幾何多元微積分級數(shù)課件

1、級數(shù)的收斂、求和與展開級數(shù)的收斂、求和與展開 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十一章 )(0 xunn 求和)(xS展開(在收斂域內(nèi)進行)(0 xunn基本問題基本問題：判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級數(shù)展開.為傅立葉級數(shù).xnbxnaxunnnsincos)(當為傅氏系數(shù)) 時,時為數(shù)項級數(shù);0 xx 當nnnxaxu)(當時為冪級數(shù);nnba ,(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、數(shù)項級數(shù)的審斂法一、數(shù)項級數(shù)的審斂法1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2. 正項級數(shù)審斂法必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā)

2、 散1不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)1nnuLeibniz判別法判別法: 若,01nnuu且,0limnnu則交錯級數(shù)nnnu1) 1(收斂 ,概念概念:且余項.1nnur1nnu若收斂 ,1nnu稱絕對收斂1nnu若發(fā)散 ,1nnu稱條件收斂機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 若級數(shù)11nnnnba 與均收斂 , 且nnnbca, ),2, 1(n證明級數(shù)1nnc收斂 .證證: nnnnabac0, ),2,1(n則由題設(shè))(1nnnab 收斂)(1nnnac 收斂1nnc)(1nnnnaac)(

3、1nnnac 1nna收斂機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解答提示解答提示:. 判別下列級數(shù)的斂散性:;1) 1 (1nnnn;2) !()2(122nnn;2cos)3(132nnnn;ln1)4(210nn. )0,0()5(1sanansn提示提示: (1) ,1limnnn有時當,Nn 11nn)1 (11nnnn據(jù)比較判別法, 原級數(shù)發(fā)散 .因調(diào)和級數(shù)發(fā)散,0N機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用比值判別法, 可知原級數(shù)發(fā)散.用比值法, 可判斷級數(shù)12nnn因 n 充分大時,ln1110nn原級數(shù)發(fā)散 . :2) !()2(122nnn:2cos)3(132nnnn:ln1)

4、4(210nn: )0,0()5(1sanansn用比值判別法可知:時收斂 ;時, 與 p 級數(shù)比較可知時收斂;1s時發(fā)散.再由比較法可知原級數(shù)收斂 .1s1a時發(fā)散.1a1a21nn發(fā)散,收斂,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 . 設(shè)正項級數(shù)1nnu和1nnv12)(nnnvu也收斂 .提示提示: 因,0limlimnnnnvu存在 N 0,nnnnvvuu22,又因)(222nnvu)()(2Nnvunn利用收斂級數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.都收斂, 證明級數(shù)當n N 時2)(nnvu 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 . 設(shè)級數(shù)1nnu收斂 , 且,1limnnnuv1nnv是

5、否也收斂？說明理由.但對任意項級數(shù)卻不一定收斂 .,) 1(nunn問級數(shù)提示提示: 對正項級數(shù),由比較判別法可知1nnv級數(shù)1nnu收斂 ,1nnvnnnuvlim收斂,級數(shù)發(fā)散 .nnn) 1(lim11例如, 取nnvnn1) 1(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ;1ln) 1()3(1nnnn.討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:;1) 1() 1(1npnn;sin) 1()2(1111nnnn.! ) 1() 1()4(11nnnnn提示提示: (1) P 1 時, 絕對收斂 ;0 p 1 時, 條件收斂 ;p0 時, 發(fā)散 .(2) 因各項取絕對值后所得強級數(shù) 原級數(shù)絕對收

6、斂 .故 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,111收斂nn11ln) 1()3(nnnn)11(ln1lnnnnun因單調(diào)遞減, 且但nnn1ln1nknkk1ln)1ln(lim)1ln(limnn所以原級數(shù)僅條件收斂 .kknk1ln1nlim由Leibniz判別法知級數(shù)收斂 ;0limnnu機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11! ) 1() 1()4(nnnnn因nnuu12)2(! )2(nnn1)111 (12nnnn1! ) 1(nnnn11e所以原級數(shù)絕對收斂 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、求冪級數(shù)收斂域的方法二、求冪級數(shù)收斂域的方法 標準形式冪級數(shù): 先求收

7、斂半徑 R , 再討論Rx 非標準形式冪級數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為標準形式直接用比值法或根值法處的斂散性 . 求下列級數(shù)的斂散區(qū)間:;)11 ()2(12nnnxn.2)4(21nnnxn練習(xí)練習(xí):機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 解解:nnnnnna)11 (limlim當ex1因此級數(shù)在端點發(fā)散 ,enn1)11 (nneu nn)11 ( nn)11 ( )(01ne. )1,1(eee時,12)11 ()2(nnnxn,1eR exe11即時原級數(shù)收斂 .故收斂區(qū)間為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nnnxn212)4()()(lim1xuxunnn解解: 因) 1(2121nnxn

8、22xnnxn22,122x當時，即22x,2時當x故收斂區(qū)間為. )2,2(級數(shù)收斂;一般項nun不趨于0,nlim級數(shù)發(fā)散; 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.) 1(31的收斂半徑求冪級數(shù)nnnnxn解解: 分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數(shù),lim1nnaannnnalim極限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx12112122kkkxk)()(1limxxnnn,)4(2x411R)()(1limxxnnn,)2(2x212R 原級數(shù) =1)(kkx1)(kkx 其收斂半徑4121,minRRR注意: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求部分和式極限三、冪級

9、數(shù)和函數(shù)的求法三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法 求和 映射變換法 逐項求導(dǎo)或求積分nnnxa0)(*xS對和式積分或求導(dǎo))(xS難直接求和: 直接變換,間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級數(shù)求和, 再代值求部分和等 初等變換法: 分解、套用公式（在收斂區(qū)間內(nèi)） 數(shù)項級數(shù) 求和機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nnnxa0例例3. 求冪級數(shù).!) 12(1) 1(120的和函數(shù)nnnxnn法法1 易求出級數(shù)的收斂域為),(022)(! ) 12(1) 1(21nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin(21xx,cos2sin21xxx ),(x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 法法2先求出

10、收斂區(qū)間, )(xS則xnnnxxxnnxxS01200d! ) 12(1) 1(d)(220! ) 12() 1(nnnxn21120! ) 12() 1(2nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS, ),(設(shè)和函數(shù)為),(x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí):.) 1()4(1nnnnx;212) 1() 1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2xx顯然 x = 0 時上式也正確,. )2,2(x故和函數(shù)為而在2xx0,)2(2)(222xxxS. 求下列冪級數(shù)的和函

11、數(shù)：級數(shù)發(fā)散,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (4)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( xttnnxd110ttxnnxd110機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx顯然 x = 0 時, 和為 0 ; 根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性 , 有)(xS110, )1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 時, 級數(shù)也收斂 . 即得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 00! )12() 1(! )2() 1

12、(21nnnnnn練習(xí)練習(xí):0! ) 12(1) 1(nnnn解解: 原式=0! )12() 1(nnn1cos21的和 .1) 12(n211sin求級數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù)展開法四、函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù)展開法 直接展開法 間接展開法練習(xí)練習(xí):1. 將函數(shù)2)2(1x展開成 x 的冪級數(shù). 利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)性質(zhì) 利用泰勒公式解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 函數(shù)的冪級數(shù)展開法2. 設(shè))(xf0,arctan12xxxx0,1x, 將 f (x)展

13、開成x 的冪級數(shù) ,1241) 1(nnn的和. ( 01考研 )解解:211x,) 1(02nnnx)1 , 1(xxarctanxxx02d11,12) 1(012nnnxn1 , 1x)(xf1212) 1(1nnnxn02212) 1(nnnxn于是并求級數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 02212) 1(nnnxn12112) 1(nnnxn)(xf1212) 1(1nnnxn1212) 1(1nnnxn12121121) 1(1nnnxnn,41) 1(21122nnnxn1 , 1x1241) 1(nnn 1) 1 (21f214機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 函數(shù)的付式級數(shù)展開法系數(shù)公式及計算技巧; 收斂定理; 延拓方法練習(xí)練習(xí): xyo),上的表達式為 ),0,)0,0)(xexxfx將其展為傅氏級數(shù) .na1xnxexdcos021)cossin(1nnxnxnex0),2, 1,0(11) 1(12nnen. 設(shè) f (x)是周期為2的函數(shù), 它在