換元法、分部積分法課件

1、2021-11-91第三節(jié)第三節(jié) 換元法換元法2021-11-92 411 1dxxx 例例 求求積積分分 411dxxxx 解解：原原式式 1,4x xt 設(shè)設(shè)211121dttt 42ln3 4121dxxx 2121dttt 原原式式 1,2t xt變變?yōu)闉槎ǘǚe積分分能能換換元元改改變變積積分分變變量量求求定定積積分分，叫叫定定積積分分換換元元法法。看看定定理理：2021-11-93一、換元公式一、換元公式( ) ( )( )baf x dxftt dt 則則有有換換元元積積分分公公式式2021-11-94溫馨提示溫馨提示: :換元的同時(shí)要換限換元的同時(shí)要換限( ) ( )( )baf

2、 x dxftt dt xt 2021-11-95例例2 2 計(jì)算計(jì)算.sincos205 xdxx解解: :cos ,tx 令令2 x, 0 t0 x, 1 t051t dt 原原式式.61 sin,dtxdx 250cossinxxdx 150t dt 注意注意: :250coscosxdx - -換換元元對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系換元后換元后，積分上下限積分上下限相應(yīng)改變相應(yīng)改變換元必?fù)Q限換元必?fù)Q限2021-11-96例例3 3 計(jì)算計(jì)算11.1lnedxxx 解解: :ln ,ttxxe 令令則則1x 0txe 1t 111lnedxxx 故故1011tte dtet tdxe dt 102 1

3、t1011dtt 221不不是是單單純純求求出出原原函函數(shù)數(shù)，注注意意技技巧巧換元必?fù)Q限換元必?fù)Q限2021-11-97例例4 4 計(jì)算計(jì)算解：令解：令22.(0)aaax dxa ,sintax 2xat 2xat ,costdtadx 22coscosat atdt 原原式式 2221cos22at dt 22-(0)aaaxa 一一個(gè)個(gè)表表示示半半圓圓面面積積2221sin222att 2.2a 故故也也可可用用幾幾何何意意義義得得2021-11-98證證明明：分分割割積積分分區(qū)區(qū)間間0( )af x dx 0()xtaft dt 0()aft dt 0()afx dx 對對稱稱區(qū)區(qū)間間0

4、0( )( )( )aaaaf x dxf x dxf x dx2021-11-99 ()( ),fxfxf x （1 1）若若為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則( )aaf x dx 02( );af x dx 00( )( )( )aaaaf x dxf x dxf x dx 0( )( )()aaaf x dxf xfxdx 故故( )0aaf x dx ()( ),fxfxf x （2 2）若若為為奇奇函函數(shù)數(shù)，則則 00( )aaf x dxfx dx 成成立立2021-11-910奇函數(shù)奇函數(shù)例例6 6 計(jì)算計(jì)算解解: :.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 1

5、1211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積拆拆分分被被積積函函數(shù)數(shù)2021-11-911220404sinsin11xxxxdxdxee 解解：I I+ +對對稱稱區(qū)區(qū)間間上上的的非非奇奇非非偶偶函函數(shù)數(shù)如如何何求求定定積積分分？分分割割積積分分區(qū)區(qū)間間，再再積積分分244sin1xxdxe 例例7 7 計(jì)計(jì)算算I=I=220044sinsin11xtxtdxdtee xt 令令240sin1xxdxe 224400sinsin11xxxxdxdxee I I+

6、+240sin1ttdte ,4 4 2021-11-91224011sin11xxxdxee 240sin xdx 28 224400sinsin11xxxxdxdxee I I+ + 4011cos22x dx 2021-11-91322202sinsin1cos1cosxxxxdxdxxx 解解：I I 02222sinsin1cos1costtxxdxdtxt 222200sinsin1cos1cosxxxxdxdxxx I I.42 20sin1cosxxdxx 例例8 8 計(jì)計(jì)算算I I= =xt 令令220sin1cosxdxx 20arctan(cos )x 220sin1co

7、sxxdxx 分分割割積積分分區(qū)區(qū)間間再再積積分分2021-11-914 fxTa例例9 9是是周周期期為為 連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)， 為為任任意意常常數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有證證明明：分分割割積積分分區(qū)區(qū)間間 000aafx dxfx dx由由于于 0a TaTfx dxf tT dt 00a TTa TaaTfx dxfx dxfx dxfx dx 左左xtT 令令 0af t dt 0a TTafx dxfx dx 左左右右，成成立立 0afx dx 2021-11-915sin x 以以 為為周周期期2200sinsinsinx dxxdxx dx 解解：00sinsinx dxx dx 原原式式4.

8、20sin x dx 例例10 10 求求002sin2sinx dxxdx2021-11-916技巧技巧:定積分的換元法定積分的換元法( ) ( )( )baf x dxftt dt 小結(jié)小結(jié)利利用用定定積積分分的的幾幾何何意意義義 xt 利利用用被被積積函函數(shù)數(shù)的的周周期期性性分分割割積積分分區(qū)區(qū)間間，再再換換元元拆拆分分或或結(jié)結(jié)合合被被積積函函數(shù)數(shù)2021-11-917二、分部積分法二、分部積分法乘積函數(shù)求定積分乘積函數(shù)求定積分2021-11-918定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式bauv dx bbaauvvdu baudv 2021-11-919例例1 1 計(jì)算計(jì)算.arcs

9、in210 xdx解：合理選擇解：合理選擇u,v令令,arcsin xu ,dxdv 21dxdux 則則vx 120arcsin xdx 1122020arcsin1xdxxxx 122201(1)1221dxx 1220211x . 12312 bbbaaaudvuvvdu 2021-11-920例例2 2 計(jì)算計(jì)算.2cos140 xxdx401cos2xdxx 解解：4202cosxdxx 40tan2xdx 440011tantan22xxxdx 40lncos182x .42ln8 bbbaaaudvuvvdu 2021-11-921例例3 3 計(jì)算計(jì)算解解.)2()1ln(102

10、 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx1100ln(1)1ln(1)22xdxxx 32ln dxxx 1011211112xx 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 bbbaaaudvuvvdu 2021-11-9222110sin4 ( )( ).xtf xdtxf x dxt 例例設(shè)設(shè)，求求 10)(dxxxf 102)()(21xdxf11220011( )( )22x f xx df x 12011(1)( )22fx fx dx 22sin( )xfxx (1)0f 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102co

11、s21x ).11(cos21 2021-11-923選選一、換元公式一、換元公式( ) ( )( )baf x dxftt dt 則則有有換換元元積積分分公公式式2021-11-924因?yàn)橐驗(yàn)?(xf在區(qū)間在區(qū)間 , a b上連續(xù)，其原函數(shù)一定存在上連續(xù)，其原函數(shù)一定存在 ( )( )( )baf x dxF bF a 左左當(dāng)當(dāng)t在在區(qū)區(qū)間間, 上上變變化化時(shí)時(shí)，)(tx 的的值值在在,ba上上變變化化， 由由于于 ( ) ( )( )baf x dxftt dt ()tdF dFtdxdt )()(txf ( )( )ftt xt 證證明明：設(shè)設(shè))(xF是是 ( ) ,f xxa b 的的

12、一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)， 2021-11-925 ( )( )ftt dt 所所以以右右故故 ()Ft 是是)()(ttf 的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù). . ()()FF ( ) ( )FFF bF a ( )( )( ) ( )( ) .baf x dxF bF aftt dt 從從而而( )( )ab 由由，得得 () ( )( )Ftftt 原原結(jié)結(jié)論論成成立立2021-11-926例例 9 9 若若)(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，證證明明 ,2xtdxdt 證證明明：（1 1），2200(1)(sin )(cos )fx dxfx dx 00(2)(sin )(sin )2xfx dx

13、fx dx 20sin1cosxxdxx 并并計(jì)計(jì)算算20(1)(sin )fx dx 左左 022sindttf 20)(cosdttf20(cos )fx dx 右右2021-11-927xtdxdt 設(shè)設(shè)0(sin )xfx dx 左左0() sin()t ft dt 0() (sin )t ft dt 00(2)(sin)(sin)2xfx dxfx dx 00(sin )(sin )ft dttft dt 00(sin)(sin)fx dxxfx dx 00(sin )(sin ).2xfx dxfx dx 移移項(xiàng)項(xiàng)得得2021-11-928 02cos1sindxxxx 02cos

14、1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 00(2)(sin )(sin )2xfx dxfx dx 20sin1cosxxdxx 并并計(jì)計(jì)算算2021-11-9292xt 解解：設(shè)設(shè)02coscossintIdttt 20sincos2sincos2xxIdxxx 故故4I 即即20sin.sincosxdxxx 例例10 10 求求I=I=20cossincosxdxxx 2021-11-930 fxTa例例9 9 若若是是周周期期為為 的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)， 為為任任意意常常數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有再再看看教教材材上上的的證證明明： 0a

15、TTafx dxfx dx 0a TTafx dxfx dx 要要證證明明 00Ta TaTfx dxfx dxfx dx 即即 00a TaTfx dxfx dx 也也就就是是 00Tfx dx 2021-11-931 0Taa Tfx dxf tT dt 成成立立 0afx dxtxT 在在中中設(shè)設(shè) 00a TaTfx dxfx dx Ta Tf t dt Ta Tfx dx a TTfx dx - - f tTf t2021-11-93222112002xxedxx edx 解解：原原式式 21204 1 2xxedx 例例求求222111000 xxxedxxeedx 221100 xxedxxde故故原原式式222xxdexedx 由由于于1e想想辦辦法法抵抵消消某某些些項(xiàng)項(xiàng) bbbaaaudvuvvdu 2021-11-933 0( )2( );aaafxf x dxf x dx 為為偶偶函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，證證明明（二二）：設(shè)設(shè)輔輔助助函函數(shù)數(shù)成成立立 00( )( )ttF tf