2021年高中數(shù)學(xué)人教版必修第一冊：5.3《誘導(dǎo)公式》精品教案

1、 5.3 5.3 誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式 本節(jié)課選自普通高中課程標準數(shù)學(xué)教科書-必修第一冊一 （人教 A 版）第五章三角函數(shù)，本節(jié)課是第 5 課時。本節(jié)主要是推導(dǎo)誘導(dǎo)公式二、三、四、五、六,并利用它們解決一些求值、化簡、證明三角恒等式。 本小節(jié)介紹的五組誘導(dǎo)公式在內(nèi)容上既是公式一的延續(xù),又是后繼學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ),它們與公式一組成的六組誘導(dǎo)公式,用于解決求任意角的三角函數(shù)值的問題以及有關(guān)三角函數(shù)的化簡、 證明等問題。 在誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)中,化歸思想貫穿始末,這一典型的數(shù)學(xué)思想,無論在本節(jié)中的分析導(dǎo)入,還是利用誘導(dǎo)公式將求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值,均清晰地得到體現(xiàn),在教學(xué)中注意數(shù)學(xué)思想滲透

2、于知識的傳授之中,讓學(xué)生了解化歸思想,形成初步的化歸意識特別是在本課時的三個轉(zhuǎn)化問題引入后,為什么確定 180+a 角為第一研究對象,a 角為第二研究對象,正是化歸思想的運用。 課本例題實際上是誘導(dǎo)公式的綜合運用,難點在于需要把所求的角看成是一個整體的任意角,學(xué)生第一次接觸到此題型,思維上有困難,要多加引導(dǎo)分析,另外,誘導(dǎo)公式中角度制亦可轉(zhuǎn)化為弧度制,但必須注意同一個公式中只能采取一種制度,因此要加強角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化的練習(xí)。 課程目標課程目標 學(xué)科素養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng) A.借助單位圓，推導(dǎo)出正弦、余弦和正切的誘導(dǎo)公式 B.能正確運用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，并解決有關(guān)三角函數(shù)求

3、值、化簡和恒等式證明問題； C.了解未知到已知、復(fù)雜到簡單的轉(zhuǎn)化過程，培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想。 1.數(shù)學(xué)抽象：利用單位圓找不同角的關(guān)系； 2.邏輯推理：誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)； 3.數(shù)學(xué)運算： 有關(guān)三角函數(shù)求值、 化簡和恒等式證明問題。 1.教學(xué)重點：誘導(dǎo)公式的記憶、理解、運用； 2.教學(xué)難點：誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)、記憶及符號的判斷。 多媒體 教學(xué)過程 教學(xué)設(shè)計意圖 核心素養(yǎng)目標 一、復(fù)習(xí)回顧，溫故知新 1. 任意角三角函數(shù)的定義 【答案】設(shè)角，是一個任意角，R它的終邊與單位圓交于點),(Pyx。 那么（1）;sin,sinyy即的正弦函數(shù)。記作叫做 （2）;cos,cosxx即的余弦函數(shù)。記作叫做 ;tan,

4、tanxyxy即的正切。記作叫做 2.誘導(dǎo)公式一 tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk，其中，zk。 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等 二、探索新知 思考 1： （1）.終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有什么關(guān)系? 【答案】相等 （2）.角 -與的終邊 有何位置關(guān)系? 【答案】終邊關(guān)于 x 軸對稱 （3）.角與的終邊 有何位置關(guān)系? 【答案】終邊關(guān)于 y 軸對稱 通過復(fù)習(xí)上節(jié)所學(xué)任意角三角函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式一，引入本節(jié)新課。建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。 通過思考讓學(xué)生了解角終邊之間的關(guān)系，為推導(dǎo)誘導(dǎo)公式作鋪墊，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力。 （4

5、）.角與的終邊 有何位置關(guān)系? 【答案】終邊關(guān)于原點對稱 思考 2： 已知任意角的終邊與單位圓相交于點 P(x, y),請同學(xué)們思考回答點 P 關(guān)于原點、x 軸、y 軸對稱的三個點的坐標是什么? 【答案】點 P(x, y)關(guān)于原點對稱點 P1(-x, -y) 點 P(x, y)關(guān)于 x 軸對稱點 P2(x, -y) 點 P(x, y)關(guān)于 y 軸對稱點 P3(-x, y) 探究一 如圖， 角的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？ 角 + 與角 的終邊關(guān)于原點O對稱， xyxytan,cos,sin， xyxyxy)tan(,)cos(,)sin( （公式二） sin( + ) = sin

6、， cos( + ) = cos ， tan( + ) = tan 。 探 究 二 角與的 三 角 函 數(shù) 值 之 間 有 什 么 關(guān) 系 通過探究，由圖形觀察角的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系，進而得到誘導(dǎo)公式二，提高學(xué)生分析問題、概括能力。 通過探究，由圖形觀察角的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系， 角 與角 的終邊關(guān)于x軸對稱，有xyxytan,cos,sin。xyxyxy)tan(,)cos(,)sin(。 （公式三） sin() = sin ， cos() = cos ， tan() = tan 。 探究三 根據(jù)上兩組公式的推導(dǎo)，你能否推導(dǎo)出角與角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系

7、？ 角與 角的 終 邊 關(guān) 于y軸 對 稱 ， 故 有xyxytan,cos,sin xyxyxy)tan(,)cos(,)sin( 所以，（公式二） 進而得到誘導(dǎo)公式三，提高學(xué)生分析問題、概括能力。 通過探究，由圖形觀察角的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系，進而得到誘導(dǎo)公式三，提高學(xué)生分析問題、概括能力。 sin( - ) = sin ， cos( - ) = cos ， tan( - ) = -tan 。 思考 3：這四個誘導(dǎo)公式有什么規(guī)律？ ，)(2Zkk的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號 總結(jié)為一句話：函數(shù)名不變，符號看象限。 例 1.求下列三

8、角函數(shù)值 (1)cos225 ;(2)sin38;(3)sin(316);(4)tan(-2 040 ). 活動活動:這是直接運用公式的題目類型,讓學(xué)生熟悉公式,通過練習(xí)加深印象,逐步達到熟練、 正確地應(yīng)用.讓學(xué)生觀察題目中的角的范圍,對照公式找出哪個公式適合解決這個問題. 解：解：(1)cos225 =cos(180 +45 )=-cos45 =22; (2)sin38=sin(232)=sin32=sin)3(=sin3=23; (3)sin(316)=-sin316=-sin(5+3) =-(-sin3)=23; (4)tan(-2 040 )=-tan2 040 =-tan(6 360

9、 -120 ) =tan120 =tan(180 -60 ) =-tan60 =3. 通過思考，尋找這四個誘導(dǎo)公式的共同規(guī)律，提高學(xué)生分析問題、概括能力。 通過例題練習(xí)誘導(dǎo)公式，進一步理解誘導(dǎo)公式的作用，提高學(xué)生解決問題的能力。 思考 4：通過例題，你對誘導(dǎo)公式一、二、三、四有什么進一步的認識？你能歸納任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)的步驟嗎？ 利用公式一四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù),一般可按下列步驟進行: 上述步驟體現(xiàn)了由未知轉(zhuǎn)化為已知的轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法. 例 2.化簡：)180cos()180tan()360sin()180cos( 解析見教材 探究四 作 P（x,y)關(guān)于

10、直線xy 的對稱點 P1,以 OP1為終邊的角與角有什么關(guān)系？角與角的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？ )(),2(2Zkk， ),(P1xy， 公式五 sin()cos ,2cos()sin,2 探究五：作點 P（x,y)關(guān)于 y 軸的對稱點 P5，又能得到什么結(jié)論？ 軸對稱的終邊關(guān)于與角角y2。 通過思考總結(jié)用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟，提高學(xué)生解決問題的能力。 通過探究，由圖形觀察角2和角2的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間有什么關(guān) ）（yx,P5， 公式六 sin()cos ,2cos()sin2 思考 5：你能概括一下公式五、六的共同特點和規(guī)律嗎？ 【答案】 2的正弦(余弦)函數(shù)值,分別

11、等于的 余弦(正弦)函數(shù)值,前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號. 思考 6：誘導(dǎo)公式可統(tǒng)一為)( ,2Zkk的三角函數(shù)與的三角函數(shù)之間的關(guān)系，你有什么辦法記住這些公式？ 【答案】口訣：奇變偶不變，符號看象限 口訣的意義： 212kkZkk（）的三角函數(shù)值）當(dāng) 為偶數(shù)時，等于 的同名三角函數(shù)值，前面加上一個把 看作銳角時原三角函數(shù)值的符號；）當(dāng) 為奇數(shù)時，等于 的異名三角函數(shù)值，前面加上一個把 看作銳角時原三角函數(shù)值的符號； 例3. 證明： sin)23cos()2( ;cos)23sin(.1）（。 解析見教材 例 4 化簡 11sin 2coscoscos229cossin 3sinsi

12、n2 解析見教材 系，進而得到誘導(dǎo)公式五、六，提高學(xué)生分析問題、概括能力。 通過思考，尋找誘導(dǎo)公式的共同規(guī)律，提高學(xué)生分析問題、概括能力。 通過例題的講解，讓學(xué)生進一步理解用誘導(dǎo)公式化簡三角 例5 已 知51)53sin(， 且90270 ， 求)37sin(的值。 解析見教材 函數(shù)關(guān)系式、求任意角的三角函數(shù)值，提高學(xué)生解決與分析問題的能力。 三、達標檢測 1下列各式不正確的是( ) Asin(180)sin Bcos()cos() Csin(360)sin Dcos()cos() 【解析】 cos()cos()cos()， 故 B 項錯誤 【答案】 B 2sin 600的值為( ) A12

13、B12 C32 D32 【解析】 sin 600sin(720120)sin 120 sin(18060)sin 6032.故選 D 【答案】 D 3cos 1 030( ) Acos 50 Bcos 50 Csin 50 Dsin 50 【解析】 cos 1 030cos(336050) cos(50)cos 50. 【答案】 A 4若 sin2 0，則 是( ) A第一象限角 B第二象限角 通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的應(yīng)用意識。 C第三角限角 D第四象限角 【解析】 由于 sin2 cos 0，所以角 的終邊落在第二象限，故選 B 【

14、答案】 B 5已知 sin 611，求 cos112 sin(3)的值. 【解】 sin 611， cos112 cos62 cos2 cos2 sin 611， cos112 sin(3)611sin() 611sin 1211. 四、小結(jié) 1. 誘導(dǎo)公式； 2.誘導(dǎo)公式的記憶； 3.利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值的步驟。 五、作業(yè) 習(xí)題 5.3 4,6 題 通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力。 對本節(jié)內(nèi)容在進行教學(xué)設(shè)計之前,本人反復(fù)閱讀了課程標準和教材,針對教材的內(nèi)容,精心編排了導(dǎo)學(xué)精要,讓學(xué)生親歷知識發(fā)生、發(fā)展的過程,積極投入到思維活動中來,通過與學(xué)生的互動交流,關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展,在逐漸展開中,引導(dǎo)學(xué)生用己學(xué)的知識、 方法予以解決,并獲得知識體系的更新與拓展,收到了一定的預(yù)期效果,尤其是練習(xí)的處理,讓學(xué)生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動,感受“觀察一歸納一概括一一應(yīng)用”等環(huán)節(jié),在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維,逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力,充分發(fā)