高中數(shù)學(xué)發(fā)散思維題的編制及在教學(xué)中的使用

1、高中數(shù)學(xué)發(fā)散思維題的編制及在教學(xué)中的使用福建省仙游一中（351200）楊超拔 Tel要：本文討論了數(shù)學(xué)發(fā)散思維題的概念和有關(guān)理論，對數(shù)學(xué)發(fā)散思維題的主要類型的開發(fā)編制和相關(guān)例題做了具體的研究，最后針對發(fā)散思維題的教學(xué)提出三條具體的建議。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)發(fā)散思維題；編制設(shè)計(jì)；教學(xué)使用發(fā)散思維作為一個(gè)新的教研課題，在素質(zhì)與創(chuàng)新教育全面推進(jìn)的今天，已受到廣大師生的高度重視。發(fā)散思維即求異思維、多向思維，它的圖示是從一點(diǎn)出發(fā)，向思維空間發(fā)出的一組射線，猶如夜空中的一道道閃電，激發(fā)學(xué)生思維的火花。運(yùn)用發(fā)散思維思考問題時(shí)注重多途徑、多方案，解決問題時(shí)強(qiáng)調(diào)舉一反三、觸類旁通，這與數(shù)學(xué)思

2、維特性極其相似。數(shù)學(xué)史乃至科學(xué)史上的諸多重要發(fā)現(xiàn)源于發(fā)散性思維。因此在高中階段，結(jié)合數(shù)學(xué)試題與教學(xué)，正確培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維能力，是個(gè)很迫切的課題。一、 數(shù)學(xué)發(fā)散思維題的有關(guān)理論(一)發(fā)散思維題的概念所謂發(fā)散性思維問題，是相對于“條件單一，結(jié)論明確”的傳統(tǒng)封閉問題而言。目前尚未形成發(fā)散思維題的統(tǒng)一定義，主要有如下觀點(diǎn)：首先，將課本各章知識加以歸納概要，為引導(dǎo)學(xué)生展開發(fā)散思維奠定基礎(chǔ)；之后，針對知識網(wǎng)絡(luò)可進(jìn)行思維發(fā)散的“結(jié)點(diǎn)”，運(yùn)用數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法，誘導(dǎo)學(xué)生逐步進(jìn)入發(fā)散思維空間；最后，借助應(yīng)用背景和具體實(shí)例，對學(xué)生進(jìn)行多維度、多方向、多思、多變的解題輔導(dǎo)。從思維大發(fā)散的解

3、題中，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，創(chuàng)新能力。(二)發(fā)散思維題的主要類型題型發(fā)散，將由發(fā)散知識點(diǎn)出發(fā)的典型問題，變換其題型進(jìn)行發(fā)散思維；解法發(fā)散，通過一題多解，多題一解等方法進(jìn)行發(fā)散思維；變更命題發(fā)散，通過變更命題的形式，對原命題的條件和結(jié)論改變其一或兩者同時(shí)改變，進(jìn)行發(fā)散思維訓(xùn)練；遷移發(fā)散，是利用數(shù)式，圖形在不同的數(shù)學(xué)分支中的不同含義與等價(jià)形式，把一個(gè)分支里的公式、定理、原則或方法，巧妙地遷移到另一個(gè)分支中，達(dá)到化難為易的目的。綜合發(fā)散，通過數(shù)學(xué)各分科之間的相互聯(lián)系，數(shù)學(xué)與物理，化學(xué)等其他學(xué)科之間的聯(lián)系來進(jìn)行發(fā)散思維訓(xùn)練。數(shù)學(xué)發(fā)散思維題的形式還包括逆向發(fā)散，構(gòu)造發(fā)散等多種思維形式。二、 數(shù)學(xué)發(fā)散思維題

4、的編制設(shè)計(jì)(一)發(fā)散思維題的設(shè)計(jì)原則高考數(shù)學(xué)科考試說明指出：“數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注重對數(shù)學(xué)思想方法的考查，注重?cái)?shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值。重視試題的層次性，合理調(diào)控綜合程度，堅(jiān)持多角度、多層次的考查，實(shí)現(xiàn)全面考查綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求?！币虼藬?shù)學(xué)發(fā)散思維題必須明確概念，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，突出重點(diǎn)，加強(qiáng)綜合，注重思想方法，強(qiáng)化能力培養(yǎng)，力求思維多向，方能取得積極成效。下面就數(shù)學(xué)發(fā)散思維題的命制提四個(gè)原則：1、 知識性原則。發(fā)散思維題的編制與使用應(yīng)當(dāng)有利于突出高中數(shù)學(xué)知識主體，有利于引導(dǎo)學(xué)生理解所學(xué)知識的運(yùn)用情境及其來龍去脈，有利于知識的融會貫通和熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)的強(qiáng)烈意識 。 2、轉(zhuǎn)化性原則。

5、能讓學(xué)生觀察、聯(lián)想，深入挖掘題目中的隱蔽條件，聯(lián)想有關(guān)公理公式進(jìn)行類比轉(zhuǎn)化，達(dá)到化繁為簡、變難為易。將未知轉(zhuǎn)化為可知，將可知轉(zhuǎn)化為已知 ，最終至問題的解決。3、科學(xué)性原則。題目本身在強(qiáng)調(diào)發(fā)散時(shí)，本身應(yīng)該遵循科學(xué)性原則，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，強(qiáng)化思想方法。題目語言要敘述清楚，條件充分，制約嚴(yán)謹(jǐn)，有明確的要求，以便學(xué)生根據(jù)情境，分辨情況，遷移知識，得出結(jié)果。 4、創(chuàng)新性原則。發(fā)散思維題要加強(qiáng)對創(chuàng)新意識的考查，多開發(fā)研究型、探索型或開放型的題目。讓學(xué)生獨(dú)立思考，自主探索，發(fā)揮主觀能動性，尋求合適的解題工具。發(fā)散思維題的一個(gè)重要功能是為學(xué)生展現(xiàn)其創(chuàng)新意識、發(fā)揮創(chuàng)造能力開辟廣闊的空間。 (二)發(fā)散思維題型例舉與

6、分析1、知識發(fā)散是基礎(chǔ)，題型發(fā)散成載體高中數(shù)學(xué)發(fā)散思維題的設(shè)計(jì)，應(yīng)注重對數(shù)學(xué)知識的考查，離開基礎(chǔ)知識，發(fā)散思維題猶如空中樓閣，無源之水。高考數(shù)學(xué)試題已形成“重基礎(chǔ)、出活題、考能力”的格局，新課教學(xué)要重視定理的產(chǎn)生、形成、發(fā)展和深化的過程，高考復(fù)習(xí)要弄清各知識的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)在聯(lián)系，形成諸如函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角、圓錐曲線、排列組合、概率統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)等知識板塊，尤其注重對各知識板塊進(jìn)行縱橫聯(lián)系，尋找共同點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)，從學(xué)科整體意義上建構(gòu)知識的發(fā)散網(wǎng)絡(luò)。在這些知識發(fā)散點(diǎn)，交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)題目，要體現(xiàn)對高中數(shù)學(xué)知識的整體把握與交叉綜合，力求避免“單元割裂，專題獨(dú)立”和“只見樹木，不見森林”的不良現(xiàn)象。例1函數(shù)

7、f:|1,2,3|1,2,3|滿足f(f(x)= f(x)，則這樣的函數(shù)個(gè)數(shù)共有(D) （浙江2006年理數(shù)）(A)1個(gè) (B)4個(gè) (C)8個(gè) (D)10個(gè)【說明】映射與函數(shù)的概念是一脈相承的，本題給學(xué)生以知識交匯發(fā)散的視覺，使相應(yīng)的的數(shù)學(xué)語言和表達(dá)形式更加靈活多樣，結(jié)合運(yùn)用排列組合知識，能體現(xiàn)思維能力和分類討論的思想，需要有一定的思維填密性。對于例1的映射與函數(shù)的概念，結(jié)合新定義的線性變換知識，可命制如下試題：例2設(shè)是已知平面上所有向量的集合，對于映射記的象為。若映射滿足：對所有及任意實(shí)數(shù)都有，則稱為平面上的線性變換。現(xiàn)有下列命題：設(shè)是平面上的線性變換，則w.w.w.k.s.5.u.c.o

8、.m 對設(shè)，則是平面上的線性變換；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若是平面上的單位向量，對設(shè)，則是平面上的線性變換；設(shè)是平面上的線性變換，若共線，則也共線。其中真命題是（寫出所有真命題的序號）（四川2009年理數(shù)）【說明】從學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，在知識的發(fā)散點(diǎn)設(shè)計(jì)試題是命題方向。本題將新定義的線性變換，與平面向量和映射的概念結(jié)合在一起，既體現(xiàn)了課改精神，又考查了綜合運(yùn)用知識解決問題的能力。題型載體是填空中的多重選擇更有利于數(shù)學(xué)知識的交匯與融合，能考查學(xué)生多方面知識的運(yùn)用水平。2、一題多解展思路，策略巧妙意境高在教學(xué)與考試中，多設(shè)置能用兩種，三種甚至更多種解法的題目，能鍛煉學(xué)生思維的發(fā)散性

9、，積累解題經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會如何綜合運(yùn)用已有的知識不斷提高解題能力。例3求 的值解法一，積化和差，是化簡的重要方法，可先將其中兩個(gè)積化為和差原式= =解法二，若將原式利用互為余角的余函數(shù)，則其角之間依次成為倍角關(guān)系，便可連續(xù)逆用正弦二倍角公式進(jìn)行化簡原式=解法三，若利用公式變形也可將原式化簡求值原式=【說明】一題多解試題無非兩種類型：一是用在數(shù)學(xué)的不同分支中的不同視覺尋找不同的方法，二是用同一分支中的不同公式，定理突破多種的解題入口，本題正是屬于后一類型。在一題多解，策略多樣的訓(xùn)練中，讓學(xué)生的思維“散”在廣闊性和深刻性中。3、變更命題求發(fā)散，舉一反三應(yīng)用廣變更命題的條件，結(jié)論或形式，而命題的實(shí)質(zhì)不變。

10、通過這種試題形式的編制，能夠引導(dǎo)學(xué)生不斷根據(jù)變化了的情況積極思維，歸納概括，多方向地揭示命題本質(zhì)。這樣可提高學(xué)生舉一反三、觸類旁通的能力，這也正是思維的變通性得到培養(yǎng)和發(fā)展的具體體現(xiàn)。例4過拋物線的焦點(diǎn)的一條直線和此拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，求證.對這道題進(jìn)行發(fā)散聯(lián)想,引申和改造,可以得到綜合性強(qiáng)、形式新穎的命題：變式1：設(shè)拋物線上兩個(gè)動點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)分別為，且，求證直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)；變式2：設(shè)是拋物線對稱軸上的一個(gè)定點(diǎn)，過M的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，其縱坐標(biāo)分別為，求證為定值；變式3：設(shè)拋物線上兩個(gè)動點(diǎn)A、B分別為，且滿足（為常數(shù)），問直線AB是否恒過某一定點(diǎn)？4、信息遷移為探

11、究，深挖廣拓激思維信息遷移發(fā)散題已是備受關(guān)注的創(chuàng)新題型，此類題目的編制一般是將較為陌生的數(shù)學(xué)情境展現(xiàn)出來，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上及時(shí)捕捉和利用題設(shè)中的信息，結(jié)合原有所學(xué)知識做出判斷、推理、類比等發(fā)散思維的新題型。近年來，具有高等數(shù)學(xué)背景的一些數(shù)學(xué)信息遷移題頻頻出現(xiàn)，也是進(jìn)行遷移發(fā)散思維訓(xùn)練的一種有效形式。例5已知展開式對恒成立，方程有無究個(gè)根比較兩邊的系數(shù)可以推得設(shè)代數(shù)方程有2n個(gè)不同的根：，類比上述方法可得=（用表示）（龍巖市2011年一級達(dá)標(biāo)校聯(lián)考）【說明】解答本題需要敏銳的觀察、猜想和類比邏輯推理能力。思維發(fā)散到初中學(xué)過的，問題不難解決。例6 “點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體”。如圖，

12、軸上有一條單位長度的線段，沿著與其垂直的軸方向平移一個(gè)單位長度，線段掃過的區(qū)域形成一個(gè)二維方體（正方形），再把正方形沿著與其所在的平面垂直的軸方向平移一個(gè)單位長度，則正方形掃過的區(qū)域形成一個(gè)三維方體（正方體）。請你設(shè)想存在四維空間，將正方體向第四個(gè)維度平移得到四維方體，若一個(gè)四維方體有個(gè)頂點(diǎn)，條棱，個(gè)面，則的值分別為 16,32,24 （三明市2011年高三質(zhì)檢）【說明】可以發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)平移后得到一個(gè)新的點(diǎn)，平移的過程形成一條新的棱；線段平移可得到一條新的棱，平移過程可以形成一個(gè)新的面；面平移后可以形成一個(gè)新的面，平移的過程可形成一個(gè)三維體?？臻g維度在發(fā)散，思維也在發(fā)散。本題對遷移發(fā)散思維的激發(fā)，

13、達(dá)到必要的深度。5、構(gòu)“形”造“數(shù)”真功夫，高屋建瓴活解題構(gòu)造是一種極富技巧性和創(chuàng)造性的思維，通過構(gòu)造，可激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維，打破常規(guī)，另辟蹊徑使問題得到巧妙解決。比如向量具有代數(shù)形式和幾何直觀的雙重身份，構(gòu)造合適向量，可巧妙得給出一些不等式的證明。編制題目如下：例7：設(shè)為不相等的實(shí)數(shù)，求證：分析：構(gòu)造向量為不相等的實(shí)數(shù)，因此向量不共線，根據(jù)，且不共線，所以，即三、幾點(diǎn)思考數(shù)學(xué)發(fā)散思維題由于思維的多向性，解題的多樣性，往往費(fèi)時(shí)間，在目前的教學(xué)模式下，要廣泛使用此類試題，還存在諸多問題。為此，筆者就實(shí)際教學(xué)中如何使用數(shù)學(xué)發(fā)散思維題提幾點(diǎn)建議：1、創(chuàng)設(shè)情境，選擇時(shí)機(jī)，營造發(fā)散思維大課堂利用發(fā)散思維

14、題進(jìn)行課堂教學(xué)的過程是學(xué)生主動構(gòu)建，積極參與的過程。教師在教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思維，實(shí)行開放式教學(xué)，逐步引導(dǎo)學(xué)生探究新的知識和方法。但平時(shí)課堂內(nèi)容多，時(shí)間緊，不可能大量使用發(fā)散思維題，因此教師要注意時(shí)間的合理安排，在適當(dāng)時(shí)候以適當(dāng)方式滲透發(fā)散思維。2、在練習(xí)選編上，改造題目進(jìn)行發(fā)散思維訓(xùn)練為了讓學(xué)生在解題時(shí)有更廣泛的思維空間，嘗試改造常規(guī)題目，打破模式化，使學(xué)生不是依靠簡單模式來解題，比如把條件結(jié)論完整的題目改造提出條件，先猜結(jié)論再進(jìn)行證明的形式；也可以先給出結(jié)論，讓學(xué)生探求條件；或?qū)㈩}目的條件，結(jié)論進(jìn)行拓廣，演變，形成一個(gè)發(fā)展性問題。如此種種，無疑將促使學(xué)生從全新的角度去認(rèn)識問題，起到啟迪

15、、培養(yǎng)發(fā)散思維能力的作用。例如，復(fù)習(xí)課上給出這么一道題：在銳角ABC中，求證：。ABC為銳角三角形，又在上是增函數(shù)，。同理：故所證不等式成立。由這道題改造發(fā)散成另外一命題：頂點(diǎn)在單位圓上的銳角三角形的三個(gè)角的余弦之和小于這個(gè)三角形的周長的一半。用上道題的結(jié)論：做條件，只需證明即可。顯然，即3、 組織發(fā)散性思維訓(xùn)練，要把握學(xué)生的認(rèn)知水平教師在使用發(fā)散思維題，從內(nèi)容到形式再到方法，都要重視學(xué)生的認(rèn)知水平。在高一，教師的主導(dǎo)作用可以多些，在高二、高三，隨著知識增加和能力提高，學(xué)生的發(fā)散思維也在不斷增強(qiáng)，教師可逐步放手讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)和解決問題，并且堅(jiān)持下去。教師在教學(xué)過程要起積極引導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生對發(fā)散思維題的條件和答案作出深層次的比較和評價(jià)，試著發(fā)現(xiàn)條件、答案間的邏輯關(guān)系，對各種解答的正確性作出判斷并給出必要的