河南省某知名中學(xué)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第八次考試試題 理含解析2

1、南陽一中2015級(jí)高三第八次考試?yán)頂?shù)試題一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 設(shè)，則( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】， 故選a.2. 已知集合，則( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】 .故選c.3. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則( )a. 8 b. 12 c. 16 d. 20【答案】b【解析】由題，等差數(shù)列中， 則 故選b.4. 拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是( )a. b. 1 c. d. 【答案】d【解析】， ，所以拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是，故選d.5. 從圖中所示的矩形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，

2、則點(diǎn)取自陰影部分的概率為( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】陰影部分的面積為 矩形的面積為2，故點(diǎn)取自陰影部分的概率為.故選b.6. 函數(shù)的大致圖象是( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】，則函數(shù)在 上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，且 故選c7. 已知一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個(gè)幾何體的體積是( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】如圖三視圖復(fù)原的幾何體是底面為直角梯形，是直角梯形， ，一條側(cè)棱垂直直角梯形的直角頂點(diǎn)的四棱錐，即平面 所以幾何體的體積為： 故選a【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的三視圖，幾何體的表面積的求法，準(zhǔn)確判斷

3、幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵8. 已知函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則在下列區(qū)間中使是減函數(shù)的是( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】函數(shù)f（x）=sinxcosx（0）的圖象與x軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于， 函數(shù)f（x）=sin4xcos4x=2sin（4x）；若將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)y=g（x）=2sin（4x+）的圖象令2k+4x+2k+，可得 kz，當(dāng)k=0時(shí)，故函數(shù)g（x）的減區(qū)間為。故答案為b 。9. 下圖是求樣本平均數(shù)的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容是( )a. b. c. d. 【答案】d【

4、解析】由題目要求可知：該程序的作用是求樣本平均數(shù) ，由于“輸出 ”即為平均數(shù)，循環(huán)體的功能是求各樣本的平均值，故應(yīng)為.故選d.10. 若函數(shù)滿足且的最小值為4，則實(shí)數(shù)的值為( )a. 1 b. 2 c. 3 d. 【答案】c【解析】由約束條件作出可行域（如圖），當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn) 時(shí)， 取得最小值，即 ，解之得 故選c.11. 設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線依次與雙曲線的左、右支交于點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率為( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】|pq|=2|qf|，pqf=60°，pfq=90°，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為f1，連接f1p，f1q，由對(duì)稱

5、性可知，f1pfq為矩形，且 故。故答案為：a。12. 已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程有三個(gè)不同的實(shí)根，當(dāng)時(shí)， 設(shè)，則為減函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，設(shè) ，則 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，故 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 分別畫出 與的圖像如圖所示，由題意得 ，故選a二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13. 已知向量，若，則的最小值為_.【答案】6【解析】試題分析：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為6.考點(diǎn)：向量垂直的充分條件、基本不等式.14. 若二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，若，則_.【答案】60【解析】

6、由題二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為 令，得展開式中的系數(shù)為 令，得展開式中常數(shù)項(xiàng)為 由 可得 又a，所以 所以 即答案為6015. 如果把四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“三節(jié)棍體”，那么從長(zhǎng)方體八個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)頂點(diǎn)，則這4個(gè)頂點(diǎn)為“三節(jié)棍體”的概率是_.【答案】【解析】本題是一個(gè)等可能事件的概率，從長(zhǎng)方體中任選四個(gè)頂點(diǎn)的選法是，以為頂點(diǎn)的四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐有：，共6個(gè)，同理以為頂點(diǎn)的也各有6個(gè)，但是，所有列舉的三棱錐均出現(xiàn)2次，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐有個(gè)，所求的概率是，故答案為.【方法點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率公式、空間線面關(guān)系以及新定義問題，屬于難題.新定義題型的特點(diǎn)是：通過給

7、出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.本題新定義“三節(jié)棍體”達(dá)到考查古典概型概率公式、空間線面關(guān)系的目的.16. 已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，若，給定四個(gè)命題；.則上述四個(gè)命題中真命題的序號(hào)為_.【答案】【解析】構(gòu)造函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，依題意有 又，故數(shù)列為等差數(shù)列，且公差故 故錯(cuò)誤；故正確；由題意知 若，則而此時(shí)，不成立，故

8、錯(cuò)誤； .，故成立.即答案為三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. 已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，.(1)若，求；(2)若，邊上的高為，求.【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）由已知，由正弦定理可得，結(jié)合可得 的值：（2）由題意邊上的高為，可知，根據(jù)余弦定理， ，由已知，可得，整理可得，即即可求得的值試題解析：（1）由已知，結(jié)合正弦定理得：，于是因?yàn)?，所以，?。?）由題意可知，得：從而有：，即又，所以，點(diǎn)睛：本題考查解三角形的有關(guān)知識(shí)，根據(jù)題意適時(shí)運(yùn)用正弦定理或余弦定理的解題的關(guān)鍵，解題時(shí)還應(yīng)注意三角形的內(nèi)奸的取值范圍18. 如圖，在四

9、棱椎中，是棱上一點(diǎn)，且，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，為正三角形，且平面平面，平面與棱交于點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析(2) 【解析】試題分析：(1)在正方形中，由面面垂直的性質(zhì)定理可得，平面，又平面，進(jìn)而證得，又平面，平面，平面，平面平面.(2)取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量.由空間的夾角公式可求兩個(gè)向量的的夾角，又由題意可得二面角為鈍角，即可得到二面角的余弦值.試題解析：(1)在正方形中，又平面平面，且平面平面，平面，又平面，底面是正方形，又平面，平面，平面.又四點(diǎn)共面，且平

10、面平面，又，為棱的中點(diǎn)，是棱中點(diǎn)，是正三角形，又平面，平面，平面，平面平面.(2)取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則為平面的一個(gè)法向量.，由圖知二面角為鈍角，二面角的余弦值為.19. 2017年5月14日至15日，“一帶一路”國(guó)際合作高峰論壇在中國(guó)首都北京舉行，會(huì)議期間，達(dá)成了多項(xiàng)國(guó)際合作協(xié)議.假設(shè)甲、乙兩種品牌的同類產(chǎn)品出口某國(guó)家的市場(chǎng)銷售量相等，該國(guó)質(zhì)量檢驗(yàn)部門為了解他們的使用壽命，現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取300個(gè)進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下圖所示.（1）估計(jì)甲品牌產(chǎn)品壽命小于2

11、00小時(shí)的概率；（2）在抽取的這兩種品牌產(chǎn)品中，抽取壽命超過300小時(shí)的產(chǎn)品3個(gè)，設(shè)隨機(jī)變量表示抽取的產(chǎn)品是甲品牌的產(chǎn)品個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望值.【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖可得甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的頻率為，即為甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率；(2)由題意知可能取值為0，1，2，3，分別求出，及，即可得到的分布列和數(shù)學(xué)期望值.試題解析： (1)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的頻率為，用頻率估計(jì)概率，所以，甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率為.(2)由題意知可能取值為0，1，2，3，且，的分布列為：0123故.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用

12、，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用20. 已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得恒為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1) (2) 存在點(diǎn)，使得.【解析】試題分析：() 由以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)可知，將點(diǎn) 代入橢圓方程，即可求得和的值，從而求得橢圓方程；() 分類討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，及恒為定值即可求得的值

13、，從而求得的值及點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)，則時(shí)，求得的值及點(diǎn)坐標(biāo).試題解析：()由題意可得圓的方程為x2y2b2.因?yàn)樵搱A經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，所以半焦距cb，所以a22b2.將點(diǎn)(，1)代入橢圓方程可得b22，a24，所以橢圓c的方程為.()設(shè)點(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(m,0)當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x1)聯(lián)立得(12k2)x24k2x2k240，則x1x2，x1x2，又y1y2k2(x11)(x21)k2(x1x2x1x21)k2，而(x1m)(x2m)y1y2為定值，只需，解得m，從而，當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí)，點(diǎn)a(1，)，b(1，-)，此時(shí)，當(dāng)

14、m時(shí)，(1m)(1m).綜上，存在點(diǎn)m(，0)，使得.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和平面向量數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、的方程組；得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.21. 已知(，且為常數(shù)).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在區(qū)間內(nèi)，存在且時(shí)，使不等式成立，求的取值范圍.【答案】(1) 時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2) 【解析】試題分析

15、：(1)求導(dǎo)，分類討論可得到的單調(diào)區(qū)間；(2)由(1)知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，不等式可化為，構(gòu)造新函數(shù)，則在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，可轉(zhuǎn)化為有解，即有解，令，討論其性質(zhì)可得，故.試題解析：(1)(且為常數(shù))，若時(shí)，當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.若時(shí)，當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)由(1)知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，不等式可化為，即，令，則在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，有解，即，有解，令，則，由得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故.22. 在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程，并判斷該曲線是什么曲線？(2)設(shè)曲線與曲線的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，求的值.【答案】(1) 曲線為橢圓(2) 【解析】【試題分析】（1）運(yùn)用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的互化關(guān)系求解；（2）依據(jù)題設(shè)借助直線參數(shù)方程的幾何意義分析求解： (1) 由 得，該曲線為橢圓.（2）將代入得 ，由直線參數(shù)方程的幾何意義，設(shè)， ，所以 ，從而 ，由于，所以 .23. 已知函數(shù)的最小值為.(1)求的值；(2)設(shè)實(shí)數(shù)滿足，證明：.【答案】(1) (2)見解析【解析】試題分析：寫出分段函數(shù)，求得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即