第四章剛體的運(yùn)動總結(jié)

1、第三章剛體的運(yùn)動一、基本要求1. 了解轉(zhuǎn)動慣量的概念。2. 理解剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律。3. 通過質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動的情況理解角動量(動景矩)概念和角動景守柄定律，并能 用它分析解決質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動時的簡單問題。4. 理解剛體繞定軸轉(zhuǎn)動情況下的角動呈守恒定律。5. 理解力矯對剛體所作的功及剛體轉(zhuǎn)動的動能定理。二、內(nèi)容提要1、基本概念(1 )剛體及其運(yùn)動的描述剛體：固體物件的理想化模型,是指在外力作川下物體的體積和形狀不發(fā)生變化的物體。 剛體的運(yùn)動形式：平動和轉(zhuǎn)動，大學(xué)物理學(xué)主耍研究剛體定軸轉(zhuǎn)動的規(guī)律。剛體繞定軸轉(zhuǎn)動吋，剛體中所有的質(zhì)元都繞定軸作圓周運(yùn)動，可以用圓周運(yùn)動中的角位置汐、角位移d權(quán)、

2、角速度仍、角加速度p等物理:r:來描述剛體的運(yùn)動。相互關(guān)系為：j n剛體的角量描述：大小：= ck、，一d涇力(0=dzv = coxrdeoiv= 10)at = r p an = rco2a是矢餅，在定軸轉(zhuǎn)動屮用標(biāo)朵來表示，用正負(fù)來表示-k方句。(2 )轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量：物體4:轉(zhuǎn)動中慣性大小的量度。其定義為:j=yvi其中am,.為剛體屮任一質(zhì)元的質(zhì)跫，z;為該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離。當(dāng)剛體的質(zhì)量連續(xù)分布的情況下，可以寫成積分式：j=r2dm"l轉(zhuǎn)動慣量只與剛體的質(zhì)量、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。(3 )力矩力矩是反映力的人小、方fj、和作_用點(diǎn)對物體轉(zhuǎn)動的影響，是物體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的原

3、因。 力矩是矢撒，定義為：m = rxf 人小：m = frsin 3方乖s于戶和f所在的平而，用右手螺旋法則來判斷。在定軸轉(zhuǎn)動屮，只用量位表示，用正負(fù)表示方叫。(4 )定軸轉(zhuǎn)動時的力矩的功w=c mde(5 )角動景(動量矩)a.質(zhì)點(diǎn)的角動撒為：l = rxp屮，f為質(zhì)點(diǎn)相對于參考點(diǎn)的位矢，戶為在該位置處的動量。角動量為矢景： 人小:l = rmvs'm 6 ,其屮汐為f與戶(或p)的夾角，方|4:基k于f和戶(或p)所在的平謝，用右手螺旋法 則。b.剛體的角動量等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積，即：l = ja)2、基本規(guī)律 (1)轉(zhuǎn)動定律剛體繞定軸轉(zhuǎn)動吋，剛體的角加速度與它所受的

4、合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成 反比，即：m =j/3轉(zhuǎn)動定律足剛體定軸轉(zhuǎn)動的基本定律，揭示了力矩的瞬吋作川規(guī)律。(2 )角動撒定理作用在物體上的沖s矩等于k角動fi的增s, su:j mdt = j2co2 - j'6o'f mdt：作用在物體上的合外力矩的沖量矩。對質(zhì)點(diǎn)而言，力矩和角動s必須以同一點(diǎn)為參考點(diǎn)；對剛體而言，力矩和角動s必須以 同一轉(zhuǎn)軸為參考軸。(3) 角動量守恒定律如果物體所受的合外力矩等于零或者不受外力矩的作川，物體的角動暈保持不變，bp: j仍二恒量。(4) 轉(zhuǎn)動的動能定理合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。即：pmd沒=丄/仍22

5、_丄j叫2私22對于包含有轉(zhuǎn)動剛體的系統(tǒng)，機(jī)械能守怛定律形式和使用條件與質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能守怛定律一樣，其剛體的重力勢能以剛體質(zhì)心的重力勢能計(jì)算。(5)乎行軸定理剛體對任意軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對通過物體質(zhì)心并與該軸t行的軸的轉(zhuǎn)動慣量人加 上剛體的質(zhì)量m與兩平行軸的距離d的平方的乘積。即：j = jc + md2 (6 )正交軸定理剛體繞與面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動慣量，等于繞以下兩條軸線的轉(zhuǎn)動慣量之和。此兩條軸 線在剛體所在的平而內(nèi)；兩條軸線過垂直軸和平而的交點(diǎn)；兩條軸線互相垂直三、解題指導(dǎo)剛體中涉及到的主要定理有三個：轉(zhuǎn)動定律、角動景守恒定律及轉(zhuǎn)動動能定理，因此這 章的問題主要奮三個類型：瞬吋關(guān)系、碰摘

6、等系統(tǒng)的合外力矩為零及系統(tǒng)合外力矩不為零的 情況t的能量關(guān)系。1. 應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律和牛頓定律解題的一般方法對于剛體和質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)的瞬吋關(guān)系，應(yīng)川剛體轉(zhuǎn)動定律和質(zhì)點(diǎn)的牛頓定律解題，步 驟如下：(1) 選擇研究對象，將物體隔離。對質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行受力分析，并選擇方向；對剛體進(jìn)行力矩 分析，并選擇正的繞肉，使剛體的繞向與質(zhì)點(diǎn)的正方叫保持一致。(2) 對質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用牛頓定律，對剛體應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律，列出正確的表達(dá)式。(3) 通過線量和角量關(guān)系將剛體和質(zhì)點(diǎn)聯(lián)系起來。(4) 聯(lián)立方程解題，必要時進(jìn)行討論。2. 應(yīng)用角動量守恒定律解題的一般方法剛體和質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)屮出現(xiàn)碰撞或撞擊等問題時，如果系統(tǒng)的合外力矩為零，則庖用 角

7、動量守怛定律解決問題，即l1=l2。有心力作用下的質(zhì)點(diǎn)對屮心的角動泉同樣守恒。應(yīng) 用角動量守定律的基木步驟如下：(1) 根裾過程的特點(diǎn)，選擇研究系統(tǒng)(對象)，進(jìn)行力矩(受力)分析，說明系統(tǒng)滿足 角動量守恒的條件。(2) 列出過程始末狀態(tài)的角動m，列出角動量守恒方程。(3) 解方程，必要吋進(jìn)行討論。3. 應(yīng)用轉(zhuǎn)動動能定理解題的一般方法類似桿的轉(zhuǎn)動、盤的轉(zhuǎn)動和剛體與質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)的問題中冇位置的改變雖時，經(jīng)常應(yīng) 用剛體的轉(zhuǎn)動動能定理和質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒定律。解題的基本步驟如下：(1) 根裾過程特點(diǎn)，選擇研究對 的功及剛體力矩所做的功，說明滿(2) 列出過程始末狀態(tài)的能量，o廠象，分析質(zhì)點(diǎn)的力所作 足

8、機(jī)械能守柄的條件。 分別列轉(zhuǎn)動動能定理的方程和機(jī)械能守恒的方程。y/m7(3)聯(lián)立解方程，必耍時進(jìn)行討/1 /論。例34如右圖一勻質(zhì)細(xì)桿，長/3-1/為l，質(zhì)量為w，在呼擦系數(shù)為/的桌上轉(zhuǎn)動，求摩擦力的力矩a/w。解：桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦阻力矯不|uj,靠近軸的質(zhì)元受阻力矩小，遠(yuǎn)離軸的質(zhì)元受的阻力矩大，細(xì)桿的質(zhì)景密度質(zhì)元質(zhì):w:mldm = ack質(zhì)元受阻力矩 dmm = -judmgx細(xì)樸受的肌力矩l pigxax = _ 丄 /igl2由細(xì)桿的質(zhì)量 m = al有:例3-2質(zhì)量為和/?2兩個物體，跨在定滑輪上m2放在光滑的桌面上，滑輪肀抒為a質(zhì)量為m，求：下落的加速度

9、和解：受力分析，以為研究對象 mg-tx =ma(1)為研究對象t2 = m2a(2)以m為研究對象(t'-t2)r = jj3 (3)j=lmr2,2而 67 = /?/?(4)聯(lián)立方程(1) 一(4),解得：繩子的張力/;、r2t,閣3-2m,rm， 2t'2t2m.+z+y討論：當(dāng)m=0時，t'=t，=h (即當(dāng)猾輪質(zhì)量不計(jì)時，滑輪兩端繩中張力相等) u + m2例3-3長為l,質(zhì)量為州(的細(xì)棒，可繞垂直于一端的水平軸自由轉(zhuǎn)動。棒原來處于 平衡狀態(tài)?，F(xiàn)有一質(zhì)県為m的小球沿光滑水平而飛來，h:好與棒的下端相碰(設(shè)碰摘完全 彈性)使桿向上擺到60°處，求小球

10、的初速度。解：第一過程：小球與棒完全彈性祕撞。mvtl = mvl + -zzz()l269 mv2 2第二過程：從碰撞后得到角速度到棒上升到?jīng)]= 60°處.取棒、地球?yàn)橄到y(tǒng)。因系統(tǒng)中無外力和非保守內(nèi)力作功。所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即m()<g|(l-cos 60°) = |(|由上列三式解得：vo = m+3rnyf6l 12m例3-4質(zhì)雖為m,長為/的均勻長桿，一端可繞水平的固定軸旋轉(zhuǎn)，開始吋，桿系靜 止下垂，如圖所示，現(xiàn)冇一質(zhì)fi為m的了彈，以水平速度v打擊桿于a點(diǎn)，以盾就附在桿桿14上擺的最人角度。與桿-起以角速度仍繞o點(diǎn) 用力的合外力矩為零，則系上隨之一起擺動。設(shè)a離軸的距離為2/，求4解：取子彈和桿