數(shù)值分析試題及答案

1、數(shù)值分析試題及答案數(shù)值分析試題填空題(2 OX 2')1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.32A 2 1，X位有效數(shù)字。2 設(shè)x=0.231是精確值x*=0.229的近似值，則x有_2若 f(x)=x7 x3 + 1 ,貝 U f20,21,22,23,24,25,26,27=1f20,21,22,23,24,25,26,27,28=設(shè)，” A II,II x I *II AX |15 _。非線性方程f(x)=0的迭代函數(shù)x= (x)在有解區(qū)間滿足| 'x)| <1 ，則使用該迭 代函數(shù)的迭代解法一定是局部收斂的。區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數(shù) S(x)在a,b上具

2、有直到 2階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。 當(dāng)插值節(jié)點為等距分布時，若所求節(jié)點靠近首節(jié)點，應(yīng)該選用等距節(jié)點下牛頓差商 公式的前插公式，若所求節(jié)點靠近尾節(jié)點，應(yīng)該選用等距節(jié)點下牛頓差商公式的后插公式；如果要估計結(jié)果的舍入誤差，應(yīng)該選用插值公式中的拉格朗日插值公式。n拉格朗日插值公式中f(xi)的系數(shù)ai(x)的特點是：ai(x) 1;所以i 0當(dāng)系數(shù) ai(x)滿足a(x)>1，計算時不會放大 f(xi)的誤差。要使20的近似值的相對誤差小于0.1%，至少要取4位有效數(shù)字。對任意初始向量X(0)及任意向量g，線性方程組的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,) 收斂于方程組的精確解 x*的充分必

3、要條件是。由下列數(shù)據(jù)所確定的插值多項式的次數(shù)最高是 5。x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511.牛頓下山法的下山條件為12.線性方程組的松弛迭代法是通過逐漸減少殘差ri (i=0,1,n)來實現(xiàn)的，其中的殘差ri = (bi-aiixai2x2-ajnXn)/a, (i=0,1,n)013. 在非線性方程f(x)=0使用各種切線法迭代求解時，若在迭代區(qū)間存在唯一解，且f(x)的二階導(dǎo)數(shù)不變號，則初始點X0的選取依據(jù)為f(x0)f ”x0)>0。14. 使用迭代計算的步驟為建立迭代函數(shù)、選取初值、迭代計算。二、 判斷題(10XT)1、 若A是n階非奇

4、異矩陣，則線性方程組AX二b 一定可以使用高斯消元法求解。(x )2、解非線性方程f(x)=0的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的。( )3、若A為n階方陣，且其元素滿足不等式naHaj(i 1,2,n)j 1j i則解線性方程組AX = b的高斯塞德爾迭代法一定收斂。(x )4、 樣條插值一種分段插值。()5、 如果插值結(jié)點相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項式是等價的。()6、從實際問題的精確解到實際的計算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截斷誤差及舍入誤差。( )7、解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AX = b o(x )8迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算

5、的舍入誤差開始估計，直到最后一步迭 代 計 算 的 舍 入 誤 差。(x )9、數(shù)值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截斷誤差=舍入誤差。( )10、 插值計算中避免外插是為了減少舍入誤差。(x )計算題(5x 10')1用列主元高斯消元法解線性方程組。x1x2x345x1 4x2 3x3122x1x2 x3 11解答：(1, 5, 2)最大元5在第二行，交換第一與第二行:5x1 4x2 3x312x1x2x342x1x2 x3 11L21=1/5=0.2,|31=2/5=0.4 方程化為：5x1 4x2 3x3120.2x20.4x31.62.6x2

6、0.2x315.8(-022.6)最大元在第三行，交換第二與第三行：5x1 4x2 3x3122.6x2 0.2x315.80.2x20.4x31.6L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化為：5x1 4x2 3x3122.6x20.2x315.80.38462x30.38466回代得：x13.00005x25.99999x31.000102、用牛頓一一埃爾米特插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項式P4(x),并寫出其截斷誤差的表達式(設(shè)f(x)在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導(dǎo)數(shù))。Xi012f(Xi)1-13f '(Xi)15解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+

7、1Fxi.xi+1.xi+2 Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)( )/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、對下面的線性方程組變化為等價的線性方程組，使之應(yīng)用雅克比迭代法和高斯一一 賽德爾迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯一一賽德爾迭代 法的迭代公式，并簡單說明收斂的理由。x41x3 5x464x3 X48X33XiX2Xi3x2解答: 交換第二和第四個方程，使系數(shù)矩陣為嚴

8、格對角占優(yōu)：2x1X2x41X13x2X33X24x3x48X1x3 5x46雅克比迭代公式:2x1x2Xi3x2x41X33x2 4x3x4 8x1x3 5x4 6計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)數(shù)值分析試題一、單項選擇題(每小題3分，共15分)1. 已知準確值x*與其有t位有效數(shù)字的近似值0.0aa2an X 10s(a1 0)的絕對誤差()100.5X(A) 0.5X 10 廠廠t (B) 0.5X 10 *t (C) 屮1_t(D) 0.5 x 10 s+12. 以下矩陣是嚴格對角占優(yōu)矩陣的為2(A) 0101 21 0512 03.過(0, 數(shù) P(x)=(3 彳(A) 2x 13x 10(C)

9、0 01 02 1 ?1 22 142140 15(B) 1024101 01 04 11 21),0112(2,)4),(D)4121241311411015(3, 1)點的分段線性插值函3(B)2x 10 x 23x2 10 2 x 3(C)3x 10x223x 10 2 x 3(D)3x 10x22x 4 2 x 34. 等距點的求導(dǎo)公式是(A)1f (Xk)-( ykh1f (Xk 1)(Ykhyk 1yk 1(B)f(Xk1f (Xk)匚(yk yk 1) h)：(yk yk 1)h1f (Xk)-( yk(C) h1f (Xk 1)匚(ykhyk 1yQ(D)5. 解常微分方程初值

10、問題的平均形式的改進歐拉法公式是1yk 1 尹卩yJ那么yp,yc分別為(Ypyk hf(Xk,yQYc yk hf (Xk 1, yk)(A)(C)Yp yk f(Xk, yk) yc yk f(Xk, yp)(B)(D)ypycypycykykykhf(Xk1,yk)ykhf(Xk,yp)hf (Xk, yk) hf (Xk 1, yp)：、填空題侮小題3分，共15分)6. 設(shè)近似值 X1,X2滿足(X1)=0.05, (X2)=0.005,那么(X1X2)=7. 三次樣條函數(shù)S(x)滿足：S(x)在區(qū)間a,b內(nèi)二階 連續(xù)可導(dǎo)，S(Xk)=yk(已知)，k=0,1,2,n ,且滿足S(x)

11、 在每個子區(qū)間Xk,Xk+1上是8.牛頓-科茨求積公式f (x)dxAk f (Xk),貝UanAk9. 解方程f(x)=O的簡單迭代法的迭代函數(shù)(x)滿足在有根區(qū)間內(nèi) ，則在有根區(qū)間內(nèi)任意取一點作為初始值，迭代解都收斂.10. 解常微分方程初值問題的改進歐拉法預(yù) 報一一校正公式是預(yù)報值 ：yk i Yk hf(Xk，yQ , 校正值 ：yk+1=三、計算題侮小題15分，共60分)11. 用簡單迭代法求線性方程組8x-| 3x2 2x3204x-|11x2 x3336x1 3x212x336的X.取初始值(0,0,0)T，計算過程保留4位小數(shù).12. 已知函數(shù)值 f(0)=6, f(1)=10

12、, f(3)=46, f(4)=82, f(6)=212，求函數(shù)的四階均差f(0,1,3,4,6)和二階均差 f(4, 1, 3).13. 將積分區(qū)間8等分，用梯形求積公式計算定積 分：彳x2dx，計算過程保留4位小數(shù).14. 用牛頓法求115的近似值，取x=10或11為初 始值，計算過程保留4位小數(shù).四、證明題(本題10分)15. 證明求常微分方程初值問題y f(x, y)y(x。)yo在等距節(jié)點a=X0<x i< <xn=b處的數(shù)值解近似值的梯 形公式為y(xk+i) yk+i=yk+£f(xk,yk)+f(xk+i,yk+i)其中 h=Xk+i xk(k=0,

13、i,2,n i)計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)數(shù)值分析試題答案一、單項選擇題(每小題3分，共i5分)i. A 2. B 3. A 4. B 5. D二、填空題(每小題3分，共15分)6. 0.05 X2 +0.005 xi 7.3 次多項式8. b a9.(x)r<ii0.yk+h f(xk, yk) f(xk i, yk i) hf (xk + i, yk i)三、計算題(每小題i5分，共60分)ii. 寫出迭代格式(k2xr0 0.375x2k) 0.25x3k)2.50.3636xi(k)0 0.0909x3k) 3X(o)=(0,0,0)T.Xix2°x31)0.5x1k) 0.

14、25x2k) 0 30 0.375 0 0.25 0 2.5 2.50.3636 0 0 0.0909 0 3 30.5 0 0.25 0 0 3 3得到 X(1) = (2.5, 3, 3)tx12)0 0.375 3 0.25 3 2.5 2.875x22)0.3636 2.5 0 0.0909 3 3 2.363 7x32)0.5 2.5 0.25 3 0 3 1.0000得到 X=(2.875, 2.363 7, 1.000 0)Tx13)0 0.375 2.363 7 0.25 1 2.53.136 4x23) 0.3636 2.875 0 0.0909 1 3 2.0456 x33

15、) 0.5 2.875 0.25 2.363 7 0 3 0.9716得到 X=(3.136 4, 2.045 6, 0.971 6)T.12. 計算均差列給出.Xkf(xk)階 均差一階 均差二階 均差四階 均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15f(0,1,3,4,6)=±f(4, 1, 3)=613. f(x)= 1 x2 ,h=2 0.25 分點 xo=1.O, X1=1.25,X2=1.5, X3=1.75, X4=2.0, X5=2.25, X6=2.50, X7=2.75,X8=3O函 數(shù)值：f(1.0)=1.414 2

16、 , f(1.25)=1.600 8 ,f(1.5)=1.802 8 , f(1.75)=2.015 6, f(2.0)=2.236 1 , f(2.25)=2.462 2, f(2.50)=2.692 6, f(2.75)=2.926 2, f(3.0)=3.162 3.3h嚴朋尹X0) f(X8)2( f (Xi) f(X2) f (X3) f (X4) f (X5) f(X6) f (X7)(9分)=罟 x 1.414 2+3.162 3+2 X (1.6008+1.802 8+2.015 6+2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)=0.125 X (4.576

17、 5+2 X 15.736 3)=4.506 114. 設(shè)x為所求，即求X2 115=0的正根.f(x)=x2 115.因為 f (x)=2x , f (x)=2 , f(10)f (10)=(100 115)X 2<0, f(11)f (11)=(121 115)X 2>0取 X0=11.有迭代公式Xk+1=Xk frxkf (Xk)x2 1152Xk7 劈(k=0,12)X1需屛=10.727 3X2 =10.727 321152 10.727 310.723 8X3=10.723 82一1152 10.723 810.723 8x* 10.723 8四、證明題(本題10分)1

18、5. 在子區(qū)間xk+1,xk上，對微分方程兩邊關(guān)于 積分，得y(Xk+1) y(Xk)= : 1 f (x, y(x)dx用求積梯形公式，有y(xk+1) y(xk)=*f (Xk, y(Xk) f (Xk 1, y(Xk 1)將 y(Xk),y(xk+1)用 yk,yk+1 替代，得到y(tǒng)(xk+1) yk+1=yk+f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)(k=0,1,2，,n1)數(shù)值分析期末試題亠、填空題(2 10 20分)152(1)設(shè) A 2 10，則 | A 13。382(2)對于方程組IO；：； 13 , Jacobi迭代法的迭代矩陣是Bj02.52.50(3) 3x*的相對誤差

19、約是x*的相對誤差的3倍。(4 )求方程；f(x)根的牛頓迭代公式是Xn f(Xn)X n 1 X n。1 f'(Xn)(5) 設(shè) f (x) X3 x 1，則差商 f0,1,2,31。(6) 設(shè)n n矩陣G的特征值是 2, , n，則矩陣G的 譜半徑(G)max。(7) 已知A 12，則條件數(shù)Cond (A)9(8)為了提高數(shù)值計算精度，當(dāng)正數(shù)x充分大時,應(yīng)彳將 ln(xx2 1)改與為 ln(x x2 1)。(9) n個求積節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精確度至少為n 1次(10)擬合三點(X1,f(xJ),(X2,f(X2), (X3,f(X3)的水平直線f (Xi )。(10分)證

20、明：方程組2x1X1X2 X31X2 X3 1 使用 JacobiX1x2 2x31迭代法求解不收斂性。證明：Jacobi迭代法的迭代矩陣為00.50.51 0 10.5 0.50BjBj的特征多項式為0.5det( I Bj)10.50.50.511.25)Bj的特征值為1 0， 1,因而迭代法不收斂性。10分)定義內(nèi)積.1.25i ,1.25i，故(Bj)1.25 >試在H1 Span1,x中尋求對于 f(x) 素 P(x)解：1(f,g)0 f (x)g(x)dx' x的最佳平方逼近元0,0)(0, f )(x)1，1dx 10、xdx0法方程解得C0415C1(X)f)1

21、)0xdxx xdx01 2 1，(1, 1)0x dx 3，121312。2325所求的最佳平方逼近元素為C0C1p(x) x，0 x 11515四、（10分）給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6試用三次多項式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù)。解 :y(x) c0 c1x c2x2 c3x31248501001111T010034A 1000AT A100340111103401301248ATy(2.9,4.2,7,14.4)t法方程At AcAt y的解為 c00.4086，c1 0.39167，c2 0.0857， c3 0.00833得到 三次多項式y(tǒng)(x) 0.40

22、860.39167x0.0857 x20.00833x3誤差平方和為30.000194五.（10分）依據(jù)如下函數(shù)值表x0124f(x)19233建立不超過三次的Lagrange插值多項式，用它計算f（2.2），并在假設(shè)f（x）1下,估計計算誤差。解:先計算插值基函數(shù)l0（X）1 37 27xxx 1884(x 1)(x2)(x4)(01)(02)(0 4)I'x)(x0)( x2)( x 4)13_x(10)(12)(14)32x2l2（X）(x 0)(x1)(x4)(20)(21)(24)l3（X）(x 0)(x1)(x2)(40)(4 1)(42)1 3 X 241 X 12所求L

23、agrange插值多項式為L3(3x)i 0f (Xi)li(x) lo(x) 9li(x)23l2(x)3l3(x)x3 蘭 x244f(2.2)L3(2.2)25.0683。據(jù)誤差公式R3(x)lx4!X°)(X XJ(Xx2 )(x x3)及假設(shè) f (x)11從得誤差估計R3(x) (2.2 4!0)(2.2 1)(2.22)(2.2 4)14!0.9504 0.0396（10分）用矩陣的直接三角分解法解方程組X1X2X317X41121l 31l 411l32l421l43U22U23U33U24U34U44矩陣乘法可求出uj和lj1I 21l 31l 411l 32l421l43U22U23U24U33U34U44解下三角方程組1yi 501y23121y3170101y47有 y15 , y23 , y36 ,y4 4。再解上三角方程組得原方程組的解為X1 10112X2X1X2X3X45364X32 ， X42 O七.（10分