2021版高中數(shù)學(xué)第1章常用邏輯用語1.1.2第2課時充要條件學(xué)案蘇教版選修2-1

1、第2課時充要條件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解充要條件的意義.2.會判斷、證明充要條件 3通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生明白對 充要條件的判定應(yīng)該歸結(jié)為判斷命題的真假.戸知識梳理自壬學(xué)習(xí)知識點一充要條件一般地，如果既有 p? q,又有q? p就記作_p? q.此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件.概括地說，如果 p? q,那么p與q互為充要條件.思考(1)假設(shè)p是q的充要條件，那么命題 p和q是兩個相互等價的命題這種說法對嗎？(2) “ p是q的充要條件與“ p的充要條件是q的區(qū)別在哪里？答案(1)正確假設(shè)p是q的充要條件，那么p? q,即p等價于q,故此說法

2、正確.(2)p是q的充要條件說明p是條件，q是結(jié)論.p的充要條件是q說明q是條件，p是結(jié)論.知識點二 常見的四種條件與命題真假的關(guān)系如果原命題為“假設(shè) p,那么q，逆命題為“假設(shè)q,那么p，那么p與q的關(guān)系有以下四種情形：原命題逆命題p與q的關(guān)系真真p是q的充要條件q是p的充要條件真假p是q的充分不必要條件q是p的必要不充分條件假真p是q的必要不充分條件q是p的充分不必要條件假假p是q的既不充分也不必要條件 q是p的既不充分也不必要條件知識點三 從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件假設(shè)A? B,那么p是q的充分條件，假設(shè) A B,那么p是q的|充分不必要條件假設(shè)B? A,那么p是q的必

3、要條件，假設(shè) B A,那么p是q的 必要不充分條件假設(shè)A= B,那么p, q互為充要條件假設(shè)心 B且B g A，那么p既不是q的充分條件，也不 是q的必要條件<sCZ) ® CZ)其中 p： A= x|p(x)成立, q： B= x|q(x)成立.=題型探究重點突破題型一 充要條件的判斷例 1(1) “ x = 1 是“ X p： | x|>3 , q： x >9.解在 ABC中，顯然有/ A>/B? sin A>sin B所以p是q的充要條件. 假設(shè) a + b = 0，貝V a= b= 0, 即卩 p? q；假設(shè) a= b= 0,那么a2 + b2

4、= 0,即q? p,故p? q,所以p是q的充要條件. 由于p： |x|>3? q： x >9，所以p是q的充要條件.反思與感悟判斷p是q的充要條件的兩種思路(1) 命題角度：判斷p是q的充要條件，主要是判斷p? q及q? p這兩個命題是否成立假設(shè)p? q成立，那么p是q的充分條件，同時 q是p的必要條件；假設(shè) q? p成立，那么p是q的必要 條件，同時q是p的充分條件；假設(shè)二者都成立，那么p與q互為充要條件.(2) 集合角度：關(guān)于充分條件、必要條件、 充要條件，當(dāng)不容易判斷p? q及q? p的真假時， 也可以從集合角度去判斷， 結(jié)合集合中“小集合？大集合的關(guān)系來理解， 這對解決與

5、邏輯 有關(guān)的問題是大有益處的.跟蹤訓(xùn)練1 (1) a, b中至少有一個不為零的充要條件是 .ab = 0 ab>0 a2 + b2= 0 a2 + b2>0(2) “函數(shù)y= x2 2x a沒有零點的充要條件是 . 2x+ 1 = 0 的條件.答案充要解析 解x2 2x+ 1 = 0得x= 1，所以“ x= 1是“ x2 2x+ 1 = 0的充要條件.(2)判斷以下各題中，p是否為q的充要條件？ 在 ABC中, p:/ A>Z B, q: sin A>sin B;22 假設(shè) a, b R, p： a + b = 0, q： a= b= 0；答案(2) a< 1解析

6、(1) a2 + b2>0，貝U a、b不同時為零；a, b中至少有一個不為零，那么a2+ b2>0. 函數(shù)沒有零點，即方程x2 2x a= 0無實根，所以有 A = 4 + 4a<0,解得a< 1.反之，假設(shè)a< 1，貝U A <0,方程x2 2x a= 0無實根，即函數(shù)沒有零點.故"函數(shù)y = x2 2x a沒有零點的充要條件是a< 1.題型二充要條件的證明例2 求證：方程x2 + (2 k 1)x+ k2= 0的兩個根均大于1的充要條件是k< 2. 證明必要性：假設(shè)方程x2+ (2k 1)x + k2= 0有兩個大于1的根，不妨設(shè)

7、兩個根為 X1, X2，貝U2 2A= 2k 1 4k >0,X1 + X2 2>0,X1 1+ X2 1 >0,X1X2 X1 + X2+ 1>0.X1 1X2 1 >0,2k 1 2>0,2k +2k 1+ 1>0,解得k< 2.充分性：當(dāng) k< 2 時，A = (2k 1)2 4k2= 1 4k>0.設(shè)方程x2+ (2k 1)x + k2= 0的兩個根為X1, X2.那么(X1 1)( X2 1) = X1X2 ( X1 + X2) + 1=k2+ 2k 1 +1 = k(k + 2)>0.又(X1 1) + (X2 1)

8、 = (X1+ X2) 2=(2 k 1) 2= 2k 1>0,X1 1>0, X2 1>0. X1>1 , X2>1.綜上可知，方程 x + (2k 1)x+ k = 0有兩個大于1的根的充要條件為k< 2.反思與感悟一般地，證明“ p成立的充要條件為 q時，在證充分性時應(yīng)以q為“條件，p是該步中要證明的“結(jié)論，即q? p；證明必要性時那么是以p為“條件，q為該步中要證明的“結(jié)論，即p? q.跟蹤訓(xùn)練2 求證：一次函數(shù)f(x) = kx+ b(k豐0)是奇函數(shù)的充要條件是b= 0.證明充分性：如果b= 0,那么f(x) = kx,因為 f ( x) = k

9、( x) = kx,所以 f( x) = f(x),所以f(X)為奇函數(shù).必要性：因為 f(x) = kx + b(k豐0)是奇函數(shù)，所以f ( x) = f ( X)對任意X均成立，即 k( x) + b= ( kx+ b),所以b= 0.綜上，一次函數(shù)f (x) = kx + b(k豐0)是奇函數(shù)的充要條件是b= 0.題型三充要條件的應(yīng)用例3關(guān)于x的方程x所以不等式ax + 2x+ 1>0恒成立的充要條件是 a>1. m灶2m- 3= 0，求使方程有兩個大于1的實根的充要條件.A> 0,解 設(shè)方程x2 mx+ 2m 3 = 0的兩根分別為xi , X2,由題意知xi>

10、;1,X2>1A> 0,X1 1 + X2 1 >0,?Xi 1X2 1 >0A >0,X1 + X2>2,X1X2 X1 + X2+ 1>02m 42 m- 3> 0,? m>2,2 m- 3 m+1>0? m> 6.即使方程有兩個大于 1的實根的充要條件為 m> 6.反思與感悟求充要條件常用以下兩種方法：(1) 先由結(jié)論尋找使之成立的必要條件，再驗證它也是使結(jié)論成立的充分條件，即保證充分 性和必要性都成立.(2) 變換結(jié)論為等價命題，使每一步都可逆，直接得到使命題成立的充要條件.跟蹤訓(xùn)練3求不等式ax2 + 2x +1

11、>0恒成立的充要條件.解當(dāng)a = 0時，2x+ 1>0不恒成立.當(dāng)a0時，ax + 2x+1>0恒成立.a>0? a>1.A = 4 4a<01對于非零向量 a, b," a+ b = 0是"a / b的條件.答案充分不必要解析當(dāng)a + b= 0時，得a=- b,所以a / b,但假設(shè)a / b,不一定有a+ b= 0.2. 集合A=1 ,a ,B= 1,2,3，那么“ a = 3是“A?B'的.答案充分不必要解析 a= 3 時，A= 1,3 , A? B,當(dāng) A? B時，a= 2 或 3.3. a :" a=±

12、; 2；卩：“直線x-y = 0與圓x2+ (y a)2= 2相切，那么 a是卩的 條件.答案充要解析 a=±2時，直線x y = 0與圓x2+ (y±2) 2= 2相切；當(dāng)直線 x y = 0與圓x2+ (y a)2 = 2相切時，得"2 = ；2,二a=± 2. / a是卩的充要條件4. 直線li： x + ay+ 6 = 0和直線12： (a 2)x+ 3y + 2a= 0，貝U 11 /12的充要條件是 a答案 1解析 由 1 x 3 ax( a 2) = 0 得 a= 3 或一 1, 又 ax2 a 3x 6工0,所以 az3,所以 a= 1.1 15. 命題p： x>0, y<0,命題q： x>y,->-，貝U p是q的條件.x y答案充要1 1 、解析 當(dāng)x>0, y<0時，x>y且j>-成立,x>0,y<0.x y>0,1 1當(dāng)x>y且-時，得x yx y <0, xy所以p是q的充要條件._課堂小結(jié)11. 充要條件的判斷有三種