動(dòng)態(tài)線段長(zhǎng)的最小值問(wèn)題教師版

1、動(dòng)態(tài)線段長(zhǎng)的最小值問(wèn)題I .單動(dòng)點(diǎn)類(lèi): 線段的一個(gè)端點(diǎn)是定點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，此類(lèi)問(wèn)題常用到兩類(lèi)幾何原型:1 .點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短如圖，在 RtAABC, /A= 90° , BD平分/ ABC AC于 D點(diǎn)，AB= 4, BA5,點(diǎn) P是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則PD的最小值是.已知。O的半彳全為5,弦AB的長(zhǎng)為8,點(diǎn)P在弦AB上,是.如圖，在 ABC中,AB= 6, BG= 8, / AC氏30° ,將 AB砥點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)， 得到A'BC' .點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在 ABCtS點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)?向旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)

2、應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P ,則線段EP'長(zhǎng)度的最小值為.【解析】E點(diǎn)為定點(diǎn)，P'在線段A'C'運(yùn)動(dòng)，這樣可以化歸為點(diǎn)到直線的最短距離問(wèn)題，當(dāng)且僅當(dāng)AB，A'C'時(shí)，點(diǎn)P'為AC與A'C'的交點(diǎn).如圖，邊長(zhǎng)為2a的等邊三角形ABCt, M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 MB將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接HN則線段HNK度的最小值是.在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中【解析】如圖，取BC的中點(diǎn)G,連接MG可證得 MB國(guó)ANBIH(SAS,則N+ MG而根據(jù)垂線段最短，MGL CH時(shí)，MGt短，即HN最短，此時(shí)./BC吐 X 60

3、0 =30° , CG= AB= X2a=a, . MG= CCG= xa=, .H*.2 . 一點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的最小距離已知，O。的半徑為5,點(diǎn)P為。內(nèi)一點(diǎn)，且。之3,則點(diǎn)P與圓上各點(diǎn)距離的最小值為.類(lèi)似地，當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，最短距離如圖所示 等腰直角 ABC中，/ C= 90° , A最BG= 4, D為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BR過(guò)點(diǎn)C作CHL BD于H,連接AH, M AH的最小值為.【解析】不論D如何動(dòng)，CH始終與BD垂直，那么點(diǎn)H點(diǎn)的軌BC中點(diǎn)M為半徑的圓，這樣動(dòng)線段 AH的最小值，就順利的轉(zhuǎn)化A與。M各點(diǎn)的最小值問(wèn)題.如圖，在正方形ABCDK動(dòng)點(diǎn)E, F分別從D,

4、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在邊 DQM為圓心的圓DCF(SAS ,CB上移動(dòng)，連接AE和DF交于點(diǎn)P,由于點(diǎn)E, F的移動(dòng)， *使得點(diǎn)P也隨之 運(yùn)動(dòng)，若AD-2,線段CP的最小值是.【解析】速度相同，則意味著DE= CF,存在ADEizX可進(jìn)一步證得AE± DF,于是點(diǎn)P的軌跡是在以AD中點(diǎn)周上，CP的最小值就化歸為點(diǎn)C到。M各點(diǎn)的最小值問(wèn)題.變式1:如圖，正方形ABCDfr, AB= 4,動(dòng)點(diǎn)E從A出發(fā)向D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段AF、BE交于點(diǎn)P, M是線段BC上任意一點(diǎn)，則MD MP勺最小值為.I

5、II【解析】速度相同，則意味著AE=DF,存在ABASzADF（SAS ,可進(jìn)一步證彳# AF± BE,于是點(diǎn)P的軌跡是在以AB中點(diǎn)N為圓心的圓周上（如圖所示），當(dāng)P點(diǎn)在正方形對(duì)稱(chēng)中心的時(shí)候，P到線段BC#點(diǎn)的距離最小，接下去線段和最小可轉(zhuǎn)化為同直線的問(wèn)題，作D關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D',連接PD',則PD'就是MDb MP的最小值.D變式2:如圖，正方形ABCDfr, A五4,動(dòng)點(diǎn)E從A出發(fā)向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從D出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段AF、BE交于點(diǎn)P, M是線段BC上任意一點(diǎn)，MDb MP的最小值為

6、.i【解析】變式2只是將上題P的軌跡變成半圓，這樣就轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和圓上各點(diǎn)的最小值問(wèn)變式3：直線y = x + 4分別與X軸、y軸相交與點(diǎn)MN,邊長(zhǎng)為2的正方形OABCD'一個(gè)頂點(diǎn)。在坐標(biāo)系的原點(diǎn)，直線AN與MCf目交與點(diǎn)P,若正方形繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，則點(diǎn)P到點(diǎn)（0, 2）長(zhǎng)度的最小值是.如圖，在矩形 ABC時(shí)，AB= 4, AD= 6,動(dòng)點(diǎn).將 EFB沿EF所在的直線折疊得B' D,則B D的最小值為.（能力訓(xùn)練 P67第11題）【解析】不論如何翻折，始終保持 EB- EB',故，點(diǎn)B'的運(yùn)動(dòng)軌跡是在以E為圓心的圓周上，B'D 的最小值化歸為點(diǎn)D到。E各點(diǎn)

7、的最小值問(wèn)題.H .雙動(dòng)點(diǎn)類(lèi)：OA、OB, M N分別是OB上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的點(diǎn)，則PW PN的最小值等如圖，平面直角坐標(biāo)系中，分別以點(diǎn) N 2, 3）, B（3, 4）為圓心，以1、3為半徑作【解析】作。A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)。A',連接BA分別交 和。B于M N,交x軸于P,如圖，則此時(shí)PW PN最小.如圖，。是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，點(diǎn) P是直線y= x + 6上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作。的一條切線PQ Q為切點(diǎn)，則切線長(zhǎng)PQ的最小值為.【解析】: P在直線y= x + 6上，.二設(shè)P坐標(biāo)為（m1 6- m）,連接OQ OP由PQ為圓。的切線，得到PCLOQ在RtzXOP時(shí)，根據(jù)勾月£定理得：oP=pQ+ OQ,. PQ= m2+(6m)2 2 = 2m2 12叫 34=2(* 3)2+16,則當(dāng)m= 3時(shí)，切線長(zhǎng)PQ的最小值為4.如圖，已知平