軸對稱綜合提高練習進步

1、-!軸對稱綜合提高練習知識點撥1. 非等腰三角形中邊角的不等關系：在一個三角形中，如果兩邊不相等，那么它們所對的角也不相等，大邊對大角；如果兩角不相等，那么它們所對的邊也不相等， 大角對大邊.可 利用圖和圖證明這兩個事實.CC B2. 平面直角坐標系中，關于坐標軸夾角平分線對稱的點的坐標特征：如圖，如果點的坐標是(a, b),那么點A關于一、三象限角平分線對稱的點B的坐標是(b, a),關于二、四象限角平分線對稱的點 C的坐標是(一b,- a) 點A在其他象限時這一規(guī)律仍然成 立，只要兩點關于一、三象限角平分線對稱，其橫、縱坐標互換位置；關于二、四象限角平 分線對稱，其橫、縱坐標變號后互換位置

2、.能力提升類例1 已知等腰厶ABC中，AB = AC，/ BAC = 30°, AD為BC邊上的高，P點在 AC 上, E點在AD上，若PE+ EC的最小值為4，則 ABC的面積為()A. 8 B. 16 C. 32 D. 64APCD例 2 已知點 A (- 2, 4)、B (2, 4)、C (- 1, 2)、D ( 1, 2)、E (- 3, 1 )、F (3, 1)是平面直角坐標系內(nèi)的 6個點，選擇其中三個點連成一個三角形，剩下三個點連成另一 個三角形，若這兩個三角形關于y軸對稱，就稱為一組對稱三角形，那么，坐標系中能找出組對稱三角形.-4 -3 -2 -1 O綜合運用類例3如

3、圖所示，把正方形紙片ABCD對折后打開，折痕為MN ,再把頂點D折到MN 上的一點P上，折痕為CE，把頂點A折到MN上的同一點，折痕為 BF，請回答下列問題：(1) 線段PC、PB與正方形的邊長有什么關系？(2) Z CPB的度數(shù)是多少？(3) 還能知道哪些角的度數(shù)？請指出來.已知：如圖所示， ABC 求證：PB+ PC= PA.是等邊三角形，P是三角形外的一點， 且/ ABP + Z ACP思維拓展類例5 如圖所示，在 ABC中，AB = AC , F是AC上一點，在 BA延長線上取一點 E 使AE = AF，連結(jié)EF并延長，交 BC于D，求證：EF丄BC .D例6 如圖所示， ABC的邊B

4、C在直線I上，AC丄BC,且AC = BC; EFP的邊FP 也在直線I上，邊 EF與邊 AC重合，且 EF = FP, EF丄FP.(1) 在圖1中，請你通過觀察測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關系和位置 關系；(2) 將厶EFP沿直線I向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q,連結(jié)AP、BQ , 猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關系和位置關系，請證明你的猜想；(3) 將厶EFP沿直線I向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點 Q , 連結(jié)AP、BQ,你認為(2)中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關系和位置關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.圖1圖2、等腰三角形

5、中常用到的輔助線1. 通常作底邊的高、中線或頂角平分線;2. 底邊有中點時，常常連底邊上的中線；3. 截長補短法.在證明多條線段的和差關系時常用此法，特別是在已知條件中有角平分 線時，一般是在長邊上截取短邊，構(gòu)造全等三角形.以上添加輔助線的最終目的是：通過等腰三角形、角平分線、線段的垂直平分線、 全等 三角形把分散的邊角關系進行集中.二、幾何證明題的分析方法從已知條件入手，運用定義、定理、公理逐步推出結(jié)論的方法叫做綜合法.從要證明的結(jié)論出發(fā)，根據(jù)定義、性質(zhì)、定理、公理，尋找能使結(jié)論成立的條件，一直追溯到能使結(jié)論 成立的條件與已知條件吻合的方法叫做分析法.在解幾何問題時，兩種方法常結(jié)合使用， 使

6、問題順利解決.在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.(1) 該性質(zhì)揭示了 30°角直角三角形的邊的數(shù)量關系的特殊性.(2) 此性質(zhì)的前提是“在直角三角形中”.在解題時，如果只知道一個三角形有一個角 為30°,就說這個角的對邊等于某鄰邊的一半，是錯誤的.(3) 該性質(zhì)主要應用于計算和證明線段的倍分關系.(4) 該性質(zhì)的逆命題也是真命題，即：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角是30°.、選擇題1. 一個人站在平面鏡前，哪一面鏡子里是他的像？（）ABCD2.如圖所示，在 Rt ABC中，/

7、B = 90°, ED是AC的垂直平分線，交 AC于點D,交BC于點E.已知/ BAE = 10°，則/ C的度數(shù)為（ ）A. 30 ° B. 40 ° C. 50 ° D. 60 °3.等腰三角形中，有一個角是C50°,則它的一條腰上的高與底邊的夾角是（A. 25 °B. 40 ° C. 25° 或 40°D.以上都不對*4.在平面直角坐標系內(nèi)，有等腰三角形AOB , O是坐標原點，點 A的坐標是（a, b）,底邊AB的中線在第一、三象限的角平分線上，則點B的坐標為（）A. （b,

8、a）B. （ a, b） C. （a, b） D. （ a, b）5. 如圖，B是線段AC的中點，過點C的直線l與AC成60°的角，在直線I上取一點P, 使得/ APB = 30°，則滿足條件的點 P的個數(shù)是（）A. 3個 B. 2個 C. 1個 D.不存在6. 如圖所示， ABP與厶CDP是兩個全等的等邊三角形，且 PA丄PD.有下列四個結(jié)論： / PBC= 15° :AD / BC;直線PC與AB垂直；四邊形 ABCD是軸對稱圖形.其 中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個C二、填空題7小明把一張長方形的紙對折 2次，描上一個四邊

9、形，再剪去這個圖形（鏤空），展開長方形紙，得到如下圖案，設折痕為1仆|2、13,觀察圖形并填空：11|2|3四邊形與四邊形關于 成軸對稱；折痕 12既是與的對稱軸；又是 與的對稱軸；從整體看也是 與的對稱軸.8. 在平面直角坐標系中，點 A、B、C、D的坐標分別為（一1 , 3）、（一 2, 4）、（ 1 , 3）、（2, 4）,則線段AB與CD的位置關系是 .9. 如圖所示，直線 AB、CD相交于點 0.若 0M = ON = MN，那么/ APQ + Z CQP =D10. 如圖所示，在 ABC中，/ B = Z C,FD 丄 BC 于 D, DE 丄 AB 于 E,Z AFD = 158

10、則/ EDF等于=DC三、綜合運用11. 如圖所示，AD是厶ABC中/ BAC的平分線，P是AD上的任一點，且 AB >AC ,求 證：AB AC >PB PC.C12. 一艘輪船由西向東航行，在 A處測得小島P的方位是北偏東75°,又航行7海里后， 在B處測得小島P的方位是北偏東60°,若小島周圍3.8海里內(nèi)有暗礁，問該船一直向東 航行有無觸礁的危險.13. 已知：如圖， ABC中，BC邊中垂線 ED交BC于E,交BA延長線于 D，過C作1 1CF丄BD 于 F，交 DE 于 G, DF = qBC，試證明：/ FCB = -/ B .C14. 如圖所示， A

11、BC 中，AB = AC，/ A = 100° , BD 平分/ ABC，求證：BC = BD + AD .15. (1)已知 ABC中，/ A = 90°,/ B = 67.5°，請畫一條直線把這個三角形分割成兩個等腰三角形.(把所有不同的分割方法都畫出來，要在圖中標出相等兩角的度數(shù).) (2)已知 ABC中，/ C是其最小的內(nèi)角，過頂點 B的一條直線把這個三角形分割成了 兩個等腰三角形，請?zhí)角? ABC與/ C之間的關系.例1 一點通：設點P關于AD的對稱點為點 P'則點P'定在AB上，且CP'丄AB時P'E+ EC的值最小，即

12、 PE+ EC的值最小.所以在 Rt ACP沖/BAC = 30°, AC = 2CP' = 8,1i所以 AB = 8, Cp ' 4 所以 SsBc = 1AB CP' = 2X 8X 4 = 16.pC答案：B點評：線段最短問題一般與軸對稱有關，解答本題的關鍵是通過作某線段端點的對稱點，將兩條線段之和的最小問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題本題有兩種作法：一、作點P關于AD的對稱點P'二、作點C關于直線AD的對稱點，由等腰三角形的對稱性可知， 這個點就是點B，連結(jié)BE即可.例2 一點通：很明顯 ACE和厶BDF關于y軸對稱.本題的難點在于確定是否還有其

13、他的 對稱三角形， 分成兩組，答案：因為這6個點可以組成很多三角形, 兩組中不能有重復的點， 4，如圖所示：如厶ABC,還應注意，這樣的對稱三角形是把 6個點和厶BAD雖然關于y軸對稱，但不符合題意.第三點只能是y軸左側(cè)剩下的那一點或它的對稱點，即厶ACE與厶BDF， ACF點評：成三角形，與厶BDE等，共6組，其中 ACE與厶BDF重復出現(xiàn)3 次,所以一共有4組對稱三角形.如 果不按規(guī)律，則很容易造成漏解.MN，又得到折痕EC、例3 一點通：此題利用軸對稱圖形的性質(zhì)，首先得到折痕（對稱軸）BF，它們所在的直線都是對稱軸，即CPE與厶CDE關于CE所在的直線對稱， ABF與 PBF關于BF所在

14、的直線對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得到對應邊相等，對應角相等，從而 得出 PBC是等邊三角形這個事實.答案：（1 ）由折疊的性質(zhì)得：線段 PC、PB均等于正方形的邊長，PC= PB; （2）由（1） 可知，PC= PB = BC，所以 PBC是等邊三角形，所以/ CPB= 60° （3）由（1 ）、（2）可 知：/ 1 = 7 2=7 3=7 4 = 75°，/ 5=7 6= 30°，/ 7=7 8=7 9=7 10= 15°，/ MFP =Z MEP = 30°，7 EPF= 120°，7 NPF = 7 NPE = 120°

15、，等等.點評：此題提供了一種通過折疊裁剪等邊三角形的方法，要記住喲！例4 一點通：欲證PB+ PC= PA,可考慮將BP、PC轉(zhuǎn)移到同一條直線上，將問題轉(zhuǎn)化為證 明線段相等，由條件/ ABP + Z ACP = 180°,此題較適合補短，即延長 PC到D,使CD = BP,連結(jié)AD，證明AP = PD即可也可以延長 BP到點D，使PD = PC,連結(jié)CD .答案：延長 PC 到點 D，使 CD = BP,連結(jié) AD ./ ABP + Z ACP = 180。，/ ACP +AB = AC/ ACD = 180°,./ ABP =Z ACD .在 ABP 和厶 ACD 中，

16、/ ABP = Z ACDABPBP = CDBA ACD (SAS) , . AP = AD，/ BAP = Z CAD . v/ BAP + Z PAC = 60°,./ CAD + / PAC = 60°,即/ PAD = 60°,.A PAD 是等邊三角形.二 PC+ CD = PD= PA. . PB +PC= PA.D點評：求多條線段間的長度關系時有兩條主要的思路，一是找出與所求線段相等的線段,等量代換；二是利用截長補短法.例5 一點通：證明兩線垂直，可證明其夾角為90°,已知條件中沒有與 90°有關的條件，本題解法較多，可分為兩類

17、：一是不添加輔助線，利用平角或三角形內(nèi)角和通過計算求/ BDE的度數(shù).二是構(gòu)造出直角.作等腰三角形的對稱軸，如圖和圖，可構(gòu)造直角；女口 圖、，其原理一樣，都是先作垂直，再證明有關線段的位置關系；如圖，把DE構(gòu)造成一個等腰三角形的對稱軸.答案：證法 1 : v AB = AC，./ B=/ C,./ EAF = 2/ B . v AE = AF，./ E=/ AFE,./ BAC = 2 / E . / EAF + / BAC = 180°,. 2/ E + 2/ B = 180°,./ E + /B =90 °,./ BDE = 90°, 即 卩 EF

18、丄 BC .證法2:過點 A作AG丄BC于G,如圖所示.v AE = AF，./ AFE = / E,./ BAC = / AFE +/ E= 2/ AFE .在等腰三角形 ABC 中，AG 丄BC，./ BAC = 2/ GAC，./GAC =/ AFE , . AG / ED, v AG 丄 BC , . EF 丄 BC .1證法3:過點A作AH丄EF于H，如圖所示.v AE = AF , AH丄EF，./ EAH = ? /1EAF . v AB = AC，./ B = / C,又/ EAF = / B+/ C, ./ B = ?/EAF . ./ EAH =/ B ,.AH / BC

19、, v AH 丄 EF,. EF± BC .G DD證法4 :過點C作MC丄BC于C,交BA的延長線于 M，如圖所示.v/ M + / B =90°,/ ACB +/ ACM = 90°,又v/ B = / ACB，. / M = / ACM . v/ AEF =/ AFE ,t/ B = / ACB , a / B = / P. a ED 丄 BP,即卩 EF± BC .=/ ACB ,=/ AEF ,點評:DDEF丄BC,這些方法可分成兩類：一是由角之間的關系利且/ AEF + Z AFE = Z M + Z ACM = 180°/ MAC

20、M = Z AEF . a EF/ MC EF丄BC .證法5:過E作EN丄EF于E,交CA的延長線于 N，如圖所示EN丄EF,a/NEA +/ AEF = 90°,/ N + / EFN = 90°,t / AEF = / AFE , a / N = / NEA .又/ B = / C,且/ B +/ C=/ N+/ NEA = 180 ° / BAC , a/ N = / C, a NE / BC, t NE 丄 EF, a EF 丄 BC.證法6 :過點E作EP / AC,交BC的延長線于點 P,如圖所示.t EP / AC ,a / Pt/ PEF=/ A

21、FE , / AFE = / AEF , a/ PEF用三角形內(nèi)角和來證；二是利用等腰三角形的軸對稱性構(gòu)造具有垂直關系的線段.例6 一點通：第(1)問易解，第(2)、(3)問先猜測結(jié)論再證明，因為圖 2和圖3是平移 變換過程中兩個不同的狀態(tài)，所以其結(jié)論和證明方法應該類似從圖2和圖3來看，BQ和AP的數(shù)量關系和位置關系比較容易猜測，是相等且垂直的關系關鍵是如何證明，BQ和AP相距較遠，可考慮利用三角形全等來證； 線段BQ和AP不相交，可延長BQ與AP相交， 利用角之間的關系證明其夾角是 90°.答案：(1) AB = AP, AB 丄 AP .(2) BQ = AP ; BQ丄 AP

22、.證明：由已知得 EF = FP, EF丄 FP ,a / EPF= 45°，又 AC 丄BC ,a / CQP =/ CPQ= 45°,a CQ = CP,又 BC = AC , / BCQ = / ACP = 90°, a Rt BCQ也 Rt ACP , a BQ = AP;延長 BQ 交 AP 于點 M ,t Rt BCQ也 Rt ACP , a / CBQ = / CAP，又/ CBQ +/ CQB = 90°,/ CQB =/ AQM , a / CAP + / AQM = 90°,a BQ丄 AP;(3) 成立，證明：t/ EPF

23、 = 45°,a/ CPQ = 45°，又 AC 丄 BC ,a / CQP=/ CPQ = 45°,a CQ = CP,又 BC = AC，/ BCQ = / ACP = 90°,a Rt BCQ也 Rt ACP , a BQ = AP ;延長 QB 交 AP 于點 N，則/ PBN = / CBQ ,t/ BQC + / CBQ = 90°,a / APC + /PBN = 90 ° ,a BQ 丄 AP .點評：這是一道與平移變換有關的圖形探索問題，解答這類問題時， 應重點分析變換過程中變化的量和不變的量.在本題中Rt BCQ也

24、Rt ACP是一種始終不變的關系，它也正是BQ = AP、BQ丄AP的原因.一、選擇題1. B 解析：注意觀察褲子上的圖案，在抱球的那一側(cè).2. B 解析：由題意可知，/BAE + 2/C= 90°,所以/ C= 40°.13. C 解析：如果這個角是頂角，那么底角是2（ 18°° 50°）= 65°,此時一腰上的高與底邊的夾角是 90° 65° = 25°如果這個角是底角，那么一腰上的高與底邊的夾角是 90° 50°= 40°.4. A 解析：利用本講專家點撥中的規(guī)律方法可

25、求.5. B 解析：如圖所示，過點 B作BPi丄AB交直線I于點Pi，則/ APiB = 30° .作AP2 丄I于點P2,則/ AP2B = 30°. Pi、P2是滿足條件的點.6. D 解析：根據(jù)題意，/ PBC = 15°易證；可通過同旁內(nèi)角互補證得 AD / BC;延 長CP交AB于點Q，可通過三角形內(nèi)角和證明/ CQB = 90°，即PC丄AB ;因為AD / BC，所以過點P與AD垂直的直線必與 BC垂直，這條直線也同時平分 AD和BC，所以有 四邊形ABCD是軸對稱圖形.二、填空題7. I1 :；和和8. 關于y軸對稱9. 240°

26、; 解析：因為 0M = 0N= MN，所以 OMN是等邊三角形，所以/ MON = 60°， 所以/ AOM = 120°./ APQ、/ CQP、/ AOM 是厶OPQ的三個外角，其和是 360°，所 以/ APQ + / CQP= 360° 120°= 240 °.10. 68 ° 解析：在 Rt BDE 和 Rt CFD 中，/ B = / C，所以/ BDE = / CFD = 180° / AFD = 22°，所以/ EDF = 90° 22°= 68°.三、綜合

27、運用11. 證明：在 AB上取一點 E，使 AE = AC，連結(jié) PE，易得 AEP ACP，所以PE = 卩。在厶 BEP 中，BE + PE >PB，即（AB AC）+ PC> PB，所以 AB AC > PB PC.DC12. 解：依題意畫圖，貝U AB = 7海里，過點P作PC丄AB于C，則由題意可知/ PBC =30°，a/ APB = / PBC / PAB = 30° 15°= 15°，a/ PAB =/ APB，a PB = AB = 7 1 1（海里）. PC= 1PB=寸X 7= 3.5 （海里）.I PC v 3.

28、8海里，a該船一直向東航行有觸礁的危險.1 113. 證明：如圖，連結(jié) CD DE 垂直平分 BC,. CE =BCDF = BC ,二 CE =DF .由 CF 丄 BD , DE 丄 BC 得/ DFG = Z CEG= 90°,又/ FGD =Z EGC,.A FGD EGC(AAS ) EG= FG, DG = CG, a DG + EG = CG+ FG,即 DE = CF.在厶 BCF 和厶 BDE / B = Z B1i中，/ BFC = Z BED = 90° , BFCBED ( AAS ) , BD = BC . DF= 2bc =BD , DE = C

29、F1 CF 是 BD 的中垂線，/ BCF = 2/ BCD又 DE是BC的中垂線，/ B = Z BCD ,1/ BCF =刁/B .或連結(jié) BG,如圖，證得FGD EGC, 有 FG= EG, BG 是/ DBC的平分線，/1GBC =孑/DBC .又T DE 是 BC 的中垂線，/ GBC = Z FCB，即/ FCB =14. 證明：本題可采用“截長”或“補短”兩種方法.如圖，在BC上截取BF = BA ,BE = BD .在 ABC 中，/ A = 100°, AB = AC，/ ABC = Z C= 40°.v BD 平分/AB = FBABC，在 ABD 和厶

30、 FBD 中，/ ABD =Z FBD , ABD FBD (SAS) . AD = DF, BD = BD1/ DBF = 2/ ABC = 20°,/ BFD = Z A = 100。.在 BDE 中，BD = BE，/ DBC = 20°,1/ BED = 2 (180° 20°)= 80°,/ DFE = 180°-/ BFD = 80°，即/ BED =/ DFE , DE = DF .又T/ C = 40°, / CDE = / BED / C = 40°,a EC= DE .即 EC = DE = DF = AD . BC = BE + EC = BD + A