求雙曲線標準方程的技巧

1、；求雙曲線標準方程的技巧在求雙曲線標準方程時，如果能根據(jù)已知條件設出方程的合理形式，可以簡化運算，優(yōu)化解題過程。下面結合例題介紹求雙曲線標準方程的方法。一 雙曲線的一般方程例1 求經(jīng)過點,的雙曲線標準方程。分析 雙曲線的標準方程有兩種形式：（，）或（，），可以討論解決。也可以應用下面的方法解決。解設雙曲線方程為（）。因為所求雙曲線經(jīng)過點,，所以解得，。故所求雙曲線方程為。說明求雙曲線標準方程一般用待定系數(shù)法，當雙曲線的焦點位置不確定時，為了避免討論焦點的位置，一般設雙曲線方程為（），這樣可以簡化運算。二 等軸雙曲線例等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與直線交于兩點、，且。求此等軸雙曲線的方程

2、。分析根據(jù)等軸雙曲線的特點，可以設含有一個參數(shù)的方程（），求出即可。解設等軸雙曲線方程為（）。由解得交點、的坐標分別為、。因為，所以。故所求雙曲線方程為。說明等軸雙曲線是一類特殊的雙曲線，它有一些特殊的性質(zhì)，比如：離心率，漸近線方程為且互相垂直等等。三 共焦點雙曲線例已知過點，且與雙曲線有共同焦點的雙曲線的標準方程。分析根據(jù)雙曲線焦點與、的關系，有共同焦點的雙曲線方程可設為（16），求出即可。解 設雙曲線方程為（16），將代入，得。故所求雙曲線方程為。說明與雙曲線共焦點的雙曲線方程可設為（）。根據(jù)橢圓與雙曲線的關系，與橢圓共焦點的雙曲線方程可設為（），請注意它們的區(qū)別。四 共漸近線雙曲線例4

3、求經(jīng)過點，且與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程。分析因為雙曲線的兩條漸近線方程為雙曲線，因此與它共漸近線的雙曲線方程可表示為雙曲線（）。解設雙曲線方程為（），因為雙曲線經(jīng)過點，所以。故所求雙曲線方程為，即。說明求共漸近線的雙曲線方程也可以討論焦點分別在兩條坐標軸上的情況，以上解法避免了討論過程，使解題更合理。另外，以已知雙曲線的實軸為虛軸、虛軸為實軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線。顯然共軛雙曲線有相同的漸近線，因此求共軛雙曲線方程時可以采用這個方法。五 同離心率的雙曲線例5 求經(jīng)過點，且與雙曲線的離心率相同的雙曲線的標準方程。分析 因為一條雙曲線和雙曲線（0，0）離心率相同，那么它的焦點可能在

4、軸上，也可能在軸上。若焦點在軸上，它的方程可設為（0，0，）；若焦點在軸上，它的方程可設為（0，0，）。解 （1）當所求雙曲線的焦點在軸上時，它的方程可設為（），將代入，得。此時所求雙曲線的標準方程為。（）當所求雙曲線的焦點在軸上時，它的方程可設為（），將代入，得（舍去）。故所求雙曲線的標準方程為。說明已知同離心率與相同漸近線求雙曲線方程的方法類似，請你比較它們的區(qū)別。六 已知雙曲線漸近線的雙曲線例求一條漸近線方程為，一個焦點是的雙曲線方程。分析由，得，因此借助與共漸近線方程問題的方法，設所求雙曲線方程為（），求出即可。解根據(jù)題意，可設所求雙曲線方程為（）。又因為焦點在軸上，所以。因為，所以16，解得。故所求雙曲線方程為。說明漸近線方程為±或±的雙曲線方程可設為（），然后確定