1金融工程分析方法

1、1第一部分:金融 工程理論2 金融工程在解決金融問題過程中離不開現金金融工程在解決金融問題過程中離不開現金流。一項投資（負債），現金在不同時間，不斷流。一項投資（負債），現金在不同時間，不斷地流進（流出）。所以投資和融資機會都可以用地流進（流出）。所以投資和融資機會都可以用現金流來描述。現金流來描述。 一、現金流：指收到的一、現金流：指收到的現金序列現金序列或支付的現或支付的現金序列。在時間金序列。在時間t時收到的現金流用時收到的現金流用cf t表示。表示。 二、現金流的三個重要特征：二、現金流的三個重要特征： 1、現金流的大小或數量；、現金流的大小或數量； 2、現金流的方向（流入或流出）；、

2、現金流的方向（流入或流出）； 3、現金流發(fā)生的時間。、現金流發(fā)生的時間。3例例1 初始成本相等初始成本相等120美元的兩項投資項目美元的兩項投資項目a和項目和項目b，投資收益的現金流如下表，從會計利潤和金融價值投資收益的現金流如下表，從會計利潤和金融價值（設貼現率（設貼現率10%,25%。若按風險中性則用國債利率）。若按風險中性則用國債利率）兩方面比較兩方面比較a和和b。 會計利潤（絕對收益）：不管經過多少年，只管部會計利潤（絕對收益）：不管經過多少年，只管部絕對收益。絕對收益。 金融價值（時間價值）：現金流在時間上是有價金融價值（時間價值）：現金流在時間上是有價值的。同一筆資金在不同時間有不

3、同價值。值的。同一筆資金在不同時間有不同價值。45a時間（年時間（年）a收入數量（美元）收入數量（美元）b時間（年）時間（年）b收入數量（美元）收入數量（美元）1500 454.551900 818.182600 495.872600 495.873700 525.923500 375.664800 546.414400 273.21總計總計2600總計總計2400 現值（現值（10%）現值（現值（25%） 2022.75 390.08現值（現值（10%）現值（現值（25%） 1962.92 443.84 會計利潤分析：會計利潤分析：a優(yōu)于優(yōu)于b； 金融價值分析：？金融價值分析：？ 一、現金流

4、的時間價值一、現金流的時間價值 例例1中，中，a和和b的現金流的金融價值和會計利潤的現金流的金融價值和會計利潤是不同的。金融價值要考慮時間價值，即是不同的。金融價值要考慮時間價值，即現金流在現金流在時間上是有價值的，時間上是有價值的，在評價現金流價值時要考慮時在評價現金流價值時要考慮時間因素。間因素。 例例2：投資組合：持有一份執(zhí)行價：投資組合：持有一份執(zhí)行價x的歐式看漲的歐式看漲期權期權+數額數額x*exp-r(t-t)收益率收益率r的債券。的債券。 從合同期從合同期t到到t，不同的時刻組合有不同的價值。，不同的時刻組合有不同的價值。6 例例2 投資組合：持有一份執(zhí)行價投資組合：持有一份執(zhí)行

5、價x的歐式看的歐式看漲期權漲期權+數額數額x*exp-r(t-t)收益率收益率r的債券。的債券。 從合同期從合同期t到到t，不同的時刻組合有不同的價值。，不同的時刻組合有不同的價值。 例例3 5年期的借款年期的借款100萬元，利率萬元，利率10%，則當，則當前前100萬元與以下現金流等價：萬元與以下現金流等價： 第第1年末，第年末，第2年末，第年末，第3年末，第年末，第4年末，第年末，第5年末年末 10萬，萬， 10萬，萬， 10萬，萬， 10萬，萬， 110萬萬 二、現金流的現值二、現金流的現值 通過考慮時間因素把現金流折現到當前值，折通過考慮時間因素把現金流折現到當前值，折現后的價值稱為現

6、值。現后的價值稱為現值。7 在第在第t年收到的現金流為年收到的現金流為cft，折現率為，折現率為kt ， 當當kt 為年利率，并且每年派一次息，現值為為年利率，并且每年派一次息，現值為 pv= cft /（1+ kt ）（）（t方）方） 當當kt 為連續(xù)復利，把一年的利息連續(xù)派息無限為連續(xù)復利，把一年的利息連續(xù)派息無限次，現值為次，現值為 pv= cft *exp（-t*kt ） 上例中，上例中，a和和b的合理價格（金融價值，折現的合理價格（金融價值，折現率取率取10%）分別為：）分別為：2022.75美元，美元，1962.92美元的美元的成本。成本。 值得為項目值得為項目a和和b付出成本的上

7、限分別為：付出成本的上限分別為：2022.75美元，美元，1962.92美元，但不能超出。于是可美元，但不能超出。于是可用凈現值法分析用凈現值法分析a和和b的投資價值：的投資價值： npv=項目現值項目現值-項目成本項目成本8連續(xù)復利終值公式：連續(xù)復利與每年m次復利的轉換：rnaeln 11mcrcmrmmrmrm e9 假設數額假設數額a以利率以利率r投資了投資了n年。如果利息按年。如果利息按每一年計一次復利，則上述投資的終值為：每一年計一次復利，則上述投資的終值為：如果每年計如果每年計m次復利，則終值為：次復利，則終值為： 當當m趨于無窮大時，趨于無窮大時，r就稱為連續(xù)復利就稱為連續(xù)復利（

8、continuous compounding），此時的終值為），此時的終值為 ：10nra1mnmra 1rnmnmrmaea1lim 凈現值：凈現值： npv=現值總量現值總量-成本成本 a的的npv= 2022.75-120=822.75美元美元 b的的npv= 1962.92-120=762.92美元美元 顯然顯然a的凈現值優(yōu)于的凈現值優(yōu)于b的凈現值，所以對的凈現值，所以對10%的折現率，的折現率，a的投資價值優(yōu)于的投資價值優(yōu)于b的投資價值。的投資價值。 但是折現率變化時，但是折現率變化時，npv會有變化，稱為敏感會有變化，稱為敏感性。例如當折現率為性。例如當折現率為25%，a的的npv

9、=270.08美元，美元，b的的npv=323.84美元，所以當折現率為美元，所以當折現率為25%，b的的投資價值優(yōu)于投資價值優(yōu)于a的投資價值。的投資價值。 可見，分析可見，分析a和和b還要考慮到市場利率和投資還要考慮到市場利率和投資的預期收益率。即要考慮折現率。的預期收益率。即要考慮折現率。11一、絕對定價法一、絕對定價法 絕對定價法就是根據證券未來現金流絕對定價法就是根據證券未來現金流的特征，運用恰當的貼現率將這些現金的特征，運用恰當的貼現率將這些現金流貼現加總為現值，該現值就是此證券流貼現加總為現值，該現值就是此證券的合理價格。的合理價格。 股票和債券定價大多使用絕對定價法。股票和債券定

10、價大多使用絕對定價法。12 求債券當前的價格求債券當前的價格 把這一債券將來把這一債券將來有限有限的現金流（收益）按一定的現金流（收益）按一定貼現率進行貼現，再加總所得到的結果就是該債貼現率進行貼現，再加總所得到的結果就是該債券的當前價格。券的當前價格。 求股票當前的價格求股票當前的價格 把這一股票將來把這一股票將來無限無限的現金流（收益）按一的現金流（收益）按一定貼現率進行貼現，再加總所得到的結果就是該定貼現率進行貼現，再加總所得到的結果就是該股票的當前價格。股票的當前價格。 區(qū)別：債券的期限是有限的，股票的期限是無區(qū)別：債券的期限是有限的，股票的期限是無限的。限的。 絕對定價法是一般原理，

11、易于理解，但難以應用。絕對定價法是一般原理，易于理解，但難以應用。13二、相對定價法二、相對定價法 相對定價法的基本思想就是利用標的資產相對定價法的基本思想就是利用標的資產價格與衍生證券價格之間的內在關系，直接價格與衍生證券價格之間的內在關系，直接根根據標的資產價格求出衍生證券價格據標的資產價格求出衍生證券價格。 應用：應用： 衍生證券定價則主要運用相對定價法。衍生證券定價則主要運用相對定價法。 例如在后面要進行的衍生證券的定價都是相例如在后面要進行的衍生證券的定價都是相對定價法。對定價法。 絕對定價法是一般原理，易于理解，但難以絕對定價法是一般原理，易于理解，但難以應用；相對定價法則易于實現

12、，貼近市場，一應用；相對定價法則易于實現，貼近市場，一般僅適用于衍生證券。般僅適用于衍生證券。1415 一、套利一、套利套利是一種在既沒有成本，又沒有風險的情況下能套利是一種在既沒有成本，又沒有風險的情況下能夠獲取利潤的交易活動。夠獲取利潤的交易活動。 即套利機會是指無風險和無初始投資的獲利機會。即套利機會是指無風險和無初始投資的獲利機會。 二、無套利假設二、無套利假設 市場是有效率的。一旦有市場信息（包括套利機市場是有效率的。一旦有市場信息（包括套利機會）出來每個投資者都有能同時發(fā)現。會）出來每個投資者都有能同時發(fā)現。 無套利：在有效的資本市場上，資產價格會立即無套利：在有效的資本市場上，資

13、產價格會立即調整而使得套利機會無法長時間存在。調整而使得套利機會無法長時間存在。 在一個有效金融市場上，信息傳遞得如此之快，在一個有效金融市場上，信息傳遞得如此之快，如此之廣，所有投資者都有參與交易，以至于任何如此之廣，所有投資者都有參與交易，以至于任何無風險套利的機會都瞬間即逝。無風險套利的機會都瞬間即逝。16 一、無套利含義：對成熟市場（市場是有效的），一、無套利含義：對成熟市場（市場是有效的），一旦發(fā)現無風險套利的機會，就會充分利用，直至一旦發(fā)現無風險套利的機會，就會充分利用，直至無風險套利機會消失，市場達到均衡為止。無風險套利機會消失，市場達到均衡為止。 二、無套利原則（無套利原理，無

14、套利均衡分析方二、無套利原則（無套利原理，無套利均衡分析方法）：法）：如果市場是有效的，則市場不存在無市場風如果市場是有效的，則市場不存在無市場風險套利的機會。即無套利市場不存在既不要成本，險套利的機會。即無套利市場不存在既不要成本，又沒有風險的套利機會。又沒有風險的套利機會。 如果市場上有無風險套利機會，因為市場是有如果市場上有無風險套利機會，因為市場是有效的，就會有很多人發(fā)現這機會而進行套利，于是效的，就會有很多人發(fā)現這機會而進行套利，于是價格必然由于套利行為作出相應的調整，使套利機價格必然由于套利行為作出相應的調整，使套利機會立即消失，重新回到均衡的狀態(tài)。這就是無套利會立即消失，重新回到

15、均衡的狀態(tài)。這就是無套利的定價原則。的定價原則。 “所有人所有人”發(fā)現機會時，無法套利！發(fā)現機會時，無法套利！“所有人所有人”認同的投資機會就不是機會了認同的投資機會就不是機會了（如入市和選股）（如入市和選股）17一、無套利價格一、無套利價格 在沒有套利機會存在的條件下金融資產的價格。在沒有套利機會存在的條件下金融資產的價格。二、無套利基本引理二、無套利基本引理（一）基本條件（一）基本條件 1、資產在市場交易；、資產在市場交易； 2、投資者自由進入市場；、投資者自由進入市場； 3、任何交易者都可無限制取得市場上資產的任意多、任何交易者都可無限制取得市場上資產的任意多頭和空頭，也可以無限制取得合

16、成資產的多頭和空頭；頭和空頭，也可以無限制取得合成資產的多頭和空頭； 4、投資者可按無風險利率進行進行無限制的現金借、投資者可按無風險利率進行進行無限制的現金借貸；貸； 5、無交易費用，含經濟人擁金、稅、保證金、無交易費用，含經濟人擁金、稅、保證金、融券融券成本成本等。等。往后只考慮融資成本，忽略融券（借資產）成本。往后只考慮融資成本，忽略融券（借資產）成本。 6、無違約風險。即違約風險不在這里討論。、無違約風險。即違約風險不在這里討論。18（二）基本引理（二）基本引理 如果資產如果資產a和和b在時間區(qū)間（在時間區(qū)間（t,t）內都沒有）內都沒有發(fā)生另外的現金流或另外的交易，則發(fā)生另外的現金流或

17、另外的交易，則 1、t時刻時刻a價值大于等于價值大于等于b價值的價值的充要條件充要條件是是a現值也大于等于現值也大于等于b現值?，F值。 即即at=bt（at=bt（at=bt）。）。 2、t時刻時刻a價值等于價值等于b價值的價值的充要條件充要條件是是a現值也等于現值也等于b現值?，F值。 即即at=bt充要條件充要條件是是at=bt 。19 證明：（證明：（1）必要性（反證法）：若）必要性（反證法）：若at0 at-bt=0 組合在組合在t現金流為正現金流為正,在在t現金流非負，組合在現金流非負，組合在t到到t不需要投入資金，也沒有市場風險。所以組合不需要投入資金，也沒有市場風險。所以組合c是套

18、利組合。與無套利原理矛盾，必要性得證。是套利組合。與無套利原理矛盾，必要性得證。20 充分性（反證法）：若充分性（反證法）：若at=0 bt-at0 組合在組合在t現金流非負現金流非負,在在t現金流為正，組合在現金流為正，組合在t到到t不需要投入資金，也沒有風險。所以組合不需要投入資金，也沒有風險。所以組合d是套是套利組合。與無套利原理矛盾，充分性得證。利組合。與無套利原理矛盾，充分性得證。21 （2）at=bt ，當且僅當，當且僅當at=bt與與at=bt與與at11%，所以市場存在套利機會。，所以市場存在套利機會。附：按一年派息一次的復利計算：附：按一年派息一次的復利計算：由（由（*）式）

19、式有：有： （1+0.100.5）（）（1+r0.5）= （1+ 0.121） 即按一年派息一次的復利計算的無套利遠即按一年派息一次的復利計算的無套利遠期利率為期利率為r=13.33% 。顯然。顯然r=13.33% 11% 。所以市場存在套利機會。所以市場存在套利機會。25（2）如果市場上遠期利率）如果市場上遠期利率r=11%，而無套利的遠，而無套利的遠期利率期利率r=14%，則市場有無風險套利機會。，則市場有無風險套利機會。 套利思路：套利思路：借短借短（前半年即期（前半年即期10%和和612的的遠期遠期11%）貸長貸長（一年的即期（一年的即期12%） 套利組合：年初三筆交易為套利組合套利組

20、合：年初三筆交易為套利組合 按按10%的利率借款的利率借款6個月，本金個月，本金1000萬元；萬元； 以多頭方以多頭方簽訂一份簽訂一份612的遠期利率協(xié)議，的遠期利率協(xié)議，協(xié)議利率為協(xié)議利率為11%，名義本金為，名義本金為 1051萬元萬元=1000exp(0.100.5）萬元；）萬元； 按按12%的即期利率貸出一筆的即期利率貸出一筆1年期的款項，年期的款項，金額為金額為1000萬元。萬元。26 套利結果：套利結果： 借入借入：頭：頭6個月，按個月，按10%利率借入資金利率借入資金1000萬萬元，到期要還要還本息為元，到期要還要還本息為 1051萬元萬元=1000exp(0.100.5）。）。

21、 后后6個月，按個月，按11%利率借款利率借款1051萬元，到期要還萬元，到期要還本息為本息為 1110萬元萬元=1051exp(0.110.5）。）。 貸出貸出：12個月，按個月，按12%的利率貸出款項金額的利率貸出款項金額1000萬元。萬元。1年后收回本息年后收回本息 1127萬元萬元=1000exp(0.121） 無風險套利額無風險套利額： 17萬元萬元=1127萬元萬元-1110萬元萬元27效果分析：效果分析： 既不用投入資金，又無風險地套利既不用投入資金，又無風險地套利17萬元。萬元。即交易者凈賺即交易者凈賺17萬元。萬元。 無套利原理認為：在無套利的假定下，這無套利原理認為：在無套

22、利的假定下，這種機會瞬間被所有人發(fā)現，大家都來套利，種機會瞬間被所有人發(fā)現，大家都來套利，市場上的遠期利率市場上的遠期利率11%就會立刻升高，套利就會立刻升高，套利機會立刻消失，恢復到無套利機會的遠期利機會立刻消失，恢復到無套利機會的遠期利率率14%的水平。的水平。 這種無套利機會的狀態(tài)，叫做均衡狀態(tài)。這種無套利機會的狀態(tài)，叫做均衡狀態(tài)。所以無套利分析法也叫無套利均衡分析法。所以無套利分析法也叫無套利均衡分析法。28總結并證明一般結論：總結并證明一般結論： 1、無套利遠期利率（連續(xù)復利）公式、無套利遠期利率（連續(xù)復利）公式當前時刻是當前時刻是t，設，設r和和r*分別是分別是t至至t，t至至t*

23、即即期利率，期利率，t*t，rf是是t到到t*的遠期利率，則的遠期利率，則 2、如果市場上遠期利率不等于無套利遠期、如果市場上遠期利率不等于無套利遠期利率，則可按利率，則可按“借短貸長借短貸長”的思路進行套利。的思路進行套利。29假定外匯市場和貨幣市場的行情如下表。假定外匯市場和貨幣市場的行情如下表。（1）試進行無風險套利；）試進行無風險套利；（2）求無套利遠期匯率。）求無套利遠期匯率。30貨幣市場貨幣市場外匯市場外匯市場美元利率：美元利率：6%馬克利率：馬克利率：10%即期：即期：1美元美元=1.8馬克馬克1年遠期：年遠期： 1美元美元=1.8馬克馬克解解：（：（1）套利辦法為：套利辦法為：

24、低買（低買（6%）高賣（）高賣（10%）。）。 套利組合為：套利組合為： 按即期利率按即期利率6%借入美元，本金借入美元，本金1美元，期限美元，期限1年（年（到期償還本息到期償還本息1.06美元美元）；）； 按即期匯率按即期匯率1.8將將1美元換成美元換成1.8馬克；馬克； 按即期期利率按即期期利率10%貸出貸出1.8馬克，期限馬克，期限1年年（到期得到本息為（到期得到本息為1.98馬克）；馬克）； 年初以賣方交易一份遠期外匯協(xié)議，協(xié)議匯年初以賣方交易一份遠期外匯協(xié)議，協(xié)議匯率率1美元美元=1.8馬克，馬克，本金本金1.98馬克。（到期結算得到馬克。（到期結算得到1.1美元）美元） 套利結果：

25、套利結果： 1.1美元美元- 1.06美元美元= 0.04美元美元31 （2）求無套利遠期匯率）求無套利遠期匯率 組合組合a：本金：本金1美元，按美元，按6%即期利率投資即期利率投資1年，到期本息是年，到期本息是1.06美元；美元；expr(t-t) 組合組合b：本金：本金1美元，按美元，按1美元美元=1.8馬克匯率馬克匯率換成馬克，以換成馬克，以10%的即期利率投資的即期利率投資1年，到期年，到期可獲取可獲取1.98馬克的本息。馬克的本息。f*(1/s)*exprf(t-t) a的初值的初值=b的初值的初值=1美元美元根據無套利原理有：根據無套利原理有： a的終值的終值=b的終值值的終值值

26、即即1.06美元美元= 1.98馬克。由此，所求的無套利馬克。由此，所求的無套利遠期匯率為：遠期匯率為：1美元美元= 1.8679馬克。馬克。32總結并證明一般結論：總結并證明一般結論： 1、兩國利率平價關系、兩國利率平價關系 當前時刻是當前時刻是t，本幣和外幣從，本幣和外幣從t至至t的利率分的利率分別是別是r和和rf（連續(xù)復利），當前時刻（連續(xù)復利），當前時刻t的匯率是的匯率是s，將來時刻將來時刻t的遠期匯是的遠期匯是f，匯率都采用直接標，匯率都采用直接標價法（以本幣表示每單位外幣的價格，如人民價法（以本幣表示每單位外幣的價格，如人民幣匯率），則幣匯率），則 2、如果市場上遠期匯率不等于無套

27、利遠期、如果市場上遠期匯率不等于無套利遠期匯率，則存在無風險套利機會。匯率，則存在無風險套利機會。 33 證明結論證明結論1： 構造兩個組合構造兩個組合 組合組合a： 1單位外幣投資于利率單位外幣投資于利率rf，到期本，到期本息是息是exprf(t-t)外幣，再按遠期匯率外幣，再按遠期匯率f換成本換成本幣幣f*exprf(t-t)（本幣）（本幣）; 組合組合b： 1單位外幣等于單位外幣等于s單位本幣，投資單位本幣，投資于于r，到期本息，到期本息s*expr(t-t)（本幣）。（本幣）。 at=bt=1單位外幣單位外幣根據無套利原理有：根據無套利原理有： at=bt f*exprf(t-t)=

28、s*expr(t-t)34 套利是指利用一個或多個市場存在的價格差異，在不冒任何損失風險且無需自有資金的情況下獲取利潤的行為。 無格套利的三大特征無格套利的三大特征 無風險無風險/復制復制/零投資零投資 特征特征1：無套利定價原則要求在：無套利定價原則要求在無風險無風險的的狀態(tài)下進行套利。狀態(tài)下進行套利。 在套利無法獲取無風險超額收益的狀態(tài)下，市場達到無套利均衡，此時得到的價格即為無套利價格。35 無套利分析法是衍生資產定價的基本思想和重要方法，也是金融學區(qū)別于經濟學“供給需求分析”的一個重要特征。 特征特征2：無套利定價的關鍵技術：無套利定價的關鍵技術：“復制復制”技術，即用一組證券來復制另

29、技術，即用一組證券來復制另外一組證券。外一組證券。 特征特征3：從即時看無風險的套利活：從即時看無風險的套利活動是現金流為動是現金流為零投資組合零投資組合（自融資組（自融資組合），即不投入新資金。合），即不投入新資金。3637一、風險中性假設一、風險中性假設 假定所有投資者都是風險中性的，既不偏假定所有投資者都是風險中性的，既不偏好也不厭惡。此時投資者不需要額外的收益好也不厭惡。此時投資者不需要額外的收益來吸引它們承擔風險。來吸引它們承擔風險。 二、風險中性原理二、風險中性原理 在風險中性假設下，投資者不需要額外的在風險中性假設下，投資者不需要額外的收益來吸引他們承擔風險，因此收益來吸引他們承

30、擔風險，因此所有證券的所有證券的預期收益率都等于無風險利率，所有現金流預期收益率都等于無風險利率，所有現金流都應該使用無風險利率進行貼現求得現值都應該使用無風險利率進行貼現求得現值。這就是風險中性定價原理。這就是風險中性定價原理。38三、風險中性定價與無套利定價在三、風險中性定價與無套利定價在假設假設上的區(qū)上的區(qū)別別 無套利定價法假設市場是有效的，因此不無套利定價法假設市場是有效的，因此不存在無風險套利的機會。它是存在無風險套利的機會。它是對市場進行假設對市場進行假設的。的。 風險中性定價法是假設所有投資者都是風風險中性定價法是假設所有投資者都是風險中性的，因此投資者不需要額外的收益來吸險中性

31、的，因此投資者不需要額外的收益來吸引它們承擔風險。它是引它們承擔風險。它是對所有投資者進行假設對所有投資者進行假設的。的。 這些假設都是把環(huán)景假設成一種極端的理這些假設都是把環(huán)景假設成一種極端的理想狀態(tài)，由此得出結論。然后人們將這些結論想狀態(tài)，由此得出結論。然后人們將這些結論用于一般的情況。用于一般的情況。 39 假設一種不支付紅利股票，目前價假設一種不支付紅利股票，目前價為為10元，元，3個月后，該股票價格要么是個月后，該股票價格要么是11元，要么是元，要么是9元。設元。設f為該股票歐式看為該股票歐式看漲期權漲期權(標的為標的為1股股票股股票)的價格，期權的的價格，期權的期限為期限為3個月，

32、協(xié)議價為個月，協(xié)議價為10.5元，無風險元，無風險利率為利率為10% 。 （1）用無套利定價法求）用無套利定價法求f ； （2）用風險中性定價法求）用風險中性定價法求f。 解：解：（1）用無套利定價法用無套利定價法 方法方法1：組合的現值組合的現值=組合成本組合成本40 構造一個無風險組合：構造一個無風險組合： 賣出一個看漲期權賣出一個看漲期權+買入買入單位股票。單位股票。 該組合有風險，有成本，組合成本是該組合有風險，有成本，組合成本是10-f 。如果要求組合無風險，觀察有什么結果：如果要求組合無風險，觀察有什么結果： 因為組合無風險，所以將來沒有不確定性，因為組合無風險，所以將來沒有不確定

33、性，即即 股票上漲時組合價值股票上漲時組合價值=股票下跌時組合價值股票下跌時組合價值 11 -0.5= 9 =0.25 無風險組合的終值為：無風險組合的終值為： 11 -0.5=9=2.25元元 。41組合的現值為：組合的現值為：42由組合現值等于組合成本，于是得到期權的由組合現值等于組合成本，于是得到期權的價格：價格： 元19. 225. 225. 01 . 0e元31. 019. 225. 010ff解：解：（1）用無套利定價法用無套利定價法方法方法2：零投資組合的終值是零投資組合的終值是0。 構造構造0投資組合：投資組合：賣出一個看漲期權賣出一個看漲期權+買入買入單位股票單位股票+借款借

34、款b（b0時借入，時借入，b0時貸出）。時貸出）。 組合初值：組合初值：f+b-10=0 （*） 由上式，只要求出由上式，只要求出 b和和，就可以求出，就可以求出 f 。 由無套利原理，組合終值由無套利原理，組合終值=0 當股票上漲和下跌時，組合終值分別為：當股票上漲和下跌時，組合終值分別為： 11-0.5-b*exp（10%*3/12）=0 9-0-b*exp（10%*3/12）=0 解得解得=0.25，b=2.1949 代入（代入（*）式，得）式，得f =0.31元元 。43 （2）用風險中性定價法）用風險中性定價法 由風險中性原理，貼現率為由風險中性原理，貼現率為10%。分別。分別求出股

35、票終值和期權終值，然后貼現。求出股票終值和期權終值，然后貼現。 股票現值股票現值=股票當前價格股票當前價格 設股票上升的概率為設股票上升的概率為p，下跌的概率為，下跌的概率為1-p，所以期權到期時，股票的期望價值為，所以期權到期時，股票的期望價值為11p+9（1-p）。用無風險利率貼現，得到股）。用無風險利率貼現，得到股票現值為票現值為 由上述等式求出概率由上述等式求出概率p=0.6266，這一概，這一概率稱為風險中性概率。率稱為風險中性概率。440 .10 .2 51 19 11 0epp（） 期權現值期權現值=期權當前價格期權當前價格 期權到期，當股價為期權到期，當股價為11，則期權價值為

36、，則期權價值為0.5；當股價為；當股價為9，則期權價值為，則期權價值為0。所以期權。所以期權的期望價值為：的期望價值為： 0.5p+0（1-p） 再根據風險中性定價原理，用無風險利再根據風險中性定價原理，用無風險利率折現期權的價值，就得到期權的價格：率折現期權的價值，就得到期權的價格：450.1 0.25(0.5 0.6266 0 0.3734)0.31fe 元 四、風險中性假設下一些結論四、風險中性假設下一些結論 1、收益率等于無風險利率；、收益率等于無風險利率； 2、貼現率等于無風險利率；、貼現率等于無風險利率； 3、投資的風險溢價等于、投資的風險溢價等于0； 風險溢價風險溢價=風險投資收

37、益率風險投資收益率-無風險利率無風險利率 4、單位風險價格等于、單位風險價格等于0。 單位風險價格單位風險價格=單位風險超額回報率單位風險超額回報率 =（風險投資收益率（風險投資收益率-無風險利率）無風險利率）/標準差。標準差。4647 在金融工程業(yè)務中，常常在當前在金融工程業(yè)務中，常常在當前t就可以推斷風就可以推斷風險資產價格（股價、利率、匯率等）在未來險資產價格（股價、利率、匯率等）在未來t時刻的時刻的價格，在這樣情況下，求該資產的衍生產品當前價價格，在這樣情況下，求該資產的衍生產品當前價格。格。如：如： us cu=max(us-k,0 s c ds cd=max(ds-k,0) 通過幾

38、何布朗運動，可求出通過幾何布朗運動，可求出u和和d，于是，于是cu和和cd已已知，求歐式看漲期權當前價格知，求歐式看漲期權當前價格c。 類似地，可考慮多次開叉，得到風險資產未來可能價格，類似地，可考慮多次開叉，得到風險資產未來可能價格，求當前價格。求當前價格。 48一、狀態(tài)價格一、狀態(tài)價格 設資產在將來的特定狀態(tài)的回報為設資產在將來的特定狀態(tài)的回報為1，在將來的其它情況回報為在將來的其它情況回報為0，則該資產，則該資產在當前的價格就是狀態(tài)價格。在當前的價格就是狀態(tài)價格。二、狀態(tài)定價法二、狀態(tài)定價法49 如果某資產未來時刻有如果某資產未來時刻有n種狀態(tài)種狀態(tài)（n種可能結果），而這種可能結果），而

39、這n種狀態(tài)的現種狀態(tài)的現金流都已知，那么就可以運用該資產在金流都已知，那么就可以運用該資產在未來各種狀態(tài)下的未來各種狀態(tài)下的現金流和市場無風險現金流和市場無風險利率水平利率水平，對該資產進行定價對該資產進行定價，這就是，這就是狀態(tài)價格定價技術。狀態(tài)價格定價技術。 狀態(tài)價格定價法與無套利定價原理、狀態(tài)價格定價法與無套利定價原理、風險中性定價原理也存在內在一致性。風險中性定價原理也存在內在一致性。三種方法所得結果有一致性。三種方法所得結果有一致性。50三、狀態(tài)定價技術三、狀態(tài)定價技術 （一）先構造兩個基本證券（一）先構造兩個基本證券基本證券基本證券1：當前價格是：當前價格是 ，經過時間，經過時間t

40、后價后價格僅有兩種狀態(tài)，在證券市場上升時價格為格僅有兩種狀態(tài)，在證券市場上升時價格為1，在證券市場下跌時價格為在證券市場下跌時價格為0?；咀C券基本證券2：當前價格是：當前價格是 ，經過時間，經過時間t后后價格僅有兩種狀態(tài)，在證券市場上升時價格價格僅有兩種狀態(tài)，在證券市場上升時價格為為0，在證券市場下跌時價格為，在證券市場下跌時價格為1。 1 0 0 151udud （二）對任何風險證券（二）對任何風險證券a，都可以由這兩，都可以由這兩個基本證券復制個基本證券復制 設風險證券設風險證券a的當前價格是的當前價格是pa，經過，經過t時時間后只有兩種可能，一是上升到間后只有兩種可能，一是上升到upa

41、，二是下，二是下降到降到dpa。 下面要在將來現金流下面要在將來現金流upa和和dpa都已知下，都已知下，求出求出pa。 a可由兩個基本證券復制而得，通過復制可由兩個基本證券復制而得，通過復制技術求技術求pa。 復制的組合如下：復制的組合如下：52組合組合：購買：購買upa份證券份證券1+購買購買dpa份證券份證券2。組合在時間組合在時間t時的價格時的價格：在證券市場上升時組：在證券市場上升時組合價格為合價格為upa，在證券市場下跌時組合價格為，在證券市場下跌時組合價格為dpa。所以組合正好復制了證券。所以組合正好復制了證券a。組合現在（時間組合現在（時間t）的價格）的價格： uupa+ddp

42、a。而而a在現在的價格為在現在的價格為pa。兩者現價要相等兩者現價要相等：根據無套利原理，現在組：根據無套利原理，現在組合的價格等于現在合的價格等于現在a的價格，即的價格，即 pa= upa+ dpa （1.1) 只要求出只要求出 和和 就得到就得到 pa。由。由(1.1)得得 1= u+ d (1.2)53ududud（三）為了求出基礎證券的狀態(tài)價格，研究三）為了求出基礎證券的狀態(tài)價格，研究單位組合：單位組合： 1份證券份證券1+1份證券份證券2 單位組合在時刻單位組合在時刻t的價值：在證券市場上的價值：在證券市場上升時組合價值為升時組合價值為1，在證券市場下跌時組合價，在證券市場下跌時組合價值為