2021版高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.1.1空間向量及其線性運(yùn)算學(xué)案蘇教版選修2-1

1、3. 1.1空間向量及其線性運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 了解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示和字母表示2掌握空間向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律，理解空間向量線性運(yùn)算及其運(yùn)算律的幾何意義.F知識(shí)械理一自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一空間向量的概念在空間中，我們把像位移、力、速度、加速度這樣既有大小又有方向的量叫做空間向量，向 量的大小叫向量的長(zhǎng)度或模.知識(shí)點(diǎn)二空間向量的加減法(1) 加減法定義空間中任意兩個(gè)向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類(lèi)似于平面向量的加減法.(如圖)Sa= OA- Oc a b.(2) 運(yùn)算律交換律：a+ b= b+ a;結(jié)合律：(a+ b) + c= a+ (b+ c).知識(shí)點(diǎn)三空間向量的數(shù)乘運(yùn)算(

2、1) 定義實(shí)數(shù)入與空間向量a的乘積 入a仍是一個(gè)向量，稱(chēng)為向量的數(shù)乘運(yùn)算.當(dāng)入0時(shí)，入a與a方向相同；當(dāng) 入0時(shí)，入a與a方向相反；當(dāng) X = 0時(shí)，入a= 0.入a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的|入|倍.如下圖.(2) 運(yùn)算律分配律：入(a+ b) = X a+入b;結(jié)合律：X( 口 a) = ( X 口 )a.知識(shí)點(diǎn)四共線向量定理(1)共線向量的定義與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a/b.(2)充要條件對(duì)空間任意兩個(gè)向量 a, b(a 0), b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)X ,使b= X a.思考(1)假設(shè)表示兩個(gè)相等空間向

3、量的有向線段的起點(diǎn)相同，那么終點(diǎn)也相同.對(duì)嗎？(2)零向量沒(méi)有方向.對(duì)嗎？3空間兩個(gè)向量的加減法與平面內(nèi)兩向量的加減法完全一致對(duì)嗎? 答案1正確起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同的兩個(gè)向量相等.2錯(cuò)誤.不是沒(méi)有方向，而是方向任意.正確.題型探究重點(diǎn)突破題型一空間向量的概念例1判斷以下命題的真假.1空間中任意兩個(gè)單位向量必相等； 方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；假設(shè)| a| = |b|，那么 a = b或 a=- b;向量云BA的長(zhǎng)度相等.解1假命題.因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量，只有模相等，但方向不一定相同.假命題.因?yàn)榉较蛳喾吹膬蓚€(gè)向量模不一定相等.假命題.因?yàn)閮蓚€(gè)向量模相等時(shí)，方向不一定相同或相反，也可以是任意的.

4、真命題.因?yàn)镋BA與罷僅是方向相反，但長(zhǎng)度是相等的.反思與感悟空間向量的概念與平面向量的概念相類(lèi)似，平面向量的其他相關(guān)概念，如向量 的模、相等向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的相關(guān)概念.跟蹤訓(xùn)練1如下圖，以長(zhǎng)方體 ABC- A1B1CD的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為始 點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，1試寫(xiě)出與Ah目等的所有向量；試寫(xiě)出AA的相反向量； 假設(shè)AB= AD= 2, AA= 1，求向量AG的模.解 與向量ABf等的所有向量除它自身之外有A1B1, DG及DG共3 個(gè). 向量AA的相反向量為 AN, BB, GG, 3d3| AG| = 3.題型二 空間向量的線性運(yùn)算例2 如圖，在長(zhǎng)方

5、體ABC- ABGD 中,.填序號(hào) AD心XB BC+ BB- DC； AD- AB- DD; BiD A A+ DD.答案解析 (1)AD BA- AB= AD AB= BD;(2) BG-F BB DG = BG+ CD= BD;(4) BiD AA+ DD= BDF AA+ DD= BD+ AA豐 BD.反思與感悟 運(yùn)用法那么進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時(shí)要注意關(guān)鍵的要素:1向量加法的三角形法那么：“首尾相接， 指向終點(diǎn)；2向量減法的三角形法那么： “起點(diǎn) 重合，指向被減向量；3平行四邊形法那么：“起點(diǎn)重合；4多邊形法那么：“首尾相接， 指向終點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練2如圖，在正方體 ABC ABCD中，以下

6、各式中運(yùn)算結(jié)果為 向量AC的是.填序號(hào)© AB+ BC + CC;笑AA+ A D + D C ； 3 AB+ BB + B C ；AA + A B + B C .答案 解析 AB+ BC + Cc= Ac+ Cc=屁；笑AA+ ad + dCi=ad+ dig=AC；AB+ BB + Bic=Ab + BiC=AC； AA+AB+ Bic=Ab + bg= AC.所以所給四個(gè)式子的運(yùn)算結(jié)果 都是AC.題型三空間向量的共線問(wèn)題例3 設(shè)e、e2是平面上不共線的向量，AB= 2ei + ke2, CB= ei + 3e2, CD= 2e i e2,假設(shè)A、B D三點(diǎn)共線，求k的值.解 T

7、 BD= CD- CB= ei 一 4e2, AB= 2e i + ke2,一 4又A、B、D三點(diǎn)共線，由共線向量定理得 2 =下,k = 一 8.反思與感悟 靈活應(yīng)用共線向量定理，正確列出比例式.跟蹤訓(xùn)練3 設(shè)兩非零向量 ei、e2不共線，AB= ei + e2, BC= 2ei + 8e2, CD= 3ei一 e2.試問(wèn): A、B、D是否共線，請(qǐng)說(shuō)明理由.解/ Bd= bc Cd=(2 ei + 8e2)+ 3( ei e2)= 5( ei + e2),BD= 5AB又 B為兩向量的公共點(diǎn)，A B、D三點(diǎn)共線.當(dāng)堂檢測(cè)自杳自糾1. 兩個(gè)非零向量的模相等是兩個(gè)向量相等的 條件.答案必要不充分

8、解析 a= b? | a| =|b| ； | a| =|b|ra= b.2在平行六面體 ABC A B C' D的各條棱所在的向量中，模與向量A'B'的模相等的向量有個(gè).答案 7解析 id' "C' | = ic' ID' | = |DC = icd = |BA = |AB=| B' _A, | = | A _B, |.3.以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是.填序號(hào) 假設(shè)|a| = |b|，那么a, b的長(zhǎng)度相等，方向相同或相反； 假設(shè)向量a是向量b的相反向量，貝U | a| = | b| ； 空間向量的減法滿足結(jié)合律； 在四邊形

9、ABCD中, 一定是AB+ AD= AC答案解析 假設(shè)|a| = |b|，那么a, b的長(zhǎng)度相等，方向不確定，故不正確；相反向量是指長(zhǎng)度相同，方向相反的向量，故正確；空間向量的減法不滿足結(jié)合律，故不正確；在？ABCDK才有Abt AD= AC故不正確.4.如圖，在平行六面體ABC ABCD中，M為AQ與BD的交點(diǎn).假設(shè)AB=a,AD= b, AA = c,那么以下向量中與 BM目等的向量是 .填序號(hào)1 1 1 1？a+?b+ c 2a+ 2b + cga-;b+ c 2a *+ c2 2 2 2答案解析 BM/I= BB+ BM= 2(AD- B + AA1 1=-qa+ qb+ c.5.以下命題中正確的個(gè)數(shù)是 . 如果a, b是兩個(gè)單位向量，那么|a| =|b| ; 兩個(gè)空間向量相等，那么它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同； 假設(shè)a，b，c為任意向量，貝U (a+ b) + c= a+ ( b+ c)； 空間任意兩個(gè)非零向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi).答案 3解析 由單位向量的定義知| a| = | b| = 1,故正確；因相等向量不一定有相同的起點(diǎn)和終 點(diǎn)，所以錯(cuò)誤；由向量加法運(yùn)算律知正確；在空間確定一點(diǎn)后，可將兩向量的起點(diǎn)移至 該點(diǎn)，兩向量所在直線確定一個(gè)平面，這兩個(gè)非零