高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.3圓的方程課件理北師大版

1、9.3圓的方程第九章平面解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)定義平面內(nèi)到 的距離等于 的點(diǎn)的軌跡叫作圓方程標(biāo)準(zhǔn)式(xa)2(yb)2r2(r0)圓心為_半徑為_一般式x2y2dxeyf0充要條件：_ 圓心坐標(biāo)： 半徑r圓的定義與方程圓的定義與方程知識(shí)梳理定點(diǎn)定長(zhǎng)(a，b)rd2e24f01.確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟：(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或d，e，f的方程組.(3)解出a，b，r或d，e，f代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.【知識(shí)拓展】2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種

2、.已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2，點(diǎn)m(x0，y0)(1)點(diǎn)在圓上： ；(2)點(diǎn)在圓外： ；(3)點(diǎn)在圓內(nèi)： .(x0a)2(y0b)2r2(x0a)2(y0b)2r2(x0a)2(y0b)20.()基礎(chǔ)自測(cè)123456(4)方程x22axy20一定表示圓.()(5)若點(diǎn)m(x0，y0)在圓x2y2dxeyf0外，則 dx0ey0f0.()(6)方程(xa)2(yb)2t2(tr)表示圓心為(a，b)，半徑為t的圓.()123456題組二教材改編題組二教材改編2.(2018南昌模擬)以點(diǎn)(3，1)為圓心，并且與直線3x4y0相切的圓的方程是 a.(x3)2(y1)21 b.(x3)2

3、(y1)21c.(x3)2(y1)21 d.(x3)2(y1)21答案1234563.圓c的圓心在x軸上，并且過點(diǎn)a(1,1)和b(1,3)，則圓c的方程為 .解析123456答案(x2)2y210解析解析設(shè)圓心坐標(biāo)為c(a,0)，點(diǎn)a(1,1)和b(1,3)在圓c上，|ca|cb|，圓c的方程為(x2)2y210.題組三易錯(cuò)自糾題組三易錯(cuò)自糾4.若方程x2y2mx2y30表示圓，則m的取值范圍是 解析123456答案5.若點(diǎn)(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 a.1a1 b.0a1或a1 d.a4解析123456答案解析解析點(diǎn)(1,1)在圓內(nèi)，(1a)2(a1)

4、24，即1a0)，又圓與直線4x3y0相切，123456答案圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)21.故選a.題型分類深度剖析典例典例 (1)過點(diǎn)a(4,1)的圓c與直線xy10相切于點(diǎn)b(2，1)，則圓c的方程為 .題型一圓的方程師生共研師生共研解析(x3)2y22答案解析解析方法一由已知kab0，所以ab的中垂線方程為x3.過點(diǎn)b且垂直于直線xy10的直線方程為y1(x2)，即xy30，所以圓c的方程為(x3)2y22.方法二設(shè)圓方程為(xa)2(yb)2r2(r0)，因?yàn)辄c(diǎn)a(4,1)，b(2,1)都在圓上，故所求圓的方程為(x3)2y22.(2)已知圓c經(jīng)過p(2,4)，q(3，1)兩點(diǎn)，

5、且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6，則圓c的方程為 .解析x2y22x4y80或x2y26x8y0答案解析解析設(shè)圓的方程為x2y2dxeyf0(d2e24f0)，又令y0，得x2dxf0. 設(shè)x1，x2是方程的兩根，由|x1x2|6，即(x1x2)24x1x236，得d24f36， 由解得d2，e4，f8或d6，e8，f0.故所求圓的方程為x2y22x4y80或x2y26x8y0.(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.(2)待定系數(shù)法若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于d，e，f的方程組，進(jìn)而求出d，e，f的值.

6、思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 (2017廣東七校聯(lián)考)一個(gè)圓與y軸相切，圓心在直線x3y0上，且在直線yx上截得的弦長(zhǎng)為2 ，則該圓的方程為 .解析x2y26x2y10或x2y26x2y10答案解析解析方法一所求圓的圓心在直線x3y0上，設(shè)所求圓的圓心為(3a，a)，又所求圓與y軸相切，半徑r3|a|，故所求圓的方程為(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即x2y26x2y10或x2y26x2y10.方法二設(shè)所求圓的方程為(xa)2(yb)2r2，由于所求圓與y軸相切，r2a2， 又所求圓的圓心在直線x3y0上，a3b0， 故所求圓的方程為(x3)2(y1)29或(x3)2(y1

7、)29，即x2y26x2y10或x2y26x2y10.方法三設(shè)所求圓的方程為x2y2dxeyf0，在圓的方程中，令x0，得y2eyf0.由于所求圓與y軸相切，0，則e24f.即(de)2562(d2e24f).d3e0.故所求圓的方程為x2y26x2y10或x2y26x2y10.典例典例 已知點(diǎn)(x，y)在圓(x2)2(y3)21上，求xy的最大值和最小值.題型二與圓有關(guān)的最值問題師生共研師生共研解答解解設(shè)txy，則yxt，t可視為直線yxt在y軸上的截距，xy的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)在y軸上的截距.由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于

8、半徑，幾何畫板展示1.在本例的條件下，求 的最大值和最小值.解答引申探究引申探究 的最大值和最小值就是與該圓有公共點(diǎn)的過原點(diǎn)的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的斜率.設(shè)過原點(diǎn)的直線的方程為ykx，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，解答求它的最值可視為求點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(1,2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為求圓心(2，3)到定點(diǎn)(1,2)的距離與半徑的和或差.與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略(1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問題的解法.一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解.(2)與圓上點(diǎn)(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法.形如u 型的最值問題，可轉(zhuǎn)

9、化為過點(diǎn)(a，b)和點(diǎn)(x，y)的直線的斜率的最值問題；形如taxby型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問題；形如(xa)2(yb)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(a，b)的距離的平方的最值問題.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 已知點(diǎn)p(x，y)在圓c：x2y26x6y140上.(1)求 的最大值和最小值；解答解解方程x2y26x6y140可變形為(x3)2(y3)24. 表示圓上的點(diǎn)p與原點(diǎn)連線的斜率，顯然當(dāng)po(o為原點(diǎn))與圓相切時(shí)，斜率最大或最小，如圖所示.設(shè)切線方程為ykx，即kxy0，由圓心c(3,3)到切線的距離等于半徑2，(2)求xy的最大值與最小值.解答解解設(shè)xyb

10、，則b表示動(dòng)直線yxb在y軸上的截距，顯然當(dāng)動(dòng)直線yxb與圓(x3)2(y3)24相切時(shí)，b取得最大值或最小值，如圖所示.由圓心c(3,3)到切線xyb的距離等于圓的半徑2，解答題型三與圓有關(guān)的軌跡問題師生共研師生共研典例典例 (2017濰坊調(diào)研)已知圓x2y24上一定點(diǎn)a(2,0)，b(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，p，q為圓上的動(dòng)點(diǎn).(1)求線段ap中點(diǎn)的軌跡方程；解解設(shè)ap的中點(diǎn)為m(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，p點(diǎn)坐標(biāo)為(2x2,2y).因?yàn)閜點(diǎn)在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故線段ap中點(diǎn)的軌跡方程為(x1)2y21.幾何畫板展示(2)若pbq90，求線段pq中點(diǎn)的軌跡方程.

11、解答解解設(shè)pq的中點(diǎn)為n(x，y)，在rtpbq中，|pn|bn|.設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接on，則onpq，所以|op|2|on|2|pn|2|on|2|bn|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段pq中點(diǎn)的軌跡方程為x2y2xy10.幾何畫板展示求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程.(4)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 (2017河北衡水中學(xué)調(diào)研)已知rtabc的斜邊為ab，且a(1,

12、0)，b(3,0).求：(1)直角頂點(diǎn)c的軌跡方程；解答解解方法一設(shè)c(x，y)，因?yàn)閍，b，c三點(diǎn)不共線，所以y0.因?yàn)閍cbc，所以kackbc1，化簡(jiǎn)得x2y22x30.因此，直角頂點(diǎn)c的軌跡方程為x2y22x30(y0).方法二設(shè)ab的中點(diǎn)為d，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得d(1,0)，由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)c的軌跡是以d(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于a，b，c三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)).所以直角頂點(diǎn)c的軌跡方程為(x1)2y24(y0).(2)直角邊bc的中點(diǎn)m的軌跡方程.解答解解設(shè)m(x，y)，c(x0，y0)，因?yàn)閎(3,0)，m是線段bc的中點(diǎn)，所以x02x3，y02y.由(1

13、)知，點(diǎn)c的軌跡方程為(x1)2y24(y0)，將x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此動(dòng)點(diǎn)m的軌跡方程為(x2)2y21(y0).利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑思想方法思想方法典例典例 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線yx26x1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓c上，求圓c的方程.思想方法指導(dǎo)思想方法指導(dǎo) 本題可采用兩種方法解答，即代數(shù)法和幾何法.(1)一般解法(代數(shù)法)：可以求出曲線yx26x1與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)圓的方程為一般式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解析式.(2)巧妙解法(幾何法)：利用圓的性質(zhì)，知道圓心一定在圓上兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，從而設(shè)圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式，簡(jiǎn)化計(jì)算，

14、顯然幾何法比代數(shù)法的計(jì)算量小，因此平時(shí)訓(xùn)練多采用幾何法解題.思想方法指導(dǎo)規(guī)范解答規(guī)范解答規(guī)范解答解解一般解法(代數(shù)法)曲線yx26x1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，設(shè)圓的方程是x2y2dxeyf0(d2e24f0)，故圓的方程是x2y26x2y10.巧妙解法(幾何法)曲線yx26x1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，所以圓c的方程為(x3)2(y1)29.課時(shí)作業(yè)1.已知點(diǎn)a(4，5)，b(6，1)，則以線段ab為直徑的圓的方程為 a.(x1)2(y3)229b.(x1)2(y3)229c.(x1)2(y3)2116d.(x1)2(y3)2116基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516解析

15、解析由題意可知a(4，5)，b(6，1)，解析答案故以線段ab為直徑的圓的方程是(x1)2(y3)229. 故選b.2.圓心在y軸上，且過點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是 a.x2y210y0 b.x2y210y0c.x2y210 x0 d.x2y210 x0解析答案12345678910111213141516解析解析根據(jù)題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，r)，半徑為r，則32(r1)2r2，解得r5，可得圓的方程為x2y210y0.答案12345678910111213141516解析123456789101112131415164.(2017福建廈門聯(lián)考)若a ，則方程x2y2ax2ay2a2a10表示的圓的個(gè)數(shù)為 a.0 b.1c.2 d.3解析答案12345678910111213141516解析解析方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓的條件為a24a24(2a2a1)0，即3a24a40，b0)對(duì)稱，該直線經(jīng)過圓心(1,3)，即a3b30，a3b3