兩個重要極限、極限存在準則(1)課件

1、高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性本章學習要求： 了解函數(shù)極限的概念，知道運用“”和 “X ”語言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關系。熟練掌握極限的四則運算法則 以及運用左右極限計算分段函數(shù)在分段點處的極限。 理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關系。 掌握無窮小量的比較，能熟練運用等價無窮小量計算相應的 函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系。 理解極限存在準則。能較好運用極限存在準則和兩個重要極 限求相應的函數(shù)極限。 理解函數(shù)在一點連續(xù)以及在區(qū)間上連續(xù)的概念，會判斷函數(shù) 間斷點的類型。了解基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的連續(xù)性以及 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)

2、的性質(zhì)（介值定理、最值定理）。 理解冪級數(shù)的基本概念。掌握冪級數(shù)的收斂判別法。第四、五節(jié) 極限存在準則、 兩個重要極限第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性二.夾逼定理一.單調(diào)收斂準則三.兩個重要極限五.柯西準則四. 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系 . )(sup)(lim :,)( , xfxfxf的極限存在則在該極限過程中函數(shù)單調(diào)增加且有上界函數(shù)設在某極限過程中 . )(inf)(lim :,)( , xfxfxf的極限存在則在該極限過程中函數(shù)單調(diào)減少且有下界函數(shù)設在某極限過程中一般說成: 在某極限過程中,單調(diào)有界的函數(shù)必有極限.0 x0 x0 x ay ayay )(xhy )(xfy )(xgy xyO

3、 看懂后, 用精確地語言描述它.有時設 , ) | ( ),(U 0Xxxx. )()()(xhxfxg則必有若 , )(lim)(lim )()(00axhxgxxxxxx . )(lim)(0axfxxx證 . 0的情形只證xx 且設 , ),U( )()()( 10 xxxhxfxg , 0 , )(lim)(lim00則axhxgxxxx . |)(| , | 0 , 0202axhxx時當 . |)(| , | 0 , 0303axgxx時當 .)( axha即 .)( axga即 , | 0 ,min 0321時則當取xx , )()()(axhxfxga . )(lim 0axf

4、xx即例1 . 2 lim0 xxx求解 , 有由取整函數(shù)的定義 ,2212xxx; 222 , 0 xxxx時故當 , 222 , 0 xxxx時當. 22lim , , 2)2(lim 00 xxxxx所以而夾逼定理夾逼定理 二二. .重要極限重要極限 1sinlim . 10 xxx重要極限 11lim . 2exxx重要極限首先看看在計算機上進行的數(shù)值計算結果： 1sinlim . 1xxx0 0重要極限xxxsin010.10.99833416646828154750180.010.99998333341666645335270.0010.9999998333333416367097

5、0.00010.99999999833333341747730.000010.99999999998333322093200.0000010.99999999999983335552400.00000011.0.00000001122xxysinxyO1運用夾逼定理, 關鍵在于建立不等式.xO1DBAxy , 作一單位圓20 x先令從圖中可看出: , xAOB 設面積面積扇形面積DOBAOBAOBxsinxtan證證 . )2(0 tan2121sin21 xxxx即xxxcos1sin1由sin x 與cos x 的奇偶性可知： , 2|0 時當 x. 1sincos 成立xxx1sinli

6、m0 xxx得及夾逼定理由 , 11lim , 1coslim 00 xxx , 20 時故當 x , 1sincos xxx即有其中, a 0 為常數(shù). )()(sinlim 0)(axxax .)( 0)(的極限為零表示在某極限過程中xxxxx5sinlim0 xxx5sinlim0求xxx55sin5lim0)5( . 5sinlim50 xuuuu解例2 : )0( )()(sinlim 0)(aaxxax或直接用公式 . 55sinlim0 xxxxxxtanlim01cos1limsinlim00 xxxxxxxxtanlim0求xxxxcos1sinlim0解例3x a 時, (

7、x) = x a 0 , . 3)(3sinlimaxaxaxaxaxax)(3sinlim求故解例4解例520cos1limxxx求2122sinlim2120 xxx20cos1limxxx22022sin21limxxx2202sin2limxxx , xt令xxxsinlimxxxsinlim求故1sinlim0ttt , 時則x 0tttt)sin(lim0解例6xxxxx1sinsin1lim0(2)xxxxx1sinsin1lim求 (1)請自己動手做一下例7(1)xxxsin1lim 001sinlim0 xxx) 11sin (是有界量xxxxxx1sinsin1lim 01

8、sinlim0 xxx11sinlimsin1lim00 xxxxxx解xxx1sinlim 0sin1limxxx) 1 |sin| (是有界量xxxxxx1sinsin1 lim (2)111sinlimxxx11sinlimsin1limxxxxxx解由三角函數(shù)公式33232sin2cos2cos2cos2xxxxnnxxx2cos2cos2coslim2求2222sin2cos2cos2xxx2cos2sin2xxxsinnnnxxxx2sin2cos2cos2cos22例8解故 原式xxxxnnnsin2sin2limnnnxx2sin2sinlimxxsin2. 重要極限 特別重要

9、?。∽兞看鷵Qxy1下面先證明exxx11lim由它能得到exxx11 lim嗎？如果可行, 則可以利用極限運算性質(zhì)axfxfaxfxxx)(lim)(lim )(lim得到所需的結論嗎？進一步可得exxx11 lim嗎？在討論數(shù)列極限時, 有 .11limennn第一步：證明 因為 x +, 故不妨設 x 0.exxx11 lim 1111111 nxn1111111111111 nxxxnnnxnn由實數(shù)知識, 總可取 n N, 使 n x n+1,故111limnnnnnn111lim , 111111lim1ennnn , 1111limennnn , , , 得故由夾逼定理時而xn .

10、11limexxxexxx11 lim 我們作變量代換, 將它歸為 x + 的情形即可.想想, 作一個什么樣的代換？. , , txtx時則令第二步：證明, tx令xx11tt111 , 1 tu再令xxx11lim, , tx時則且時則 , , utttt1ttt1111111111ttteuuuu1111limtt11exxx11 lim由exxxxxx11lim11lim exxx11 lim第三步：證明現(xiàn)在證明exxx101 lim . 的情形轉化為xexxx10)1 (lim令,1tx t ,則 x 0時, 11lim)(1 lim10etxttxx故exxx10)1 ( lim于是

11、有證綜上所述, 得到以下公式ennn11 limexxx11 limexxx10)1 ( lim其中, k 0 為常數(shù). .)( 0)(的極限為零表示在某極限過程中xx .)( )(的極限為表示在某極限過程中xxxxx31 limxxx31 lim求33311 limxxx333311limexxx例9解xxx2cot20)tan31(lim3tan33202)tan31(limexxx例10 xxx2cot20)tan31 (lim求解xxx21lim0210)21 ( limexxx( 即 k = 2 的情形)xxx21lim0求例11解xxxx11 lim)1(121ln1explimx

12、xxxx2)1(121lnlim1limexpexxxxxx1)1(121 limxxxxx( 1 )xxxx11 lim求xxx121 lim例12解xxxx11 limxxxxx1111limxxxxxx11lim11 lim 21eee解1cos 0 xx，時2211 )1(cos1 )(cos xxxx21cos1cos1 )1(cos1 xxxx210 )(coslimxxx求) 1 ( 例13解 , 211coslim , )1(cos1 lim201cos10 xxexxxx又2110 )(cos lim2 exxx故常用的方法.1cos1sinlim xxxx求)1 (xxxx

13、1cos1sinlimexxx22sin1lim221cos1sinlimxxxx例14解例15解 ).0( lnlnlim aaxaxax求你想怎么做你想怎么做? ,0 , , 于是時則令yaxyax 1ln1lim)(ln)ln(lim lnlnlim00ayyayaayaaxaxyyax .1ln 1lnlim110aeayayy例16 . , , ,3lim 10為正常數(shù)其中求極限cbacbaxxxxx解 . 1 型的極限這是 ,3 ) 1() 1() 1( 13xxxxxxcbacba ,3 ) 1() 1() 1( )( 則令xxxcbaxxxxxxxxxxxcba)()(1010

14、)(1 (lim 3lim .3)lnln(ln31abcecbaaxfnn)(limDf 為函數(shù) f ( x ) 的定義域.其中, 極限值 a 可為有限數(shù)或為 ； )(lim0axfxx ),( , 0 xxDxxnfnn對任意的數(shù)列 , )( 0都有時當nxxn該定理說明：的則對于任何一個趨向于如果 ,)(lim . 100 xaxfxx ),( ,( 0都有數(shù)列fDxxxxnnn ),( . 200 xxxxnn的數(shù)列如果對每一個收斂于則有且所有極限相等存在極限 , , )(limnnxf .)(lim0axfxx.)(limaxfnn必要性：必要性： ,)(lim 0axfxx設 .

15、|)(|axf , | 0 , 0 0, 0有時當則xx ,lim , ),( : 00 xxxxfDxxnnnnn且 , , 0 , 0 有時當則對于上面的NnN , |0 xxn 從而有. |)(|axfn即有 . )(lim0axfnxx充分性：充分性：反證法反證法 . |)(| , | 0 , , 0 , 000axfxxx但滿足總存在則對于任意的的值取定一個下面怎么做？下面怎么做？ ,lim ),( )( : 00 xxxxfDxxnnnnn且假設 .)(lim axfnn有 .)(lim 0axfxx如果充分性：充分性： ,lim ),( )( : 00 xxxxfDxxnnnnn

16、且假設 .)(lim axfnn有 .)(lim 0axfxx如果反證法反證法 ),( 1 , 0Znnn并取的值任意取定一個 ),( , 1 滿足存在一個則對每一個fDxnnn , | 00nnxx . |)(| 0axfn且有 , ),( : 0 xxfDxxnnn于是得到一個數(shù)列 . ,性成立該矛盾說明定理的充分這與假設矛盾. |)(| ,lim 00axfxxnnn且 , 01limlim0 xnxnnnnnnnxxf1sinlim)(lim . 00limsinlimnnn . 1sinlim 0不存在證明xx證 . 1sin)( , 00 xxfx , 1 : ) 1 (則取nxx

17、nn , 221 : )2(nxxnn取 , 0221limlim 0 xnxnnn則例17nnnnxxf1sinlim)(lim1 1 lim)22( sinlimnnn . 1sinlim 0不存在xx)(lim nnxfnnx1sinlimnnx1sinlim)(limnnxf五.柯西(Cauchy)準則 , 有時 )(lim 0的充要條件是：axfxx且當 )( , , 0 , 021fDxx | 0 , | 0 0201xxxx | )()(| 21xfxf .成立必要性：必要性： ,)(lim 0axfxx設 , | 0 , | 0 )( ,020121xxxxfDxx且 .2 |

18、)(|axf , | 0 , 0 0, 0有時當則xx , 2 |)(| ,2 |)(| 21同時成立則有axfaxf | )()( | | )()(|2121axfaxfxfxf. |)(| |)(| 21axfaxf充分性：充分性： ,lim ),( )( : 00 xxxxfDxxnnnnn且任取數(shù)列 ).( nxf值構成的數(shù)列則相應得到一個由函數(shù) :由柯西準則的條件可知且當 )( , , 0 , 021fDxx | 0 , | 0 0201xxxx . | )()(| ,21成立有時xfxf , , , 0 , 0 時當對此NnNnN, | 0 , | 000 xxxxnn .)( , | )()(| 收斂故成立于是有nnnxfxfxf)(lim , nnnxfx任何數(shù)列下面證明對滿足條件的 .的極限值相同 , , 21但滿足