函數(shù)的單調(diào)性(葉小飛版本課件

1、1.3.1函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的基本性質(zhì)思考1：觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象，并說說它觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律二、新知探究二、新知探究解析法圖像法通俗語言：在區(qū)間（0，+）上， 隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)也隨著增大。數(shù)學(xué)語言：在區(qū)間（0，+）上， 任取 ，得 當(dāng) 時(shí)，有 。這時(shí)我們就說函數(shù) 在區(qū)間（0，+）上是增函數(shù)21,xx,)(,)(222211xxfxxf21xx )()(21xfxf2)(xxfx 01 2 3 4f(x) 01 4 9 16 列表法如何描述函數(shù)圖像的“上升”“下降”呢？0yx1x2f(x2

2、)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)圖圖象象 y=f(x) y=f(x)圖象圖象特征特征數(shù)量數(shù)量特征特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)圖圖象象 y=f(x) y=f(x)圖象圖象特征特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象上升數(shù)量數(shù)量特征特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)圖圖象象 y=f(x) y=f(x)圖象圖象特征特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象上升數(shù)量數(shù)量特征特征y隨隨x的增大而增大的增大

3、而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)圖圖象象 y=f(x) y=f(x)圖象圖象特征特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象上升從左至右，圖象下降從左至右，圖象下降數(shù)量數(shù)量特征特征y隨隨x的增大而增大的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)圖圖象象 y=f(x) y=f(x)圖象圖象特征特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象上升從左至右，圖象下降從左至右，圖象下降數(shù)量數(shù)量特征特征y隨隨x的增大而增大的增大而增大y隨隨x的增大而減小的增大而減小0yx

4、1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)圖圖象象 y=f(x) y=f(x)圖象圖象特征特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象上升從左至右，圖象下降從左至右，圖象下降數(shù)量數(shù)量特征特征y隨隨x的增大而增大的增大而增大當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)， f(x1) f(x2)y隨隨x的增大而減小的增大而減小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)圖圖象象 y=f(x) y=f(x)圖象圖象特征特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象上升從左至右，圖象下降從左至右，圖象下降數(shù)量數(shù)量特征特征y隨隨

5、x的增大而增大的增大而增大當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)， f(x1) f(x2) 那么就說在那么就說在f(x)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)減減函數(shù)函數(shù)，I稱為稱為f(x)的的單調(diào)單調(diào) 減減 區(qū)間區(qū)間.Oxyx1x2f(x1)f(x2)由此得出單調(diào)增函數(shù)和單調(diào)減函數(shù)由此得出單調(diào)增函數(shù)和單調(diào)減函數(shù)的定義的定義. .xOyx1x2f(x1)f(x2)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)锳,區(qū)間區(qū)間I A. 如果對于屬于定義域如果對于屬于定義域A內(nèi)內(nèi)某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間I， x1,x2 I設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)锳,區(qū)間區(qū)間I A. 如果對于屬于定義域如果對于屬于定義域A內(nèi)內(nèi)某個(gè)區(qū)間

6、某個(gè)區(qū)間I上上 x1,x2 I 那么就說在那么就說在f(x)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增增 函數(shù)函數(shù)，I稱為稱為f(x)的的單調(diào)單調(diào) 區(qū)間區(qū)間.增增當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)，都有都有f(x1 ) f(x2 )，當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)，都有都有 f (x1 ) f(x2 )，單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間看下列函數(shù)圖象看下列函數(shù)圖象,下列各函數(shù)有沒有單調(diào)區(qū)間下列各函數(shù)有沒有單調(diào)區(qū)間,若有寫出其單調(diào)區(qū)間若有寫出其單調(diào)區(qū)間.圖圖1圖圖3圖圖2沒有單調(diào)區(qū)間沒有單調(diào)區(qū)間減區(qū)間減區(qū)間增區(qū)間增區(qū)間,00,沒有單調(diào)區(qū)間沒有單調(diào)區(qū)間（2 2）函數(shù)單調(diào)性是針對某個(gè)）函數(shù)單調(diào)性是針對某個(gè)區(qū)間區(qū)間而言的，是而言的，是一個(gè)局部一個(gè)局部性

7、質(zhì)性質(zhì); ;有些函數(shù)在定義域內(nèi)可能是單調(diào)的如有些函數(shù)在定義域內(nèi)可能是單調(diào)的如 y=x;y=x;有些有些函數(shù)在定義域內(nèi)的部分區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一部分函數(shù)在定義域內(nèi)的部分區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一部分區(qū)間上是減函數(shù)，還有的函數(shù)區(qū)間上是減函數(shù)，還有的函數(shù)是非單調(diào)的，如是非單調(diào)的，如y=c,y=2xxy=c,y=2xxN|1x5（1 1）如果函數(shù)）如果函數(shù) y =f(x)在區(qū)間在區(qū)間D D是單調(diào)增函數(shù)或單是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說函數(shù)調(diào)減函數(shù)，那么就說函數(shù) y = =f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間I I上具有上具有單調(diào)性。單調(diào)性。 區(qū)間區(qū)間D D叫做叫做y =f(x)的的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間在單調(diào)

8、區(qū)間上，在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是增函數(shù)的圖象是上升上升的，減函數(shù)的，減函數(shù)的圖象是的圖象是下降下降的。的。判斷判斷1 1：函數(shù)函數(shù) f (x)= x2 在在 是單調(diào)增函數(shù)；是單調(diào)增函數(shù)；, xyo2yx判斷判斷2 2：定義在：定義在R上的函數(shù)上的函數(shù) f ( (x) )滿足滿足 f (2) (2) f(1)(1)，則函數(shù)則函數(shù) f ( (x) )在在R上是增函數(shù)；上是增函數(shù)；（3 3） a) a) x x 1 1, , x x 2 2 取值的取值的任意任意性性; ;不能以特殊值代替不能以特殊值代替 b) 必須有大小，一般令必須有大小，一般令 c)同屬一個(gè)單調(diào)區(qū)間同屬一個(gè)單調(diào)區(qū)間yxO12f

9、(1)f(2)12,x x12xx例例1：下圖是定義在區(qū)間：下圖是定義在區(qū)間-5，5上的函數(shù)上的函數(shù)y=f(x)， 根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及每一單調(diào)根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及每一單調(diào) 區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？解：函數(shù)解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有的單調(diào)區(qū)間有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中其中y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間-5,-2), 1,3)是減函數(shù)，是減函數(shù)， 在區(qū)間在區(qū)間-2,1), 3,5 上是增函數(shù)。上是增函數(shù)。例例2. 寫出單調(diào)區(qū)間寫出單調(diào)區(qū)間1(1)(0);yxxx1yxy1yx的單調(diào)減區(qū)間是_ (,0)(0,),討論

10、討論1：1(0)(,0)(0,)yxx能不能說在定義域上是單調(diào)減函數(shù)? ？不能不能數(shù)形結(jié)合的思想數(shù)形結(jié)合的思想要了解某函數(shù)在某一區(qū)間上是否具有單調(diào)性，從圖象上進(jìn)要了解某函數(shù)在某一區(qū)間上是否具有單調(diào)性，從圖象上進(jìn)行觀察是一種常用的方法，但這種方法比較粗略。嚴(yán)格地行觀察是一種常用的方法，但這種方法比較粗略。嚴(yán)格地 說，它還需要進(jìn)行證明。說，它還需要進(jìn)行證明。（4）若函數(shù) f(x)在其定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增(或減）函數(shù)一般不能簡單認(rèn)為f(x)在AB上是增（減）函數(shù)yoxoyxyox在(-,+)是減函數(shù)在(-,0)和(0,+)是減函數(shù)在 增函數(shù)在 減函數(shù)ab2-，,2abyoxyoxyox在

11、(-,+)是增函數(shù)在(-,0)和(0,+)是增函數(shù)在 增函數(shù)在 減函數(shù)ab2-，,2ab(0)ykx b k(0)y kx bk1yx1yx2(0)yaxbxca2(0)yaxbxca x x1 1,x ,x2 2 0 0，+）, ,且且x x1 1 x x2 2， 則：則：2121)()(xxxfxf2121xxxx由由0 x0 x1 1 x x2 2 得得 021 xx021xx于是于是 f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )0 0。即即 f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )所以函數(shù)所以函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間0，+）上為增函數(shù)。）上為增函數(shù)。xxf)(證明:例例4 證明

12、函數(shù)證明函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間0，+）上為增函數(shù)。）上為增函數(shù)。xxf)(三判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟三判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟 利用利用定義定義證明函數(shù)證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的上的單調(diào)性的一般步驟：一般步驟：1 取值取值： x1，x2D，且，且x1x2；2 作差作差：f(x1)f(x2)；3 變形變形：通常是因式分解和通分；：通常是因式分解和通分；4 定號定號：即判斷差：即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)；的正負(fù)；5 下結(jié)論下結(jié)論：即指出函數(shù)：即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D上的上的 單調(diào)性單調(diào)性成果運(yùn)用成果運(yùn)用變式變式1請你說出一個(gè)單調(diào)減區(qū)間是請你說出一

13、個(gè)單調(diào)減區(qū)間是 的二次函數(shù)的二次函數(shù), 1 變式變式2請你說出一個(gè)在請你說出一個(gè)在 上單調(diào)遞減的函數(shù)上單調(diào)遞減的函數(shù), 1 ,12( )4f xxax 若若二次函數(shù)二次函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上單調(diào)遞上單調(diào)遞增，求增，求a的取值范圍。的取值范圍。 (2)(2)在區(qū)間（在區(qū)間（0 0，+）上是增函數(shù)的是）上是增函數(shù)的是 （ ）( )21A yx 2( )31B yx 2()Cyx2()21D yxx(3)(3)函數(shù)函數(shù)f(x)= f(x)= 1010 xxxx _成果運(yùn)用成果運(yùn)用,12( )4f xxax 若若二次函數(shù)二次函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上單調(diào)遞上單調(diào)遞增，求增，求a的取值范圍。的取值范圍。 解

14、：解：二次函數(shù)二次函數(shù) 的對稱軸為的對稱軸為 , ,由圖象可知只要由圖象可知只要 ，即，即 即可即可. . 2( )4f xxax 2ax 12ax 2a oxy1xy1o判斷題：（1）已知f(x)= ，因?yàn)閒(-1)f(2),所以函數(shù)f(x)是 增函數(shù)。（2）若函數(shù)f(x)滿足f (2)f(3),則函數(shù)f(x)在區(qū)間2，3 上為增函數(shù)。（3）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2和(2，3)上均為增函數(shù)， 則函數(shù)f(x)在(1，3)上為增函數(shù)。（4）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)= 在區(qū)間（-，0）和（0，+） 上都是減函數(shù)，所以f(x)= 在（-，0）（0，+） 上是減函數(shù)。1x1x1x例5：證明函數(shù) 上是增函數(shù)

15、。 ），在（22)(xxxf2121,2,xxxx，且證明：任取)2()2()()(221121xxxxxfxf)2()21 ()(2)22(21212121212112212121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx）（）（）（）（）上是增函數(shù)，在（，即，22)()()(0)()(022, 02212121212121xxxfxfxfxfxfxxxxxxxx例6：證明函數(shù) 在R上是增函數(shù)。xxxf3)(證明：任取2121,xxRxx且)()()()(23213121xxxxxfxf則)(213231xxxx）（)()(2122212121xxxxxxxx）（) 1)(22212121xx

16、xxxx1432)(2222212121xxxxxxx143)2()(2222121xxxxx例7：證明函數(shù) 在其定義域內(nèi) 是減函數(shù)。xxxf1)(221xx 021xx上是增函數(shù)。在即）而（Rxxxfxfxfxfxfxxx3212122221)()()(, 0)()(01432例7：證明函數(shù) 在其定義域內(nèi) 是減函數(shù)。xxxf1)(2，的定義域?yàn)樽C明：)(xf)1()1()()(),(,222121212121xxxxxfxfxxfxx且設(shè)任意的11)1()1()(11)11()()()(11)()(11)()11(222122221121222122212121212221212121222

17、12221212221xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx21xx 。在其定義域內(nèi)是減函數(shù)即即有，都有對任意又，且xxxfxfxfxfxfxxxxxxxxxxxxRxxxxx1)()()(0)()(01, 0101,110110221212222112222222121思考思考例1（1）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)， 函數(shù)g(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。 問：函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍為增函數(shù)？ 為什么？12121212121122,( )( )()(), ()()()() ()() ()()x xDxxf xDg xDf xf xg xg

18、xF xF xf xg xf xg x且在區(qū)間 上是增函數(shù)，在區(qū)間 上是增函數(shù))()()()(2121xgxgxfxf)()(, 0)()()()(212121xFxFxgxgxfxf即所以函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)在D上仍為增函數(shù)是（2）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)， 函數(shù)g(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。 問：函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍為減函數(shù)？ 為什么？（3）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)， 函數(shù)g(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。 問：能否確定函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)的單調(diào)性？反例反例：f(x)=x在R上是增函數(shù)，g(x)=-x在R上是減函數(shù) 此時(shí) F(x)

19、= f(x)+ g(x)=x-x=0為常函數(shù)，不具有單調(diào)性不能是同加，單調(diào)性不變例2 如果 是m,n上的減函數(shù)，且 ， 是a,b上的增函數(shù)，求證 在m,n上也是減函數(shù)。 g x ag xb f x fg x 12122121,( ),()().,.,x xm nxxg xm nag xbag xg xbf xa bfg xfg xfg xm n證：且是上減函數(shù)，且又是上的增函數(shù),在上是減函數(shù).復(fù)合函數(shù):判斷：一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值，作為另一個(gè)函數(shù)的自變量。定義域：1、若已知 的定義域?yàn)閍,b,則復(fù)合函數(shù) 的定義域由 解出。2、若已知 的定義域?yàn)閍,b,則函數(shù) 的定義域即為 fg x f x ag x

20、b fg x fg x f x ,xa bx當(dāng)時(shí)，函數(shù)g的值域。小結(jié)：小結(jié)：同增異減同增異減。研究函數(shù)的單調(diào)性，首先考慮函數(shù)的。研究函數(shù)的單調(diào)性，首先考慮函數(shù)的定定義域義域，要注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的某個(gè)區(qū)間。，要注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的某個(gè)區(qū)間。的單調(diào)性。的單調(diào)性，從而得出與的單調(diào)性，必須考慮對于復(fù)合函數(shù))()()()(xgfyxguufyxgfy)(xgu )(xfy)(xgfy 增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性復(fù)合函數(shù)單調(diào)性注：注：v1、復(fù)合函數(shù)、復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的單調(diào)區(qū)的單調(diào)區(qū)間必須是其定義域的子集間必須是其定義域的子集v2、對于復(fù)合函數(shù)、對于復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的單的單調(diào)性是由函數(shù)調(diào)性是由函數(shù)y=f(u)及及u=g(x)的的單調(diào)性確定的且規(guī)律是單調(diào)性確定的且規(guī)律是“同增，同增，異減異減”例例1.設(shè)設(shè)y=f(x)的單增區(qū)間是的單增區(qū)間是(2,6)，求函數(shù)，求函數(shù)y=f(2x)的的單調(diào)區(qū)間。單調(diào)區(qū)間。 2,2,62,6 ,22,6 ,4,0 .24,024,024,0 xxfttxxxxxxfxfxxfx 解：令t由已知得，在