jì)算的比較（探究），開放地尋求設(shè)計(jì)方案（探究），根據(jù)圖表所表示的實(shí)際問題的數(shù)據(jù)信息列方程組（探究）。安排這節(jié)的目的在于：一方面通過實(shí)際生活中的問題，進(jìn)一步突出方程組這種數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的廣泛性和有效性；另一方面使學(xué)生能在解決實(shí)際問題的情境中運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步提高分析問題和解決問題的綜合能力。安排“ . 三元一次方程組解法舉例”的目的是通過三元一次組方程組

5、進(jìn)一步體會(huì)消元代入消元、加減消元的思想方法，同時(shí)為二次函數(shù)中利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達(dá)式做一定的準(zhǔn)備。本節(jié)在實(shí)際問題的基礎(chǔ)上，引入三元一次方程組。三元一次方程組含有三個(gè)未知數(shù)，如何消元，先消哪個(gè)元是需要認(rèn)真思考的。消去其中一個(gè)未知數(shù)，就得到前面已學(xué)習(xí)過的二元一次方程組，把三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元一次方程。在求三元一次方程組解的過程中，消元的思想體現(xiàn)的非常充分。本章在列方程組的討論中，重視數(shù)學(xué)與實(shí)際的關(guān)系，突出其中蘊(yùn)涵的建模思想；在解方 程組的討論中，重視過程與結(jié)果的關(guān)系，突出消元化歸思想。后一討論也是在解決實(shí)際問題 的背景下進(jìn)行的。此外，本章對(duì)于數(shù)學(xué)文化也予以關(guān)

6、注?！伴喿x與思考一次方程組的古今表示及解法”中，從九章算術(shù)中有關(guān)一次方程組的算籌表示和解法說起，聯(lián)系現(xiàn)代的矩陣表示和解法， 介紹了中國古代數(shù)學(xué)的光輝成就。編者希望學(xué)生通過學(xué)習(xí)本章不僅在數(shù)學(xué)知識(shí)和能力方面得 到提高，而且能夠受到數(shù)學(xué)文化的熏陶。（二）本章知識(shí)結(jié)構(gòu)1 .利用二（三）元一次方程組解決問題的基本過程2 .本章知識(shí)安排的前后順序（三）課程學(xué)習(xí)目標(biāo)概括地說，本章教學(xué)應(yīng)考慮以下四個(gè)目標(biāo)：.以含有多個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問題為背景，經(jīng)歷“分析數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列方程組，解方 程組和檢驗(yàn)結(jié)果”的過程，體會(huì)方程組是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中含有多個(gè)未知數(shù)的問題的數(shù)學(xué)模型。. 了解二元一次方程及其相關(guān)概念，能設(shè)兩個(gè)未

7、知數(shù)并列方程組表示實(shí)際問題中的兩種相關(guān) 的等量關(guān)系。 了解解二元方程組的基本目標(biāo)：使方程組逐步轉(zhuǎn)化為，的形式，體會(huì)“消元”思想，掌握 解二元一次方程組的代入法和加減法，能根據(jù)二元一次方程組的具體形式選擇適當(dāng)?shù)慕夥ā? 了解三元一次方程組及其解法，進(jìn)一步體會(huì)“消元”的思想，能根據(jù)三元一次方程組的具 體形式選擇適當(dāng)?shù)慕夥ā?通過探究實(shí)際問題，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)利用二（三）元一次方程組解決問題的基本過程，體會(huì)數(shù) 學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，提高分析問題、解決問題的能力。 （四）課時(shí)安排 本章教學(xué)時(shí)間約需課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）：二元一次方程組課時(shí)消元二元一次方程組的解法課時(shí)實(shí)際問題與二元一次方程組課時(shí)三元一次方程組

8、解法舉例課時(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)課時(shí)二、本章編寫特點(diǎn) （一）注重知識(shí)的實(shí)際背景，突出建模思想同七年級(jí)上冊(cè)“第章一元一次方程”一樣，在本章的各個(gè)階段編者選擇了一些比較典型的實(shí)際問題作為知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的背景材料。實(shí)際問題始終貫穿全章，對(duì)二（三）元一次方程組及其相關(guān)概念的引入和對(duì)二（三）元一次方程組解法的討論，是在建立和運(yùn)用方程組這種數(shù)學(xué)模型的過程之中進(jìn)行的。本章開篇的引入問題是籃球聯(lián)賽中的勝負(fù)場(chǎng)數(shù)問題，雖然這個(gè)問題可以用已學(xué)的一元一次方程解決，但是直接設(shè)兩個(gè)未知數(shù)列方程組是順理成章的解法，本章就從這個(gè)想法出發(fā)引入新課題。在后面關(guān)于兩種消元解法的討論中，教科書也注意結(jié)合實(shí)際問題，把列方程組和解方程組結(jié)合起

9、來。“ 實(shí)際問題與二元一次方程組”的設(shè)計(jì)意圖為：使學(xué)生在探究如何用二元一次方程組解決實(shí)際問題的過程中，進(jìn)一步提高分析問題中的數(shù)量關(guān)系、設(shè)未知數(shù)、列方程組并解方程組、檢驗(yàn)結(jié)果的合理性等能力，感受建立數(shù)學(xué)模型的作用。這一節(jié)共安排了三個(gè)實(shí)際問題，這些問題比前面的問題更接近現(xiàn)實(shí)，數(shù)量關(guān)系相對(duì)比較隱蔽，因此這些問題的分析解決難度比以前的問題也要大些。對(duì)于這些問題，教學(xué)中應(yīng)發(fā)揮自主學(xué)習(xí)的積極性，引導(dǎo)學(xué)生先獨(dú)立探究，再進(jìn)行合作交流。（二）注重解法背后的算理，強(qiáng)調(diào)消元思想方程組中含有多個(gè)未知數(shù)，消元思想解方程組時(shí)“化多為少，由繁至簡(jiǎn)，各個(gè)擊破，逐一解決”的基本策略，是產(chǎn)生具體解法的重要基礎(chǔ)，而代入法和加減法則

10、是落實(shí)消元思想的具體措施。本章在有關(guān)方程組解法的討論中，注意了先使學(xué)生了解消元的基本思想，然后在其指導(dǎo)下尋求解決問題的具體方法，從而使具體解法的合理性凸現(xiàn)出來。在提出消元思想后，教科書對(duì)一種具體的消元解法的過程進(jìn)行了歸納，即對(duì)代入法的基本步驟進(jìn)行概括。代入法通過“把一個(gè)方程（必要時(shí)先做適當(dāng)變形）代入另一個(gè)方程”實(shí)現(xiàn)消元。教學(xué)中，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到為什么要實(shí)施這樣的步驟，把具體做法與消元結(jié)合起來，使學(xué)生明確如此操作的目的性。類似地，教科書在兩個(gè)簡(jiǎn)單例子之后，對(duì)另一種具體的消元解法加減法的過程進(jìn)行了歸納。加減法通過“把兩個(gè)方程相加減”實(shí)現(xiàn)消元，而加減的條件是“兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相

11、同或相反”。教學(xué)中仍應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到為什么要實(shí)施這樣的步驟，把具體做法與消元結(jié)合起來，使學(xué)生明確如此操作的目的性。教科書還以框圖形式表示了兩種解法的程序，突出了它們是如何實(shí)現(xiàn)消元這一關(guān)鍵步驟的。加減法和代入法的共同點(diǎn)是，它們都是通過消元解方程組，使二元問題先轉(zhuǎn)化為一元問題，求出一個(gè)未知數(shù)后再求另一個(gè)未知數(shù)；它們的不同點(diǎn)是，消元的方法不同，或通過“代入”或通過“加減”。對(duì)一個(gè)方程組用哪個(gè)消元方法解都可以，但應(yīng)根據(jù)方程組的具體形式選擇比較簡(jiǎn)便的方法。為使學(xué)生認(rèn)識(shí)這些，可以引導(dǎo)他們用不同方法解同一方程組，然后對(duì)不同方法加以比較，逐步積累經(jīng)驗(yàn)，提高選擇能力?！?. 三元一次方程組解法舉例”一節(jié)可以

12、使學(xué)生更好地體會(huì)“消元”的思想方法，并根據(jù)三元一次方程組的形式，靈活選擇不同的消元方法。三、幾個(gè)值得關(guān)注的問題（一）注意在對(duì)方程已有認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上發(fā)展，做好從一元到二元、三元以及多元的轉(zhuǎn)化本章從一個(gè)籃球聯(lián)賽中的勝負(fù)場(chǎng)數(shù)問題開始討論，其中含有兩個(gè)未知數(shù)。在此之前，學(xué) 生已經(jīng)學(xué)習(xí)過一元一次方程的內(nèi)容，用代數(shù)方法解決上述問題有兩種不同方法：一種方法是， 設(shè)一個(gè)未知數(shù)為，并用含有的式子表示另一個(gè)未知數(shù)，根據(jù)問題中的等量關(guān)系列出一元一次 方程；另一種方法是，直接設(shè)兩個(gè)未知數(shù)和，根據(jù)問題中的等量關(guān)系列出兩個(gè)二元一次方程， 由它們組成方程組。比較這兩種方法，可以發(fā)現(xiàn)，第一種方法的難點(diǎn)在于“列”，第二種方 法的

13、難點(diǎn)在于“解”。由于列一元一次方程時(shí)要綜合考慮問題中的各等量關(guān)系，因此有一定 難度，但是學(xué)生已經(jīng)熟悉一元一次方程的解法；列二元一次方程組時(shí)可以分別考慮兩個(gè)等量 關(guān)系，分別列出兩個(gè)方程，一般說這比將這個(gè)問題列成一個(gè)一元一次方程容易，但是由于方 程中出現(xiàn)兩個(gè)未知數(shù)，因此如何解方程組成為新問題。用方程組解決問題是新方法，這種方 法對(duì)于解含有多個(gè)未知數(shù)的問題很有效，并且它的優(yōu)越性會(huì)隨著問題中未知數(shù)個(gè)數(shù)的增加體 現(xiàn)得更明顯。二元一次方程組是方程組中最基本的類型，通過學(xué)習(xí)它可以了解一般的一次方 程組，提高對(duì)多元問題的認(rèn)識(shí)。由于前面已學(xué)一元一次方程的內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)對(duì)方程有一定的認(rèn)識(shí)，會(huì)用一元方程表示 實(shí)際問

14、題中的數(shù)量關(guān)系，并會(huì)解一元一次的方程。從解法上說，多元方程消元后要化歸為一 元方程，即對(duì)一元一次方程的認(rèn)識(shí)為學(xué)習(xí)二元一次方程組奠定基礎(chǔ)，對(duì)二元一次方程組的認(rèn) 識(shí)為學(xué)習(xí)三元一次方程組奠定基礎(chǔ)。即對(duì)由“一元”向“二元” “三元”以及“多元”發(fā)展， 所涉及的實(shí)際問題未知數(shù)多，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，解法步驟也增加了 “消元”和“回代”， 更強(qiáng)調(diào)未知向已知轉(zhuǎn)化中解法程序化的思想。本章學(xué)習(xí)中，應(yīng)注意所學(xué)內(nèi)容與前面有關(guān)內(nèi)容 的聯(lián)系與區(qū)別，明確本章內(nèi)容的特點(diǎn)，做好從“一元”向“二元” “三元”以及“多元”的 轉(zhuǎn)化。（二）關(guān)注實(shí)際問題情景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想現(xiàn)實(shí)中存在大量問題涉及多個(gè)未知數(shù)，其中許多問題中的數(shù)量關(guān)系是

15、一次（也稱線性） 的，這為學(xué)習(xí)“二元一次方程組”提供了大量的現(xiàn)實(shí)素材。在本章教科書中，實(shí)際問題情境 貫穿全章，對(duì)方程組解法的討論也是在解決實(shí)際問題的過程中進(jìn)行的，“列方程組”在本章 中占有突出地位。在本章的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，要充分注意二（三）元一次方程組的現(xiàn)實(shí)背景， 通過大量豐富的實(shí)際問題，反映出方程組來自實(shí)際又服務(wù)于實(shí)際，加強(qiáng)對(duì)方程組是解決現(xiàn)實(shí) 問題的一種重要數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)。本章明確提出“方程組是解決含有多個(gè)未知數(shù)問題的重要 數(shù)學(xué)工具”，并在多處體現(xiàn)方程組在解決實(shí)際問題中的工具作用，實(shí)際上這就是在滲透建立 模型的思想。設(shè)未知數(shù)、列方程組是本章中用數(shù)學(xué)模型表示和解決實(shí)際問題的關(guān)鍵步驟，而正確地理

16、解問題情境，分析其中的多種等量關(guān)系是設(shè)未知數(shù)、列方程組的基礎(chǔ)。在本章的教學(xué)和學(xué)習(xí) 中，可以從多種角度思考，借助圖形、表格、式子等進(jìn)行分析，尋找等量關(guān)系，檢驗(yàn)方程的 合理性。教師還可以結(jié)合實(shí)際情況選擇更貼近學(xué)生生活的各種問題，引導(dǎo)學(xué)生用二元一次方 程組分析解決它們。利用二（三）元一次方程組解決問題的基本過程（見前面的圖），在本章中小結(jié)中出現(xiàn), 它與“第章一元一次方程”中利用一元一次方程解決問題的基本過程圖基本一致。通過用框 圖概括這樣的基本過程，可以加強(qiáng)從整體上認(rèn)識(shí)方程（組）模型與實(shí)際問題的關(guān)系，在教學(xué)、 學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)時(shí)對(duì)此應(yīng)予以注意。（三）重視解三元以及多元方程組中的消元思想本章所涉及的數(shù)學(xué)思想

17、方法主要包括兩個(gè)：一個(gè)是由實(shí)際問題抽象為方程組這個(gè)過程中 蘊(yùn)涵的符號(hào)化、模型化的思想，這已在上面進(jìn)行了討論；另一個(gè)是解方程組的過程中蘊(yùn)涵的消元化歸思想，它在解方程組中具有指導(dǎo)作用。解二元一次方程組的各個(gè)步驟，都是為最終使方程組變形為，的形式而實(shí)施的，即在保持各方程的左右兩邊相等關(guān)系的前提之下，使“未知”逐步轉(zhuǎn)化為“已知”。解三元以及多元方程組的基本策略是“消元”，即逐步減少未知 數(shù)的個(gè)數(shù)，以至使方程組化歸為一元方程，先解出一個(gè)未知數(shù)，然后逐步解出其他未知數(shù)。代入法和加減法都是消元解方程組的方法，只是具體消元的手法有所不同。在本章的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，不能僅僅著眼于具體題目的具體解題過程，而應(yīng)不斷加深

18、對(duì)以 上思想方法的領(lǐng)會(huì)，從整體上認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)。數(shù)學(xué)思想方法是通過數(shù)學(xué)知識(shí)的載體來體現(xiàn) 的，而對(duì)于它們的認(rèn)識(shí)需要一個(gè)較長的過程，既需要教材的滲透，也需要教師的點(diǎn)撥，最后 還需要學(xué)生自身的感受和理解。如果認(rèn)識(shí)了消元思想，那么對(duì)于代入法、加減法等的具體步 驟就不會(huì)僅是死記硬背，而能夠順勢(shì)自然地理解，并能夠靈活運(yùn)用。從這里也能夠看出：數(shù) 學(xué)思想方法是具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂，數(shù)學(xué)思想方法對(duì)一個(gè)人的影響往往要大于具體的數(shù)學(xué) 知識(shí)。（四）加強(qiáng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和探究性設(shè)計(jì)本章教科書的內(nèi)容和結(jié)構(gòu)時(shí)，注意加強(qiáng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和探究性。本章內(nèi)容涉及許多 實(shí)際問題，多彩的問題情境容易激起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。在本章的教學(xué)中，應(yīng)注

19、意引導(dǎo)學(xué)生 從身邊的問題研究起，主動(dòng)收集尋找“現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的”問題作為學(xué)習(xí)材 料，并更多地進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)和互相交流，在主動(dòng)學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)的過程中獲得知識(shí)，培養(yǎng)能 力。對(duì)于實(shí)際問題與二元一次方程組”，應(yīng)不等同于一般例題內(nèi)容的教學(xué)，而以探究 學(xué)習(xí)的方式完成。本章“數(shù)學(xué)活動(dòng)”及“拓廣探索”欄目下的習(xí)題等都設(shè)置了帶有探究性的 問題。對(duì)于這些內(nèi)容的教學(xué)，應(yīng)注意鼓勵(lì)學(xué)生積極探究，當(dāng)學(xué)生在探究過程中遇到困難時(shí)， 教師應(yīng)啟發(fā)誘導(dǎo)，設(shè)計(jì)必要的鋪墊，讓學(xué)生在經(jīng)過自己的努力來克服困難的過程中體驗(yàn)如何 探究，而不要替代他們思考，不要過早給出答案。應(yīng)鼓勵(lì)探究多種不同的分析問題和解決問 題的方法，使探究過程

20、活躍起來，在這樣的氛圍中可以更好地激發(fā)學(xué)生積極思維，得到更大 收獲。（五）注重對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，提高基本能力本章中二元一次方程組的基本概念和消元解法是基礎(chǔ)知識(shí)，通過列、解二元一次方程組 分析解決實(shí)際問題是基本能力，它們對(duì)于解三元一次方程組以及今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)有重要作用。 教學(xué)和學(xué)習(xí)中應(yīng)注意打好基礎(chǔ)，切實(shí)掌握基本方法，并力求能夠較靈活地運(yùn)用它們，逐步培 養(yǎng)提高基本能力。由于本章教科書多處以分析解決實(shí)際問題為線索展開，而將基礎(chǔ)知識(shí)寓于 分析解決問題的過程之中，所以教學(xué)和學(xué)習(xí)中應(yīng)注意對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行提煉、歸納、整理，對(duì) 基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力要有清晰的認(rèn)識(shí)，需要通過必要的練習(xí)途徑來掌握基礎(chǔ)知識(shí)和提高基本

21、能力。對(duì)于代入法和加減法解二元一次方程組的基本過程，要一一切實(shí)掌握，可以通過具體 案例結(jié)合教科書中的框圖加深認(rèn)識(shí)。對(duì)于教科書中的練習(xí)題以及“復(fù)習(xí)鞏固” “綜合運(yùn)用” 欄目下的習(xí)題，應(yīng)切實(shí)掌握。在此基礎(chǔ)上，再探究更高層次的問題（例如“拓廣探索”欄目 下的習(xí)題等）。（六）關(guān)注相關(guān)的數(shù)學(xué)文化本套教科書力求能夠成為反映科學(xué)發(fā)展和文化進(jìn)步的一面鏡子，既體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)性和 應(yīng)用性，又體現(xiàn)數(shù)學(xué)科學(xué)中蘊(yùn)涵的文化。人們運(yùn)用方程組解決含有多個(gè)未知數(shù)的問題已有很 長的歷史，這個(gè)問題對(duì)于代數(shù)學(xué)的發(fā)展起了重要的促進(jìn)作用，現(xiàn)代高等代數(shù)中的許多內(nèi)容都 起源于對(duì)線性方程組的研究。中國古代數(shù)學(xué)在方程及方程組的研究方面也有許多成

22、果，例如， 著名的“雞兔同籠”問題就是可以利用方程組解決的多元問題，九章算術(shù)等古代數(shù)學(xué)著 作中也記載了有關(guān)方程組的一些內(nèi)容。它們體現(xiàn)了人類對(duì)客觀世界中數(shù)量關(guān)系的不斷探究， 從中可以看出人類追求真理的長期努力，折射出科學(xué)文明的源遠(yuǎn)流長。本章對(duì)于這方面的內(nèi)容有所反映，教學(xué)中除關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)和能力方面得到提高之外，還可以考慮在傳承數(shù) 學(xué)文化方面的工作，結(jié)合方程組的內(nèi)容進(jìn)一步挖掘其文化內(nèi)涵，使學(xué)生進(jìn)一步受到數(shù)學(xué)文化 的熏陶。應(yīng)用題類型簡(jiǎn)析建立數(shù)式模型數(shù)與式是最基本的數(shù)學(xué)語言，由于它能有效、簡(jiǎn)捷、準(zhǔn)確地揭示由低級(jí)到高級(jí)、由具體 到抽象、有特殊到一般的數(shù)學(xué)思維過程，富有通用性和啟發(fā)性，數(shù)與式模型通常成

23、為學(xué)生抽 象和概括數(shù)學(xué)問題的重要方法。例.（年安徽蕪湖市中考題）小王上周五在股市以收盤價(jià)（收市時(shí)的價(jià)格）每股元買進(jìn)某公 司股票股，在接下來的一周交易日內(nèi)，小王記下該股票每日收盤價(jià)格相比前一天的漲跌情況: （單位：元）星期一二三四五每股漲跌（元）十一十一十根據(jù)下表回答問題: 星期 二收 盤時(shí)， 該股 票每 股多少元？周內(nèi)該股票收盤時(shí)的最高價(jià)，最低價(jià)分別是多少？ 已知買入股票與賣出股票均需支付成交金額的千分之五的交易費(fèi)。若小王在本周五以收盤價(jià)將全部股票賣出，他的收益情況如何？解：（）星期二收盤價(jià)為+ =（元股）（）收盤最高價(jià)為+ + =（元股）收盤最低價(jià)為+ + =（元股）（）小王的收益為：X （

24、 o）X （ + %o）=（元）小王的本次收益為元.二、建立方程（組）模型方程（組）是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的最基本的數(shù)學(xué)模型，求解此類問題的關(guān)鍵是：針 對(duì)給出的實(shí)際問題，設(shè)定合適的未知數(shù)，找出相等關(guān)系，但要注意驗(yàn)證結(jié)果是否適合實(shí)際問 題。例.（年重慶市中考題）為了解決農(nóng)民工子女入學(xué)難的問題，我市建立了一套進(jìn)城農(nóng)民 工子女就學(xué)的保障機(jī)制，其中一項(xiàng)就是免交“借讀費(fèi)”。據(jù)統(tǒng)計(jì)，年秋季有名農(nóng)民工子女進(jìn) 入主城區(qū)中小學(xué)學(xué)習(xí)，預(yù)測(cè)年秋季進(jìn)入主城區(qū)中小學(xué)學(xué)習(xí)的農(nóng)民工子女將比年有所增加，其 中小學(xué)增加，中學(xué)增加，這樣，年秋季將新增名農(nóng)民工子女在主城區(qū)中小學(xué)學(xué)習(xí)。（）如果按小學(xué)每生每年收“借讀費(fèi)”元，中學(xué)每生每

25、年收“借讀費(fèi)”元計(jì)算，求年新增的 名中小學(xué)生共免收多少“借讀費(fèi)”？（）如果小學(xué)每名學(xué)生配備名教師，中學(xué)每名學(xué)生配備名教師，若按年秋季入學(xué)后，農(nóng)民工 子女在主城區(qū)中小學(xué)就讀的學(xué)生人數(shù)計(jì)算，一共需要配備多少名中小學(xué)教師？解：（）設(shè)年秋季在主城區(qū)小學(xué)學(xué)習(xí)的農(nóng)民工子女有人，在主城區(qū)中學(xué)學(xué)習(xí)的農(nóng)民工子女有人，Jx+y = 5000由題意可得：.：.11x = 3400解得卜=1600.2兆工=20%000 = 680, 30% = 30%x 1600 = 480 ,，x + x=（元）=（萬元）答：共免收萬元（或元）“借讀費(fèi)”。（）年秋季入學(xué)后，在小學(xué)就讀的學(xué)生有X （）（名），在中學(xué)就讀的學(xué)生有X （

26、）（名）. .（ + ） X（ + ） XXX （名）答：一共需要配備名中小學(xué)教師三、建立不等式模型現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系是普遍存在的，許多現(xiàn)實(shí)問題很難確定（有時(shí)也不需要確定）具體 的數(shù)值。但可以求出或確定這一問題中某個(gè)量的變化范圍，從而對(duì)所有研究問題的面貌有一 個(gè)比較清楚的認(rèn)識(shí)。例.（年河北省中考題）光華農(nóng)機(jī)租賃公司共有臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)，其中甲型臺(tái)，乙型臺(tái)。 先將這臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)派往、兩地區(qū)收割小麥，其中臺(tái)派往地區(qū)，臺(tái)派往地區(qū)。兩地區(qū)與該農(nóng) 機(jī)租賃公司商定的每天的租賃價(jià)格見下表：每臺(tái)甲型收割機(jī)的租金每臺(tái)乙形收割機(jī)的租金地區(qū)元元地區(qū)元元（）設(shè)派往地區(qū)臺(tái)乙型聯(lián)合收割機(jī)，租賃公司這臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金

27、為（元），求 與間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（）若使農(nóng)機(jī)租賃公司這臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金總額不低于元，說明有多少種分配方 案，并將各種方案設(shè)計(jì)出來；（）如果要使這臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得的租金最高，請(qǐng)你為光華農(nóng)機(jī)租賃公司提一條合理化 建議。解：（）若派往地區(qū)的乙型收割機(jī)為臺(tái)，則派往地區(qū)的甲型收割機(jī)為（一）臺(tái)；派往地 區(qū)的乙型收割機(jī)為（一）臺(tái)，派往地區(qū)的甲型收割機(jī)為（一）臺(tái)。, = + （ ） + （） + （ ）= +的取值范圍是： << （是正整數(shù)）（）由題意得+>解不等式得 > 由于WW （是正整數(shù)）.取，這三個(gè)值。.有種不同的分配方案。當(dāng)=時(shí)，即派往地區(qū)的甲

28、型收割機(jī)為臺(tái)，乙型收割機(jī)為臺(tái)；派往地區(qū)的甲型收割機(jī) 為臺(tái)，乙型收割機(jī)為臺(tái)。 =時(shí)，即派往地區(qū)的甲型收割機(jī)為臺(tái)，乙型收割機(jī)為臺(tái)；派往地區(qū)的甲型收割機(jī)為臺(tái)，乙型收割機(jī)為臺(tái)。當(dāng)=時(shí)，即臺(tái)乙型收割機(jī)全部派往地區(qū)；臺(tái)甲型收割機(jī)全部派往地區(qū)。（）由于一次函數(shù)=+的值是隨著的增大而增大的，所以當(dāng)=時(shí)，取得最大值。如果要使農(nóng)機(jī)租賃公司這臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得租金最高，只需=,此時(shí)，=+=。建議農(nóng)機(jī)租賃公司將臺(tái)乙型收割機(jī)全部派往地區(qū)；臺(tái)甲型收割機(jī)全部派往地區(qū)，可使公司獲得的租金最高。四、建立函數(shù)模型函數(shù)應(yīng)用問題涉及的知識(shí)層面豐富，解法靈活多變，是考試命題的熱點(diǎn)問題。解答此類 問題，一般都是從建立函數(shù)關(guān)系入手，將實(shí)

29、際問題模型化或結(jié)合函數(shù)圖象來挖掘解題思路。例.（年廣東省梅州市中考題）東海體育用品商場(chǎng)為了推銷某一運(yùn)動(dòng)服，先做了市場(chǎng)調(diào)查,得到數(shù)據(jù)如下表：賣出價(jià)格（元件）銷售量（件）（）以作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作為縱坐標(biāo)，把表中的數(shù)據(jù)，在圖中的直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng) 的點(diǎn)，觀察連結(jié)各點(diǎn)所得的圖形，判斷與的函數(shù)關(guān)系式；（）如果這種運(yùn)動(dòng)服的買入件為每件元，試求銷售利潤（元）與賣出價(jià)格（元件）的函 數(shù)關(guān)系式（銷售利潤銷售收入一買入支出）；（）在（）的條件下，當(dāng)賣出價(jià)為多少時(shí)，能獲得最大利潤？pt件） L500 -430 -480 -470 -IL50 51 52 53近元1件】”50 口 = 5妖+力解：（）與成一次函數(shù)關(guān)

30、系。設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，則4如二5比十匕解得：，經(jīng)檢驗(yàn)可知：當(dāng)，當(dāng)，時(shí)也適合這一關(guān)系式所求的函數(shù)關(guān)系為一0依題意得：一（ ）（）（）由一一可知，當(dāng)2"-10）時(shí)，有最大值 賣出價(jià)格為元時(shí)，能獲得最大利潤。五、建立統(tǒng)計(jì)模型統(tǒng)計(jì)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，作為學(xué)生要學(xué)會(huì)深刻理解基本統(tǒng)計(jì)思想，要善 于提出問題，考慮抽樣，收集數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，做出決策，并能進(jìn)行有效的交流、評(píng)價(jià)與改 進(jìn)。例.（年遼寧省錦州市中考題） 某校為了推動(dòng)信息技術(shù)的發(fā)展，舉行了電腦設(shè)計(jì)作品比賽,各班派學(xué)生代表參加，現(xiàn)將所有比賽成績(jī)（得分取整數(shù)，滿分為分）進(jìn)行處理然后分成五組，并繪制了頻數(shù)分布直方圖，請(qǐng)結(jié)合圖中提供的信息，

31、解答下列問題：()參加比賽學(xué)生的總?cè)藬?shù)是多少 ？()這一分?jǐn)?shù)段的頻數(shù)、頻率是多少 ？()這次比賽成績(jī)的中位數(shù)落在哪個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)？()根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你也提出一個(gè)問題，并做出回答 解：() 參賽學(xué)生總?cè)藬?shù)為(人)；5() 這一分?jǐn)?shù)段的頻數(shù)為，頻率是 行；() 這次比賽成績(jī)的中位數(shù)落在這一分?jǐn)?shù)段內(nèi)；() 答案不惟一，只要合理，就可給分.提問題舉例：這次競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)落在哪一個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)？答：眾數(shù)落在這一分?jǐn)?shù)段內(nèi)；分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生與分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生哪一個(gè)多？答：在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生多；若規(guī)定分以上(不含分)為優(yōu)秀，則此次考試的優(yōu)秀率為多少？答：L I 1 .六、建立幾何模型幾何應(yīng)用題內(nèi)容豐富，諸如測(cè)量、取料、剪裁

32、、方案設(shè)計(jì)、美化設(shè)計(jì)等等。解答此類問 題的一般方法是認(rèn)真分析題意，把實(shí)際問題進(jìn)行抽象轉(zhuǎn)化為幾何問題，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求 解。例.（年淄博市中考題）在日常生活中，我們經(jīng)常看到一些窗戶上安裝著遮陽蓬，如圖 （）.現(xiàn)在要為一個(gè)面向正南的窗戶設(shè)計(jì)安裝一個(gè)遮陽蓬，已知該地區(qū)冬天正午太陽最低時(shí)， 光線與水平線的夾角為。；夏天正午太陽最高時(shí)，光線與水平線的夾角為。把圖畫成圖，其中表示窗戶的高，表示直角形遮陽蓬遮陽蓬怎樣設(shè)計(jì)，才能正好在冬天正午太陽最低時(shí)光線最大限度地射入室內(nèi)而夏天正 午太陽最高時(shí)光線剛好不射入室內(nèi)？請(qǐng)?jiān)趫D中畫圖表示；已知=150cm,在的條件下，求出，的長度（精確到1cm）解：（）如圖（）如

33、圖，設(shè)=,=在和中，150 + x= tan760 山<由題意，得彳二廠tan 34©把代入，得150+j tan 34° = j tan 76°45(),.y 總tan 76°-tan 34°150；一】二（）.答：、的長度分別約為 30cmr 45cmi七、建立線性規(guī)劃模型近年來，中考試題中開始出現(xiàn)線性規(guī)劃問題。所謂線性規(guī)劃，是指求線性函數(shù)在線性 等式或等式）約束下達(dá)最（小或大）值的問題。線性規(guī)劃廣泛應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)、軍事、交通運(yùn)輸、 決策管理與規(guī)劃、科學(xué)實(shí)驗(yàn)等領(lǐng)域。例.（年山東省煙臺(tái)市）先閱讀下面的材料，然后解答問題：在一條直線上有依次排列的（）臺(tái)機(jī)床在工作，我們要設(shè)置零件供應(yīng)站，使這臺(tái)機(jī)床 到供應(yīng)站的距離總和最小，要解決這個(gè)問題，先退到比較簡(jiǎn)單的情形：A】 p AiA）曲（P） d 也I. 11甲乙甲 乙囿丙十圖圖如圖，如果直線上有臺(tái)機(jī)床