復(fù)變函數(shù)論第4章第1節(jié)(2)課件

1、第四章第四章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示解析函數(shù)的冪級數(shù)表示 前面兩章我們分別用微分和積分的方法研究前面兩章我們分別用微分和積分的方法研究了解析函數(shù)的性質(zhì)了解析函數(shù)的性質(zhì), , 本章我們將用級數(shù)的方法本章我們將用級數(shù)的方法研究解析函數(shù)的性質(zhì)研究解析函數(shù)的性質(zhì). . 把解析函數(shù)表示為級數(shù)不僅有理論意義把解析函數(shù)表示為級數(shù)不僅有理論意義, , 而且而且有實(shí)際意義，而某些應(yīng)用問題也常常用到級數(shù)有實(shí)際意義，而某些應(yīng)用問題也常常用到級數(shù). . 本章首先介紹復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)本章首先介紹復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù); ; 然后討論復(fù)變函數(shù)然后討論復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)項(xiàng)級數(shù), , 著重討論冪級數(shù)及其收斂性問題；之后著重討論冪級數(shù)及其收斂性問題；

2、之后研究解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)；最后研究解析研究解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)；最后研究解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性和惟一性問題函數(shù)零點(diǎn)的孤立性和惟一性問題. .1 1、復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)、復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)2 2、一致收斂的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、一致收斂的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)1 復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)3、解析函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、解析函數(shù)項(xiàng)級數(shù)對對于于復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)無無窮窮級級數(shù)數(shù) 1nn,21 n定義定義4.14.1)1 . 4(nns 21設(shè)設(shè). )( 部分和部分和ns若復(fù)數(shù)列若復(fù)數(shù)列,s存存在在有有限限極極限限即即,limssnn ,)1 . 4(s收斂于收斂于則稱復(fù)數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)則稱復(fù)數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)為級數(shù)為級數(shù)并稱并稱 s1 1、復(fù)數(shù)項(xiàng)

3、級數(shù)、復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)，的和的和)1 . 4( 1nns，無無極極限限若若復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列), 2 , 1( nsn.)1 . 4(發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)1 . 4定理定理)1 . 4(211 nnn 則稱則稱nnniba 設(shè)設(shè), ), 2 , 1( n，為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)及及nnba的的充充要要條條件件為為：收收斂斂于于則則復(fù)復(fù)級級數(shù)數(shù)ibas )1 . 4(.11babannnn及及分別收斂于分別收斂于及及實(shí)級數(shù)實(shí)級數(shù) 記作記作 n 211111(),nnnnnnnnnaibSaibaabb即111111()limlim()lim,lim= ,nnnkkkkknnkknnkknnnnnnnnznnnnkkaib

4、aibAiBAiBSabiAaBbaabb證明： S由S，即說明說明 1、復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散問、復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散問題題兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散問題兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散問題(定理定理4.1)1111()nnnnnnnnnabaib2、若實(shí)級數(shù)及中至少有一個(gè)發(fā)散，則復(fù)級數(shù)發(fā)散。. )1(1 1的收斂性的收斂性考察級數(shù)考察級數(shù) nnin解解 1 11 nnnna因?yàn)橐驗(yàn)?1121 nnnnb所以原級數(shù)發(fā)散所以原級數(shù)發(fā)散. 例例1 1,發(fā)發(fā)散散,收斂收斂1( 1)() 2nnnin例如收斂。101nnn11111| 1,| 11-q-1)3)0110lim1,(5) lim |a|1,(0).0| 1(6)

5、 lim0.(7) lim| 1!pnnnnpnnknnnnppnqqqpppnnkNaqaqqn一些常用已知斂散性的級數(shù)和數(shù)列：（）、收斂，發(fā)散。（2）、收斂于發(fā)散。（ 、條件收斂，絕對收斂，發(fā)散。（4）、例例 1 112？是否收斂是否收斂級數(shù)級數(shù) nnni解解 1112)1(11nnnnnini.原原級級數(shù)數(shù)仍仍發(fā)發(fā)散散, 1 1發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)因因?yàn)闉?nn,1)1(1收收斂斂雖雖 nnn 11nn 11)1(nnni2 . 4定理定理收收斂斂的的充充要要條條件件為為：復(fù)復(fù)級級數(shù)數(shù))1 . 4(1 nn對任對任,0 給給, )( NN存存在在正正整整數(shù)數(shù)為為時(shí)時(shí)且且使使當(dāng)當(dāng)pNn 任任何

6、何正正整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，有有.|21 pnnn即復(fù)級數(shù)收斂等價(jià)于級數(shù)充分遠(yuǎn)的任意片段充分小。即復(fù)級數(shù)收斂等價(jià)于級數(shù)充分遠(yuǎn)的任意片段充分小。注：注：1n1nnnp、與的斂散性相同,即級數(shù)的斂散性與級數(shù)的前有限項(xiàng)無關(guān)。1n11llim0liim00,m,nnnnnnnnnnn所以復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的是等價(jià)命題：若則級數(shù)發(fā)散。必要條件從而收斂,1 p若若取取.|1 n則則必必有有注注2、111lim0nnnn例如，但發(fā)散.2 . 4定義定義，收收斂斂若若級級數(shù)數(shù) 1|nn稱稱則則原原級級數(shù)數(shù) 1nn為為，非非絕絕對對收收斂斂的的收收斂斂級級數(shù)數(shù) 稱稱為為.條條件件收收斂斂；絕絕對對收收斂斂1nnn1+5)2

7、1+526lim|=lim|) |=lim()02l2im0nnnnnnnii 例如 （發(fā)散。(n0n01n0+66161,lim|) ,q=1,888+661|)88+68nnnnnnnnnnniii（5）例如（5）等比級數(shù)|= （收斂,即級數(shù)（5）絕對收斂。3 . 4定理定理：收收斂斂的的一一個(gè)個(gè)充充分分條條件件為為復(fù)復(fù)級級數(shù)數(shù))1 . 4(1 nn.|1收收斂斂級級數(shù)數(shù) nn注意注意 ,1的的各各項(xiàng)項(xiàng)都都是是非非負(fù)負(fù)的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)由由于于 nn 應(yīng)用正項(xiàng)級數(shù)的審斂法判定其收斂性應(yīng)用正項(xiàng)級數(shù)的審斂法判定其收斂性.所以可所以可（絕對收斂的級數(shù)本身也收斂）（絕對收斂的級數(shù)本身也收斂）11|nnn

8、n即級數(shù)收斂收斂比較法比較法比值法（達(dá)朗貝爾判別法比值法（達(dá)朗貝爾判別法 ）根值法（柯西判別法根值法（柯西判別法 ）limnnnnnuuvlv（或）常用的有常用的有1limnnnuu nnnulimn+1nn1n1|(1)!,lim0,!1|!nnnnnnnn例如級數(shù)絕對收斂。收斂。（ 為任一常復(fù)數(shù)）1111211111(1)22(8 )34(2 )!(67 )1568(12 )（）、nnnnnnnnnnnnniinnnniinii練習(xí)：判別下列復(fù)級數(shù)的斂散性練習(xí)：判別下列復(fù)級數(shù)的斂散性定義定義4.34.3設(shè)設(shè)復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù) )()()(21zfzfzfn，上上有有定定義義的的各

9、各項(xiàng)項(xiàng)均均在在點(diǎn)點(diǎn)集集 E)2 . 4(上存在一上存在一且在且在 E, )(zf個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù), zE 上的每一點(diǎn)上的每一點(diǎn)對于對于均均收收級級數(shù)數(shù))2 . 4(, )(zf斂于斂于的的和和函函數(shù)數(shù)，為為級級數(shù)數(shù)則則稱稱)2 . 4()(zf記作記作1( )( ).nnf zfz2 2、一致收斂的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、一致收斂的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)nnknnkSzfzzESzf z1( )( ).,lim( )( ) 令令：有有點(diǎn)集點(diǎn)集E稱為收斂域稱為收斂域.zENznN0,( , ), 有有nSzf z|( )( )|01| | 1.11( ),111( )lim( )lim11nnnnnnnnzz-zzSz

10、zzS zSzz-z例如在內(nèi)收斂于事實(shí)上，一一般般地地說說，而且依而且依不僅依賴于不僅依賴于上述正整數(shù)上述正整數(shù)N. ),(zNNz ：賴賴于于：無無關(guān)關(guān)有有關(guān)關(guān)而而與與只只與與一一種種重重要要的的情情形形是是zN, )(NN 即所謂即所謂一致收斂性：一致收斂性：稱為點(diǎn)點(diǎn)收斂稱為點(diǎn)點(diǎn)收斂.定義定義4.44.4上上有有一一個(gè)個(gè)如如果果在在點(diǎn)點(diǎn)集集對對于于級級數(shù)數(shù)E, )2 . 4(),(zf函數(shù)函數(shù),0 使對任何給定的使對任何給定的N存在正整數(shù)存在正整數(shù)),(N 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)Nn ,Ez 對對一一切切的的均有均有.| )()(|zSzfn ).()2 . 4(zfE 上一致收斂于上一致收斂于在在

11、則稱級數(shù)則稱級數(shù))2 . 4()()()(21 zfzfzfn2、在、在E上一致收斂上一致收斂 在在E上收斂上收斂注：注：1、收斂是局部概念，不同的、收斂是局部概念，不同的z存在不同的存在不同的N. 一致收斂是整體概念，即總對一個(gè)點(diǎn)集而一致收斂是整體概念，即總對一個(gè)點(diǎn)集而 言，言，N是整個(gè)點(diǎn)集上公用的。是整個(gè)點(diǎn)集上公用的。比比較較 NznNzE0,( , ),收斂：有nSzf z|( )( )| 0,( ),一致收斂：有NznEN3、欲證、欲證nnfz1( )在在E上一致收斂，需對上一致收斂，需對0,|( )( )|,lim0nnnnS zf zQQN 放放掉掉z z解解不不等等式式：其其中中

12、求求出出 。znnnnnnnnnnnnnnnnnzSz+zzzS zSzzzz-zzzzr|SzS zzzzrrr=Nrrzzrr2101( )1,( )lim( )111lim11| | |( )( )| |1|1|1 | |1lim011| |(1) ，其其中中，反反解解不不等等式式，得得 。例例如如在在上上一一致致收收斂斂。這是因?yàn)?。這是因?yàn)閚nnfzEzESzf z001000( ),|()()|.4、欲證在 非一致收斂,需找使 00000000,( ),|( )( )|0,( ),|()()|.一致收斂：有非一致收斂：及有nnNnNzESzf zNnNzESzf z比較：比較： 00

13、00000000001000000000| | 11,| 11|()()| |1(1)()1.1例如在內(nèi)不一致收斂。事實(shí)上，取取z有，但znnnnnnnzznNnN=znzSzf zzznnn00000000,( ),|()()|.非一致收斂：及有nNnNzESzf z5 . 4定理定理)(柯柯西西一一致致收收斂斂準(zhǔn)準(zhǔn)則則充充要要上上一一致致收收斂斂于于某某函函數(shù)數(shù)的的在在點(diǎn)點(diǎn)集集級級數(shù)數(shù)E)2 . 4(:條條件件是是,0 任任給給,)(NN 存存在在正正整整數(shù)數(shù)使使當(dāng)當(dāng),時(shí)時(shí)Nn 均均有有對對一一切切,Ez zfzfpnn | )()(|1.), 2 , 1( p)2 . 4()()()(2

14、1 zfzfzfn充充分分條條件件，可可得得出出一一致致收收斂斂的的一一個(gè)個(gè)由由柯柯西西收收斂斂準(zhǔn)準(zhǔn)則則,即即級數(shù)準(zhǔn)則：級數(shù)準(zhǔn)則：強(qiáng)強(qiáng)優(yōu)優(yōu))(, ), 2, 1( nMn若若有有正正數(shù)數(shù)列列有有使對一切使對一切,Ez |( )|znnfzM放掉), 2, 1( n收斂，收斂，而且正項(xiàng)級數(shù)而且正項(xiàng)級數(shù) 1nnM則復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)則復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù).)(1上上絕絕對對收收斂斂且且一一致致收收斂斂在在集集 Ezfnn 的的稱稱為為復(fù)復(fù)函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù))(11zfMnnnn .優(yōu)級數(shù)優(yōu)級數(shù)(大大M法法)定理定理4.51+1+2+p121+1+2+p1+,|( )( )( )|( )|( )

15、|+,( )EnnnnnnnnpnnpnnnnnMnNMMMzEfzfzfzfzfzMMMfz 證明：已知正項(xiàng)級數(shù)收斂，則0, N,及 pN ，有有由柯西一致收斂準(zhǔn)則知在 一致收斂且絕對收斂。注：注： 優(yōu)級數(shù)準(zhǔn)則是一個(gè)被廣泛應(yīng)用的方法優(yōu)級數(shù)準(zhǔn)則是一個(gè)被廣泛應(yīng)用的方法. . 因?yàn)橐驗(yàn)樗雅袆e復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性轉(zhuǎn)化為它把判別復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性轉(zhuǎn)化為判判別正項(xiàng)級數(shù)的收斂性別正項(xiàng)級數(shù)的收斂性；另外，優(yōu)級數(shù)準(zhǔn)則同時(shí)；另外，優(yōu)級數(shù)準(zhǔn)則同時(shí)還可以判定還可以判定絕對收斂性絕對收斂性. .2例例級數(shù)級數(shù) nzzz21rz |在在閉閉圓圓.)1(上一致收斂上一致收斂 r.0 nnr優(yōu)級數(shù)優(yōu)級數(shù)因?yàn)樯鲜?/p>

16、級數(shù)有收斂的因?yàn)樯鲜黾墧?shù)有收斂的( ),|( )| | |,znnnnnnfzzfzzzr放掉即而正項(xiàng)級數(shù)而正項(xiàng)級數(shù)0nnr收斂。從而收斂。從而0nnz一致收斂。一致收斂。例如例如nnnn zn1!sin( |)在在z平面上一致收斂。平面上一致收斂。znnnnnnnnnnnnnnfzn znnnnnunnnunenn111!|( )| |sin( | |)|,!(1)!11(1)lim1!1(1)(1)放掉這是因?yàn)槎鴮?shí)正項(xiàng)級數(shù)收斂.（=(）下述兩個(gè)定理和數(shù)學(xué)分析中相應(yīng)的定理平行下述兩個(gè)定理和數(shù)學(xué)分析中相應(yīng)的定理平行. .6 . 4定理定理,)(1上連續(xù)上連續(xù)的各項(xiàng)在點(diǎn)集的各項(xiàng)在點(diǎn)集設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù)

17、Ezfnn , )(zf并且一致收斂于并且一致收斂于則和函數(shù)則和函數(shù)1( )( )nnf zfz.上上連連續(xù)續(xù)也也在在 E每個(gè)每個(gè) 在點(diǎn)集在點(diǎn)集E上連續(xù)上連續(xù),( )nfz即即1( )= ( )nnfzf z在在E上一致收斂于上一致收斂于f (z)在在E上連續(xù)上連續(xù)000000111,lim( )(),lim( )()lim( )zznnnzzzznnnzEf zf zfzfzfz即即有有（在一致收斂的條件下，（在一致收斂的條件下，zzn01lim 與與可可交交次次序序）7 . 4定理定理,)(1上上連連續(xù)續(xù)的的各各項(xiàng)項(xiàng)在在曲曲線線設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)Czfnn , )(zfC 上上一一致致收收斂斂于

18、于且且在在可可以以逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分：則則沿沿 C并并11( )( )( ).()nnCCCnnCf z dzfz dzfz dz 即與在一致收斂的條件下可交換次序)2 . 4()()()()(211 zfzfzfzfnnn內(nèi)，內(nèi)，定義于區(qū)域定義于區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)Dnzfn), 2, 1()( ,)2 . 4(收收斂斂內(nèi)內(nèi)任任一一有有界界閉閉集集上上一一致致在在若若級級數(shù)數(shù)D則稱則稱內(nèi)內(nèi)此此級級數(shù)數(shù)在在 D.內(nèi)閉一致收斂內(nèi)閉一致收斂定義定義4.54.5D8 . 4定理定理內(nèi)內(nèi)閉閉一一致致收收斂斂在在圓圓級級數(shù)數(shù)RazK |:|)2 . 4(的的充充要要條條件件為為：,R 只只要要對對任任意意正正

19、數(shù)數(shù))2 . 4(級級數(shù)數(shù).|:|上上一一致致收收斂斂在在閉閉圓圓azK KK證證必要性必要性.內(nèi)內(nèi)的的有有界界閉閉集集就就是是因因?yàn)闉镵K 充分性充分性在在閉閉圓圓級級數(shù)數(shù)已已知知對對任任意意)2 . 4(,R 上上一一致致收收斂斂， |:|azK內(nèi)內(nèi)任任意意有有界界閉閉集集，而而圓圓 K,上上都可包含在某個(gè)都可包含在某個(gè) K.|:|)2 . 4(內(nèi)內(nèi)閉閉一一致致收收斂斂在在從從而而級級數(shù)數(shù)RazK KK例如，例如， 幾何級數(shù)幾何級數(shù) nzzz21,1|時(shí)此級數(shù)收斂時(shí)此級數(shù)收斂當(dāng)當(dāng) z.但不一致收斂但不一致收斂,2知知而由例而由例| 1.z 及定理4.8知它在單位圓內(nèi)是內(nèi)閉一致收斂,顯然顯然內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)閉閉內(nèi)內(nèi)一一致致收收斂斂的的級級數(shù)數(shù)必必在在在在區(qū)區(qū)域域DD,一致收斂一致收斂.但其逆不成立但其逆不成立3 3、解析函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、解析函數(shù)項(xiàng)級數(shù)解析函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的解析函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的魏爾斯特拉斯定理魏爾斯特拉斯定理.9 . 4定理定理設(shè)設(shè))1(；內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域函函數(shù)數(shù)Dnzfn), 2, 1()( )2(:)()(1zfDzfnn內(nèi)內(nèi)閉一致收斂于函數(shù)內(nèi)內(nèi)閉一致收斂于函數(shù)在在 1)()(nnzfzf則則)1(;)(內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域函