七年級(jí)第五單元一元一次方程的知識(shí)點(diǎn)和主要題型匯總

1、1、主要知識(shí)點(diǎn)和題型匯總01、一元一次方程的概念1、等式：定義：用 表示 關(guān)系的式子叫做等式。下列各組中是等式的是（ ）A、 B、 C、 D、2、方程定義：含有 的等式叫做方程下列各組中是方程的是（ ）A、 B、 C、 D、3、一元一次方程定義：整理后，只含有 未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是 的方程，叫做一元一次方程。下列各組中是一元一次方程的是（ ）A、 B、 C、 D、下列各組中是一元一次方程的是（ ）A、 B、 C、 D、已知關(guān)于的方程是一元一次方程，則=（ ） A、±2 B、 2 C、 2 D、 ±1已知是關(guān)于x的一元一次方程，則m= 02、方程的解定義：使方程左右兩邊

2、的值 的未知數(shù)的值叫做方程的解，只含有 未知數(shù)的方程的解又稱為方程的根。若是方程的解，則的值是（ ） A、1 B、 5 C、1 D、5下列方程中根是的是（ ）A、 B、 C、 D、以下判斷正確的是（ ）A、 是方程的解 B、是方程的解 C、是方程的解 D、 是方程的解03、等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍相等。等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè) 的數(shù)，結(jié)果仍相等。已知等式ax=ay,下列變形不正確的是（ ）.A、x=yB、ax+1= ay+1 C、ay=axD、3-ax=3-ay列說(shuō)法正確的是（ ）A、等式兩邊都加上一個(gè)數(shù)或一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式；B、等式兩邊都

3、乘以一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍是等式；C、等式兩邊都除以同一個(gè)數(shù)，所以結(jié)果仍是等式；D、一個(gè)等式的左、右兩邊分別與另一個(gè)等式的左、右兩邊分別相加，所得結(jié)果仍是等式；在等式兩邊都除以 ,可得。這句話對(duì)嗎？說(shuō)出你的理由？_在等式兩邊都除以，可得。這句話對(duì)嗎？說(shuō)出你的理由。_04、移項(xiàng)定義：把等式一邊的某項(xiàng) 后移到另一邊，叫做移項(xiàng)。通常常數(shù)項(xiàng)要移到方程的右邊，未知項(xiàng)要移到方程的左邊。移項(xiàng)時(shí)要變號(hào)：移正變 ，移負(fù)變 。下列一項(xiàng)正確的是（ ）A、若，則 B、若，則 C、若，則 D、若，則05、系數(shù)化為1一元一次方程的最簡(jiǎn)形式： 定義：當(dāng)把方程化為最簡(jiǎn)形式后，方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù) ，得到方程的解 的過(guò)程叫做

4、系數(shù)化為1.系數(shù)化為1時(shí)，未知數(shù)的系數(shù)做分母。下列系數(shù)化為步驟正確的是（ ）A、由，得到 B、由，得到 C、由，得到 D、由，得到 06、去分母去分母時(shí)要注意三點(diǎn)：確定各分母的最小公倍數(shù)； 不含分母的項(xiàng)也要乘以最小公倍數(shù)；去掉分母后對(duì)分子加括號(hào)。解方程 時(shí)，去分母，得( )A、 B、C、 D、方程去分母得( )A、2-5(3x-7)=-4(x+17) B、40-15x-35=-4x-68C、40-5(3x-7)=-4x+68 D、40-5(3x-7)=-4(x+17)李明同學(xué)在解方程去分母時(shí)，方程右邊的1沒(méi)有乘3，因而求得方程的解為，試求的值，并正確地解方程。07、分母由小數(shù)化為整數(shù)將方程的分

5、母化為整數(shù)，方程變?yōu)?。把中的分母化為整數(shù)正確的是（ ）A、 B、C、 D、下列方程的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？若有錯(cuò)誤，簡(jiǎn)要說(shuō)明產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，并改正.解方程：解：原方程可化為：去分母，得 去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得 08、一元一次方程的解法1、解一元一次方程的一般步驟為：去分母, 去括號(hào), 移項(xiàng), 合并同類項(xiàng), 系數(shù)化為1 特別說(shuō)明：去分母前，應(yīng)把分母化為整數(shù)2、解下列方程3（x-2）=2-5(x-2) 關(guān)于的方程的解是，對(duì)于同樣的，求另一個(gè)關(guān)于的方程的解。09、絕對(duì)值方程定義：方程中的未知數(shù)在絕對(duì)值內(nèi)的方程叫做絕對(duì)值方程若，則或 ，解之得x=6或 若 =3 ，則 或 ，解之得x 。解方程：1

6、0、比例問(wèn)題1、建模：設(shè)未知數(shù)的方法：已知各個(gè)量之間的比例時(shí)，按比例設(shè)未知數(shù)相等關(guān)系：各分量之和等于總數(shù)量2、已知三個(gè)數(shù)的比是，若這三個(gè)數(shù)的和是252，則設(shè)這三個(gè)數(shù)依次是_ _，可列方程為 。11、分配問(wèn)題1、建模：分A給B，設(shè)B表示A A的數(shù)量=需要量+剩余量=需要量-缺少量相等關(guān)系：第一種分法中表示的A的數(shù)量=第二種分法中表示的A的數(shù)量2、某校七年級(jí)近期實(shí)行小班教學(xué)，若每間教室安排20名學(xué)生，則恰好缺少3間教室；若每間教室安排24名學(xué)生，則恰好空出1教室。問(wèn)這所學(xué)校為七年級(jí)學(xué)生安排了多少間教室？（提醒： 恰好缺少3間教室意思是剩余3×20名學(xué)生；恰好空出1教室意思是缺少1

7、5;24名學(xué)生）12、人員調(diào)配問(wèn)題1、建模： 設(shè)未知數(shù)的方法 內(nèi)部調(diào)配：甲隊(duì)多x人，乙隊(duì)就少x人外部支援a(chǎn)人：甲隊(duì)增派x人，則乙隊(duì)就增派（ax）人相等關(guān)系：調(diào)配后的要求2、甲隊(duì)勞動(dòng)的有43人，在乙處勞動(dòng)的有22人，現(xiàn)要趕工期，總公司另調(diào)28人去支援，使甲處的人數(shù)為乙處的兩倍，應(yīng)分別調(diào)多少人往兩處？13、資源配套問(wèn)題1、建模：設(shè)未知數(shù)的方法 a個(gè)人分工生產(chǎn)A、B兩種零件，設(shè)安排x人生產(chǎn)A零件，則安排(a-x)人生產(chǎn)B零件相等關(guān)系： A零件的總數(shù)：B零件的總數(shù)= 一套產(chǎn)品中A與B的比 2、一張方桌由一張桌面和4條桌腿組成，1立方米木料可制作桌面50個(gè)或桌腿300條，現(xiàn)有5立方米木料，問(wèn)分別用多少木

8、料制作桌面和桌腿，正好配成方桌多少?gòu)?4、數(shù)字問(wèn)題1、基礎(chǔ)知識(shí)一個(gè)三位數(shù)可以表示為：百位上的數(shù)字×100+十位上的數(shù)字×10+個(gè)位上的數(shù)字若x表示一個(gè)一位數(shù)，y表示一個(gè)兩位數(shù)，則把x放在y的左邊組成的三位數(shù)表示為：100x+y, 把x放在y的右邊組成的三位數(shù)表示為：10y+ x。2、設(shè)未知數(shù)的方法：設(shè)某位數(shù)字為x,表示其他數(shù)位上的數(shù)字。3、一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和為13，交換這兩個(gè)數(shù)字的位置所得新數(shù)比原來(lái)兩位數(shù)大45，求這個(gè)兩位數(shù)。 解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字為x,則個(gè)位上的數(shù)字為 ，這個(gè)兩位數(shù)表示為 ，新兩位數(shù)表示為 ，可列方程為 。15、

9、工程問(wèn)題1、基礎(chǔ)知識(shí)：甲單獨(dú)完成某件工作的時(shí)間為a,則甲的工作效率為工作量=工作效率×工作時(shí)間2、設(shè)未知數(shù)的方法：設(shè)余下的工作需要x完成。（設(shè)時(shí)間）3、相等關(guān)系：甲的工作量乙的工作量=總工作量（一般都看做單位1）4、完成某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要20天，乙單獨(dú)做需要15天，乙單獨(dú)做5天后，兩隊(duì)合作，問(wèn)合作幾天后可以完成全部工程？解：設(shè)合作x天后可以完成全部工程一項(xiàng)工程，甲完成的工作量為 ，乙完成的工作量為 ， 可列方程為： 。16、銷售問(wèn)題1、基本知識(shí)商品打折出售：是按標(biāo)價(jià)的出售。商品利潤(rùn)=商品售價(jià)商品成本價(jià)。商品的利潤(rùn)率=。商品的銷售額=商品銷售價(jià)×商品銷售量。商品的銷售利潤(rùn)=

10、（銷售價(jià)成本價(jià)）×銷售量。2、相等關(guān)系：銷售價(jià)=定價(jià)×打折-讓利=成本×（1+利潤(rùn)率）3、某服裝店出售一種優(yōu)惠卡，花200元買這種卡后，可憑卡在這家商店按8折購(gòu)物。小芳購(gòu)卡后買了一件原價(jià)1200元的西裝，小敏購(gòu)卡后買了一件原價(jià)500元的毛衣。則小芳買卡購(gòu)物 劃算，則小芳買卡購(gòu)物 劃算，在購(gòu)買超過(guò) 元情況下買卡購(gòu)物才劃算。17、方案選擇問(wèn)題建模：1、弄清兩種方案收費(fèi)表達(dá)式2、求出消費(fèi)多少時(shí)，兩種方案收費(fèi)一樣（找出臨界點(diǎn)）3、得出在什么消費(fèi)范圍時(shí)方案一合算，在什么消費(fèi)范圍時(shí)方案二合算。練習(xí)：下表中有兩種移動(dòng)電話計(jì)費(fèi)方式。月租主叫限定時(shí)間（分）主叫超時(shí)費(fèi)（元分）被叫方式

11、一581500.25免費(fèi)方式二883500.19免費(fèi)考慮下列問(wèn)題。（1）設(shè)一個(gè)月內(nèi)用移動(dòng)電話主叫t 分鐘（t是正整數(shù)）。根據(jù)上表，列表說(shuō)明:當(dāng)t在不同時(shí)間范圍內(nèi)取值時(shí)，按方式一和方式二如何計(jì)費(fèi)。主叫時(shí)間t（分鐘）方式一計(jì)費(fèi)（元）方式二計(jì)費(fèi)（元）省錢方案t1505888t=1505888150t35058+0.25（t-150）88t=27058+0.25（270-150）=8888t=35058+0.25（t-150）=10888t35058+0.25（t-150）88+0.19（t-350）18、相遇問(wèn)題1、基礎(chǔ)知識(shí)2、相遇問(wèn)題的相等關(guān)系是：甲的行程+乙的行程=甲乙出發(fā)前相距的總路程3、小王

12、從家門口的公交車站去火車站。如果坐公交車，他將會(huì)在火車開車后半小時(shí)到達(dá)車站；如果坐出租車，可以在火車開車前15分到達(dá)火車站。已知公交車的速度是45千米時(shí)。出租車的速度是公交車的2倍，問(wèn)小王的家到火車站有多遠(yuǎn)？解法一：設(shè)出租車到火車站要x小時(shí)，則公交車到火車站要 小時(shí)。列方程： 解法二:設(shè)小王的家到火車站的路程是xkm，根據(jù)時(shí)間等于路程÷速度，得他坐公交車到火車站要 小時(shí)，坐出租車到火車站要 小時(shí)，根據(jù)出租車到火車站所用的時(shí)間比公交車要少_ _小時(shí)，可列方程：_ _ _。19、追及問(wèn)題追及問(wèn)題的相等關(guān)系是：后面的行程=前面的行程甲乙出發(fā)前相距的路程3、甲、乙兩人相距100m，甲在前面以

13、10m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，乙在后面以12m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，試問(wèn)乙經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間追上甲？解：設(shè)乙經(jīng)x秒追上甲，則甲的行程為 乙的行程為 ，可列方程：_ _ _。20、航行問(wèn)題1、速度關(guān)系：= = -=22、相等關(guān)系：順流路程=逆流路程3、一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了2小時(shí)；從乙碼頭返回甲碼頭逆流行駛，用了2.5小時(shí)。已知水流的速度是3千米/時(shí)，求船在靜水中的平均速度。解：船在靜水中的平均速度為x千米/時(shí)，則順流速度為 千米/時(shí)，逆流速度為 千米/時(shí)?？闪蟹匠虨?。21、一元一次方程的根的情況1、關(guān)于方程 根的的討論當(dāng)時(shí)，方程有唯一解 當(dāng)時(shí)，方程有無(wú)數(shù)解當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解2、關(guān)于x的方程當(dāng) 時(shí)

14、，方程有唯一解； 若，則方程 使方程有無(wú)數(shù)個(gè)解的條件是 。（一）行程問(wèn)題：（1）行程問(wèn)題中的三個(gè)基本量及其關(guān)系： 路程=速度×時(shí)間。 （2）基本類型有 相遇問(wèn)題； 追及問(wèn)題；常見(jiàn)的還有：相背而行；行船問(wèn)題；環(huán)形跑道問(wèn)題。  例. 甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時(shí)行90公里，一列快車從乙站開出，每小時(shí)行140公里。 （1）慢車先開出1小時(shí)，快車再開。兩車相向而行。問(wèn)快車開出多少小時(shí)后兩車相遇？ （2）兩車同時(shí)開出，相背而行多少小時(shí)后兩車相距600公里？ （3）兩車同時(shí)開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時(shí)后快車與慢車相距600公里？ （4）兩車同時(shí)開出同向

15、而行，快車在慢車的后面，多少小時(shí)后快車追上慢車？ （5）慢車開出1小時(shí)后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時(shí)追上慢車？ （二）行船問(wèn)題：公式：順?biāo)剿? ，逆水航速= 。例、一輪船航行于兩個(gè)碼頭之間，逆水需10小時(shí)，順?biāo)?小時(shí)。已知該船在靜水中每小時(shí)航行12千米，求水流速度和兩碼頭間的距離。（三）工程問(wèn)題： 工程問(wèn)題中的三個(gè)量及其關(guān)系為：工作總量=工作效率×工作時(shí)間 經(jīng)常在題目中未給出工作總量時(shí)，設(shè)工作總量為單位1。  例. 一件工程，甲獨(dú)做需15天完成，乙獨(dú)做需12天完成，現(xiàn)先由甲、乙合作3天后，甲有其他任務(wù)，剩下工程由乙單獨(dú)完成，問(wèn)乙還要幾天才能完成全部工

16、程？ （四）儲(chǔ)蓄問(wèn)題 顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率。 利息=本金×利率×期數(shù) 本息和=本金+利息 利息稅=利息×稅率例. 某同學(xué)把250元錢存入銀行，整存整取，存期為半年。半年后共得本息和252.7元，求銀行半年期的年利率是多少？ （五） 利潤(rùn)贏虧問(wèn)題（1）銷售問(wèn)題中常出現(xiàn)的量有：進(jìn)價(jià)、售價(jià)、標(biāo)價(jià)、利潤(rùn)等（2）有關(guān)關(guān)系式： 商品利潤(rùn)率利潤(rùn)/進(jìn)價(jià)×100% 商品的銷售利潤(rùn)（銷售價(jià)成本價(jià)）×銷售量 商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價(jià)的百分之幾十出售，如商品打8折出

17、售，即按原標(biāo)價(jià)的80%出售例. 一家商店將某種服裝按進(jìn)價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，又以8折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進(jìn)價(jià)是多少？（六） 和、差、倍、分問(wèn)題： （1）倍數(shù)關(guān)系：通過(guò)關(guān)鍵詞語(yǔ)“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長(zhǎng)率”來(lái)體現(xiàn)。 （2）多少關(guān)系：通過(guò)關(guān)鍵詞語(yǔ)“多、少、和、差、不足、剩余”來(lái)體現(xiàn)。例.已知:我市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：乘車?yán)锍滩怀^(guò)2公里的一律收費(fèi)2元；乘車?yán)锍坛^(guò)2公里的，除了收費(fèi)2元外超過(guò)部分按每公里1.4元計(jì)費(fèi).（1）如果有人乘出租車行駛了x公里（x>2）,那么他應(yīng)付多少車費(fèi)？（列代數(shù)式，不化簡(jiǎn)）（8分）（2）某游客乘出租車從客運(yùn)中心到三星

18、堆，付了車費(fèi)10.4元，試估算從客運(yùn)中心到三星堆大約有多少公里？（七）. 勞力調(diào)配問(wèn)題： 這類問(wèn)題要搞清人數(shù)的變化，常見(jiàn)題型有： （1）既有調(diào)入又有調(diào)出； （2）只有調(diào)入沒(méi)有調(diào)出，調(diào)入部分變化，其余不變；（3）只有調(diào)出沒(méi)有調(diào)入，調(diào)出部分變化，其余不變例.甲隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的2倍，從甲隊(duì)調(diào)12人到乙隊(duì)后，甲隊(duì)剩下來(lái)的人數(shù)是原乙隊(duì)人數(shù)的一半還多15人。求甲、乙兩隊(duì)原有人數(shù)各多少人？（八）分配問(wèn)題：利用總量不變例.學(xué)校春游，如果每輛汽車坐45人，則有28人沒(méi)有上車；如果每輛坐50人，則空出一輛汽車，并且有一輛車還可以坐12人，問(wèn)共有多少學(xué)生，多少汽車？（十）配套問(wèn)題： 利用總數(shù)間的倍分關(guān)系例. 機(jī)械

19、廠加工車間有85名工人，平均每人每天加工大齒輪16個(gè)或小齒輪10個(gè)，已知2個(gè)大齒輪與3個(gè)小齒輪配成一套，問(wèn)需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？ （十一）增長(zhǎng)率問(wèn)題：增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)量/原始量×100/100 形式：a(1+x)=b例、某村去年種植的油菜籽畝產(chǎn)量達(dá)150千克，含油率為40。今年改種新選育的油菜籽后畝產(chǎn)量提高了30千克，含油率提高了10百分點(diǎn)。今年與去年相比，油菜的種植面積減少了40畝，而村榨油廠用本村所產(chǎn)油菜籽的產(chǎn)油量提高了20（1）求今年油菜的種植面積。設(shè)今年油菜的種植面積是x 畝。完成下表后再列方程解答。畝產(chǎn)量（千克/畝）種植面積（畝）

20、油菜籽總產(chǎn)量（千克）含油率產(chǎn)油量（千克）去年 150 40今年 x（2）已知油菜種植成本為200元/畝，菜油收購(gòu)價(jià)為6元/千克。試比較這個(gè)村去今兩年種植油菜的純收入（十二）數(shù)字問(wèn)題（1）一般可設(shè)個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c 十位數(shù)可表示為10b+a， 百位數(shù)可表示為100c+10b+a2）數(shù)字問(wèn)題中一些表示：兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系，較大的比較小的大1；偶數(shù)用2n表示，連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n2表示；奇數(shù)用2n+1或2n1表示。例.有一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位數(shù)字為百位數(shù)字的2倍，十位數(shù)字比百位數(shù)字大1，若將此數(shù)個(gè)位與百位順序?qū)φ{(diào)（個(gè)位變百位）所得的新數(shù)比原數(shù)的2倍少49，求原數(shù)（十三）比賽

21、積分問(wèn)題：勝場(chǎng)積分+平場(chǎng)積分=總分（注意有些題目含有扣分項(xiàng)）例.某學(xué)校七年級(jí)8個(gè)班進(jìn)行足球友誼賽，采用勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分的記分制。某班與其他7個(gè)隊(duì)各賽1場(chǎng)后，以不敗的戰(zhàn)績(jī)積17分，那么該班共勝了幾場(chǎng)比賽？（十四）年齡問(wèn)題：利用幾年前或幾年后的等量關(guān)系列方程。（注意年齡要同時(shí)變化）例.小華的爸爸現(xiàn)在的年齡比小華大25歲，8年后小華爸爸的年齡是小華的3倍多5歲，求小華現(xiàn)在的年齡（十五）. 比例分配問(wèn)題：這類問(wèn)題的一般思路為：設(shè)其中一份為x，利用已知的比，寫出相應(yīng)的代數(shù)式。 常用等量關(guān)系：各部分之和總量。例.一時(shí)期，日元與人民幣的比價(jià)為25.2：1，那么日元50萬(wàn)，可以兌換人民幣多少元？（十六）濃度問(wèn)題：濃度=溶質(zhì)/溶液×100/100 溶液= 溶質(zhì)+溶劑例：某化工廠現(xiàn)有濃度為15%的稀硫酸175千克，要把它配成濃度為25%的硫酸，需要加入濃度為50的硫酸多少千克？（十七）日歷時(shí)鐘問(wèn)題（1）時(shí)針的速度是分針的1/12 (20)日歷中下邊的日