食譜設(shè)計(jì)與優(yōu)化問(wèn)題

1、食譜設(shè)計(jì)與優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)總說(shuō)明（摘要）每個(gè)人都希望一日三餐的食物能夠既有營(yíng)養(yǎng)又價(jià)格合理。所以我們?cè)诜?析食物的營(yíng)養(yǎng)成分，選擇不同食物的組合作為食譜的一般想法是，以最小的 費(fèi)用來(lái)滿足對(duì)基本營(yíng)養(yǎng)的需求。所以我們必須從營(yíng)養(yǎng)學(xué)家那里知道什么才是 基本營(yíng)養(yǎng)要素需求（可能因人而異）。另外，我們?cè)谶x擇食物的時(shí)候，為了 保持食物種類的多樣性避免對(duì)單一營(yíng)養(yǎng)食物的厭倦，生活中我們應(yīng)該考慮一 個(gè)很長(zhǎng)的可供選擇食物的名單。根據(jù)營(yíng)養(yǎng)學(xué)家的建議，一個(gè)人每天對(duì)蛋白質(zhì)、維生素A、鈣和碳水化合 物的需求如下，50g蛋白質(zhì),400011（國(guó)際單位）維生素A、lOOOmg鈣和1050g 碳水化合物?，F(xiàn)在提供蘋(píng)果，香蕉，紅棗，雞蛋和胡

2、蘿卜5種日常食物的營(yíng) 養(yǎng)成分表，我們便可通過(guò)線型規(guī)劃建立模型并用計(jì)算機(jī)求解出我們對(duì)營(yíng)養(yǎng)的 攝取最佳的飲食搭配數(shù)量和最少的花費(fèi)，設(shè)計(jì)出最優(yōu)的食譜搭配方案。關(guān)鍵詞：運(yùn)籌學(xué)，線性規(guī)劃，基本營(yíng)養(yǎng)需求，最少花費(fèi)，合理搭配目錄1問(wèn)題：食物設(shè)計(jì)與優(yōu)化問(wèn)題3緒論 3研究的背景3研究的主要內(nèi)容與目的3研究的意義4研究的主要方法和思路 4理論方法的選擇 5所研究問(wèn)題的特點(diǎn)5擬釆用的運(yùn)籌學(xué)理論方法的特點(diǎn)5模型的建立 6基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的建立6變量的設(shè)定7目標(biāo)函數(shù)的建立7限制條件的確定7模型的建立8模型的求解及解的分析8模型的求解8模型的分析與評(píng)價(jià)10結(jié)論與建議11研究結(jié)論11建議與對(duì)策112參考文獻(xiàn)113致謝154附錄11

3、1問(wèn)題：食譜設(shè)計(jì)與優(yōu)化問(wèn)題緒論1.1.1研究的背景健康問(wèn)題已經(jīng)成為當(dāng)前人們最關(guān)心的問(wèn)題之一，在當(dāng)今普遍具有健康意識(shí)的 時(shí)代，每個(gè)人都希望每天能夠有合理的飲食習(xí)慣，希望所吃的食物能夠既不單調(diào), 而且還要充滿營(yíng)養(yǎng)，價(jià)格合理。所以我們?cè)诜治鍪澄锏臓I(yíng)養(yǎng)成分，選擇不同食物 的組合作為食譜的一般想法是，以最小的費(fèi)用來(lái)滿足對(duì)基本營(yíng)養(yǎng)的需求。所以我 們必須從營(yíng)養(yǎng)學(xué)家那里知道什么才是基本營(yíng)養(yǎng)需求（可能因人而異）。另外，我 們?cè)谶x擇食物的時(shí)候，為了保持食物種類的多樣性避免對(duì)單一營(yíng)養(yǎng)食物的厭倦， 生活中我們應(yīng)該考慮一個(gè)很長(zhǎng)的可供選擇食物的名單。按營(yíng)養(yǎng)學(xué)家的建議，一個(gè)人一天對(duì)蛋白質(zhì)、各類維生素、鈣，鐵，鋅等微量 元素

4、和碳水化合物等等各種身體必需營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)的需求都有一定的需求量。我們需 要考慮我們每天所吃食物營(yíng)養(yǎng)的構(gòu)成，如何搭配生活中的食物數(shù)量而使我們每天 所需求的營(yíng)養(yǎng)數(shù)達(dá)到健康的需求標(biāo)準(zhǔn)，而且所需要的花費(fèi)是最少的呢，這便是一 個(gè)值得我們?nèi)パ芯康膯?wèn)題，這種研究對(duì)我們自身的健康有著重要的作用。1. 1.2研究的主要內(nèi)容與目的現(xiàn)在有資料表明一個(gè)人一天對(duì)蛋白質(zhì)、維生素A、鈣和碳水化合物的需求如 下，50g蛋白質(zhì)，400011；（國(guó)際單位）維生素A、lOOOmg鈣和1050g碳水化合物。 現(xiàn)在提供4種食物構(gòu)成的食譜：生的帶皮蘋(píng)果.香蕉、生的胡蘿卜。切碎的去核 的棗和新鮮的生雞蛋。并且我們已知這4種食物中蛋白質(zhì)，維生素

5、A,鈣和水化 合物的含量。如何對(duì)以上5種食物進(jìn)行搭配，確定每種食物的用量，以最小費(fèi)用滿足推薦 的每日定額，從而達(dá)到最佳的食譜優(yōu)化。1. 1.3研究的意義能夠使我們對(duì)每天生活中所需求的最少量營(yíng)養(yǎng)成分得到滿足，讓我們每天都 能合理飲食，從而保持身體的營(yíng)養(yǎng)和健康。同時(shí)也可以讓我們利用最少的花費(fèi)從 而得到最佳的飲食搭配，既有營(yíng)養(yǎng)又便宜。1. 1. 4研究的主要方法和思路 研究的主要方法：利用線性規(guī)劃理論解決實(shí)際問(wèn)題，所謂線性規(guī)劃，是求線性函數(shù)在線性（不 等式或等式）約束下達(dá)最（小或大）值的問(wèn)題。線性規(guī)劃廣泛應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)、軍事、 交通運(yùn)輸、決策管理與規(guī)劃、科學(xué)實(shí)驗(yàn)等領(lǐng)域。%線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類

6、問(wèn)題中得到應(yīng)用，一是在人力、物力、資 金等資源一定的條件下，如何使用它們來(lái)完成最多的任務(wù)；二是給定一項(xiàng)任務(wù)， 如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來(lái)完成該項(xiàng)任務(wù)。常 見(jiàn)的問(wèn)題在：物資調(diào)運(yùn)問(wèn)題、產(chǎn)品安排問(wèn)題、下料問(wèn)題。思路：利用所搜集的數(shù)據(jù)建立模型，寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)和線性約束條件，再利用計(jì)算機(jī) 軟件LINDO求解。理論方法的選擇1.2. 1所研究問(wèn)題的特點(diǎn)1. 這一個(gè)問(wèn)題是一組非負(fù)的未知變量構(gòu)成的；2. 有一個(gè)欲求的目標(biāo)，這個(gè)目標(biāo)是一組未知變量的線性函數(shù)，要求實(shí)現(xiàn)目標(biāo)問(wèn) 題的最小值(MIN),而且未知變量為非負(fù)數(shù)；3. 存在一定的約束限制條件，該約束限制條件是由一組線性不等式組成的；

7、4. 題目中可以提出隱含假設(shè)條件。1.2.2擬采用的運(yùn)籌學(xué)理論方法的特點(diǎn)線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個(gè)重要分 支它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法在經(jīng)濟(jì)管理、交通運(yùn)輸、工農(nóng)業(yè) 生產(chǎn)等經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，提高經(jīng)濟(jì)效果是人們不可缺少的要求，而提高經(jīng)濟(jì)效果一般 通過(guò)兩種途徑：一是技術(shù)方面的改進(jìn)，例如改善生產(chǎn)工藝，使用新設(shè)備和新型原 材料本題目采用的是第二種：對(duì)生產(chǎn)組織與計(jì)劃的改進(jìn)，即合理安排人力物力 資源線性規(guī)劃所研究的是：在一定條件下，合理安排人力物力等資源，如何能 夠使經(jīng)濟(jì)效果達(dá)到最好。1. 2. 3理論方法的適用性及有效性論證最近50多年來(lái)，線性規(guī)劃無(wú)論是在深度還

8、是在廣度方面都取得了巨大進(jìn)展。 例如，橢球方法、Karmarkar方法和內(nèi)點(diǎn)法等。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)日新月異不斷發(fā) 展，使成千上萬(wàn)個(gè)約束條件和決策變量的線性規(guī)劃問(wèn)題能夠迅速的求解，更為線 性規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)等各個(gè)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用提供了極其有利的條件o在經(jīng)濟(jì)管理和實(shí)際 問(wèn)題中大量的問(wèn)題是線性的，有的可以轉(zhuǎn)化成線性的，從而是線性規(guī)劃有了極大 的應(yīng)用價(jià)值。線性規(guī)劃已經(jīng)成為現(xiàn)代化管理的一個(gè)重要手段。仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是線性規(guī)劃問(wèn)題，解決此問(wèn)題的關(guān)鍵就是找到問(wèn)題 中隱含的約束條件，即滿足每天的基本營(yíng)養(yǎng)需求。另外，模型的求解是有關(guān)一 個(gè)最優(yōu)解的問(wèn)題，找出問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)，即在滿足基本營(yíng)養(yǎng)需求的前提下，使花 費(fèi)在食物

9、上的費(fèi)用最小。并利用線型規(guī)劃來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。I而在解決該食譜搭配問(wèn)題的同時(shí)也需要一定的模型假設(shè)。為了討論問(wèn)題方 便，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行一些簡(jiǎn)化，我們應(yīng)該做岀如下假設(shè)：（1）假定食物都是新鮮而且營(yíng)養(yǎng)成分充足的，避免了同一種食物之間營(yíng)養(yǎng)含量 的差別。（2）對(duì)營(yíng)養(yǎng)的需求可以適量過(guò)剩，而不可以不足。（3）根據(jù)實(shí)際情況，變量的求解盡量取整數(shù)。模型的建立1.3. 1基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的建立一個(gè)人一天對(duì)蛋白質(zhì)、維生素A、鈣和碳水化合物的需求如下，50g蛋白質(zhì), 4000IU （國(guó)際單位）維生素A、lOOOmg鈣和1050g碳水化合物。5種食物的營(yíng)養(yǎng)成分表如下:食物單位蛋白質(zhì)/g維生素A/IC鈣/m窩碳水化合物/g價(jià)格/元蘋(píng)果

10、中等大小一個(gè)（138g）7301香蕉中等大小一個(gè)（118g）96026紅棗一盒(178g)890571036雞蛋中等大小一個(gè)（44g）2792206胡蘿卜中等大小一個(gè)（72g）2025191.3.2變量的設(shè)定設(shè)變量xl, x2, x3, x4, x5均為決策變量。其中：xl為蘋(píng)果每天的需求個(gè)數(shù)；x2為香蕉每天的需求個(gè)數(shù)；x3為紅棗每天的需求盒數(shù)；x4為雞蛋每天的需求個(gè)數(shù)；x5為胡蘿卜每天的需求個(gè)數(shù)。1. 3. 3目標(biāo)函數(shù)的建立我們?cè)O(shè)每日對(duì)五種食物的需求個(gè)數(shù)分別為X1,X2,X3,X4,X5,并且5種食物的價(jià) 格也為已知，所以確定目標(biāo)函數(shù)：minZ=lXl+6X3+1.3.4限制條件的確定由于4

11、種營(yíng)養(yǎng)要素的日需求最小量給出，同時(shí)5種食物的需求量必定為非負(fù) 數(shù)，得目標(biāo)函數(shù)的約束條為：+卄 $50730x1+960x2+890x3+279x4+2025x524000+57x3+220x4+19x51000+26x2+103x3+6x4+21050Xl>0X2>0X3>0X4>0X5>01.3.5模型的建立 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和限制條件，建立模型為：廠 MinZ=lxl+6x3+ (+N50J730x1+960x2+890x3+279x4+2025x54000|+57x3+220x4+19x51000匸+26x2+103x3+6x4+21050ST Xl>0X

12、2>0X3>0* X4>0X5>0<模型的求解及解的分析1.4.1模型的求解LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4OBJECTIVE FUNCTION VALUE1)VARIABLEVALUEREDUCED COSTXIX2X3X4X5ROW SLACK OR SURPLUSDUAL PRICES2)3)4)5)6)7)8)9)10)NO. ITERATIONS二RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED：OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLEC

13、OEFINCREASEDECREASEXIINFINITYX2X3X4X5INFINITYRIGHTHAND SIDE RANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERUSINCREASEDECREASE23INFINITY456INFINITY7INFINITY8INFINITY9INFINITY10INFINITY最優(yōu)解為:xl= x2=x3=x4=x5=1.4.2模型的分析與評(píng)價(jià)規(guī)劃的最優(yōu)解為元，所表示的含義就是為了滿足我們每天對(duì)4種營(yíng)養(yǎng)的最低 需求，我們每天最少的花費(fèi)就是元。而根據(jù)現(xiàn)實(shí)情況來(lái)說(shuō)，所得出的5個(gè)解都是 小數(shù)，這樣的話在現(xiàn)實(shí)中比較不實(shí)際，所以應(yīng)該把解取為

14、整數(shù)，所以當(dāng)我們每人 每天吃6個(gè)香蕉，8盒紅棗，2個(gè)雞蛋的時(shí)候，滿足了我們每天日常生活所需要 的最基本的營(yíng)養(yǎng)要素，而且所花費(fèi)的資金數(shù)是最少的，使我們能夠花費(fèi)最少的錢(qián) 而獲得保持身體健康每日對(duì)營(yíng)養(yǎng)的需求。靈敏度分析：RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED：OBJ COEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEXIINFINITYX2X3X4X5INFINITYRIGHTHAND SIDE RANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSIN

15、CREASEDECREASE23INFINITY456INFINITY7INFINITY8INFINITY9INFINITY10INFINITY結(jié)論與建議1.5. 1研究結(jié)論通過(guò)此次課程設(shè)計(jì)的題目，我們得出結(jié)論當(dāng)我們每人每天吃6個(gè)香蕉，8盒 紅棗，2個(gè)雞蛋的時(shí)候，以最小費(fèi)用滿足推薦的每日 定額，從而達(dá)到最佳的 食譜優(yōu)化，且最少的費(fèi)用為元。通過(guò)以上數(shù)據(jù)表明整個(gè)設(shè)計(jì)研究工作符合實(shí)際情 況，最終得到總體結(jié)論和主要成果，使得提岀的問(wèn)題得到了較好的解決。本次課程設(shè)計(jì)研究為我們提供了一份花費(fèi)最少費(fèi)用獲得最基本必需營(yíng)養(yǎng)的 食物搭配方案。為我們以后針對(duì)自身的健康狀況。合理的選擇食物搭配從而為了 保持每日身體營(yíng)養(yǎng)需求提供了一個(gè)很好的例子，這樣既能花費(fèi)降到最低，而且能 夠在對(duì)食物攝取上更加符合營(yíng)養(yǎng)需求標(biāo)準(zhǔn)。1.5.2建議與