第6章 光場的統(tǒng)計分布

1、第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 第第6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 6.1 隨機(jī)變量的統(tǒng)計描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計描述 6.2 熱光場的統(tǒng)計特性熱光場的統(tǒng)計特性 6.3 相干光與熱光疊加后的統(tǒng)計特性相干光與熱光疊加后的統(tǒng)計特性 6.4 相干起伏的光和相干光的混合相干起伏的光和相干光的混合 習(xí)題與思考題習(xí)題與思考題 第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 6.1 隨機(jī)變量的統(tǒng)計描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計描述 6.1.1 隨機(jī)變量的概率分布 1. 離散型隨機(jī)變量 X取離散值（有限或可列）， 用PX=xk=px表示X的概率分布， 稱為X的分布律。 pk需滿足: 1kp (6.1 - 1)

2、 第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 2. 連續(xù)型隨機(jī)變量X取連續(xù)值， 且存在非負(fù)函數(shù)p(x)， 使對任意x有( )xP Xxp x dx(6.1 - 2) 3. 隨機(jī)變量的分布函數(shù)對任意xR, 有( )( )kxxxF xP Xxp x dx離散 連續(xù) (6.1 - 3) 第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 4. 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 (1) 設(shè)X是隨機(jī)變量， Y=f(X)。 若已知X的分布， 則Y的分布函數(shù)為 F(y)=PYy=Pf(X)y (6.1 - 4) 這是最基本的公式。 例 6 - 1 已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為px(x)， 求Y=aX+b(a0)的概率密度

3、函數(shù)py(y)。 第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 (2) 設(shè)X、 Y是隨機(jī)變量， Z=f(X, Y)。 若已知(X, Y)的分布， 則Z的分布函數(shù)為 F(z)=PZz=Pf(X, Y)z (6.1 - 5) 這也是最基本的公式。 第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 例 6 - 2 已知隨機(jī)變量X、 Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)p(x, y)， 求Z=X+Y的概率密度函數(shù)。 解： 如圖6.1 - 1所示： ( )( , )( , )x y zz xF zP ZzP XYzp x y dxdyp x y dydx 從而 ( )( )( ,)p zF zp x zx dx第第6 6章

4、章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 圖 6.1 - 1 積分區(qū)間示意圖Z X YYXO第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 6.1.2 矩與母函數(shù) 先引入記號： ( ) ( )() ()() ()kkkf x p x dxf XE f Xf xp x連續(xù)離散 其中f(x)是任一單值連續(xù)函數(shù)。 第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 1. 矩 (1) X的m階正常矩 (6.1 - 6)()mmXX(2) X的m階中心矩()()mmXVX(6.1 - 7) (3) 中心矩與正常矩的關(guān)系:0()()( 1)mmmlm lm lmlXXXCXX(6.1 - 8) 第第6 6章章 光場的統(tǒng)計

5、分布光場的統(tǒng)計分布 (4) X的m階階乘矩(X取整數(shù)) ()!(1)(2)(1)()!mXXFX XXXmXm(6.1 - 9) (5) X的m階累積量 由下式定義:()mXK( )( )10(1)(1)(2)(2)(1)2exp!()()rrrrXXrrXXXXXssKrrKXKD X(6.1 - 10) (6.1 - 11) (6.1 - 12) 第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 2. 母函數(shù)(1) X的矩母函數(shù) QX(s)=e-sX (6.1 - 13)把e-sX作麥克勞林展開： 0( )( 1)!mmmXmsQsXm(6.1 - 14) 00( 1)( )|( )( )mm

6、mXsmsXXXQssQseP x dx (6.1 - 15) (6.1 - 16) 第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 (2) X的累積量母函數(shù) QcX(s)=lnQX(s) (6.1 - 17)()0( 1)( )|mmmsXXsmKQss (6.1 - 18) 第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 (3) 設(shè)X的取值為整數(shù)， 則X的階乘矩母函數(shù)()0( )(1)( 1)( )|fXXmmmfXXsmQssFQss (6.1 - 19) (6.1 - 20) 若把式(6.1 - 19)寫成 01( )(1)( )1( )( 1)( )|!fkXkkkfXskQssp kp

7、 kQsks (6.1 - 21) 第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 6.2 熱光場的統(tǒng)計特性熱光場的統(tǒng)計特性 6.2.1 極化熱光的統(tǒng)計特性 一般來說， 描述光場的電場（或磁場）是隨機(jī)矢量， 即它的所有分量V(r,t)都是空間和時間的復(fù)隨機(jī)函數(shù)。 這一節(jié)我們討論線性極化的熱光， 即場矢量在空間具有確定的極化方向。 這種線性極化場可用標(biāo)量場來描述。 設(shè) V(r,t)=A(r,t)+iB(r,t) (6.2 - 1)第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 實(shí)部和虛部都是空間和時間的隨機(jī)函數(shù)， 并服從高斯分布， 平均值為零， 相互獨(dú)立。 對于光電接收和轉(zhuǎn)換的問題， 探測器僅對光強(qiáng)

8、響應(yīng)， 所以這里我們只考慮光強(qiáng)度 I(r,t)=|V(r,t)|2 的統(tǒng)計特性， 由 I(r,t)=A2(r,t)+B2(r,t) (6.2 - 2)第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 1011( )exp()( )1( 1)( )!ImmmImsmP IIIQ ss IIQ ssmI (6.2 - 4) (6.2 - 5) ()022( 1)ln( )(1)!mmmllmsmKQ ssmIII (6.2 - 6) (6.2 - 7) 第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 6.2.2 部分極化熱光的統(tǒng)計特性 設(shè)部分極化熱光的極化度為p(0p1)， 極化光總強(qiáng)度為I， 則1(1

9、)21(1)2xyIIpIIp(6.2 - 8) (6.2 - 9) 因?yàn)榭倧?qiáng)度I=Ix+Iy是兩個統(tǒng)計獨(dú)立的隨機(jī)變量之和， 所以 P(I)=P(Ix)*P(Iy) (6.2 - 10)第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 兩種特殊情形： (1) p=1: 極化光， 式(6.2 - 11)變成1( )exp()IP III(6.2 - 14)(2) p=0: 非極化光， 式(6.2 - 11)變成242( )exp()IIP III(6.2 - 15) 第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 6.3 相干光與熱光疊加后的統(tǒng)計特性相干光與熱光疊加后的統(tǒng)計特性 6.3.1 極化的相干

10、光與熱光的混合 這里考慮兩者都是極化的且極化方向相同， 如果不同， 總可將相干光分解為熱光極化方向的投影加垂直于該方向的投影， 垂直方向的與熱光不混合， 故不考慮。 設(shè)Vc(r,t)和Vth(r,t)分別表示相干光和熱光的復(fù)振幅， 則合成場的實(shí)部與虛部都是平均值不為零的高斯隨機(jī)變量（這時相當(dāng)于Y=X+a）。 第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 則混合光強(qiáng)度為 I(r,t)=Re(Vc+Vth)2+Im(Vc+Vth)2 (6.3 - 1) 兩個方括號內(nèi)是兩個獨(dú)立的均值不為零的高斯隨機(jī)變量。 利用隨機(jī)變量函數(shù)的分布公式可以得到I的分布1/201()( )exp3ccthththIIII

11、P IIIII(6.3 - 2) 第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 22( )( )1( )exp11!2nnncIththmmcmthththcthIxiJixsIQ ss Is IIIm LIIIIII(6.3 - 3) (6.3 - 4) (6.3 - 5) 第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 6.3.2 相干光與部分極化熱光的混合 選取部分極化光的兩個獨(dú)立（統(tǒng)計）分量的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸方向， 121(1)21(1)2ththththIIpIIp第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 圖 6.3 - 1 各極化分量的相互關(guān)系xyIO第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光

12、場的統(tǒng)計分布 211212cossincthcthIIIIII 設(shè)相干光極化方向與x軸成角， 如圖6.3 - 1 所示， 則總光強(qiáng)I=I1+I2， 其中(6.3 - 6) (6.3 - 7) 第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 6.4 相位起伏的光和相干光的混合相位起伏的光和相干光的混合 相位起伏的光和相干光混合的模型常應(yīng)用于激光雷達(dá)信號中。 相位起伏可以由距離起伏或慢速運(yùn)動目標(biāo)所引起， 也可以由光通過隨機(jī)介質(zhì)而引起。 相位起伏的光場由下式描述： V(r,t)=Vs exp-i(r,t) (6.4 - 1)第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 其中, Vs為常數(shù)， (r,t)是空間和時間的隨機(jī)函數(shù), (-,)。 一般地， (r,t)是均值為零、 方差為2的高斯過程， 即221( )exp22P(6.4 - 2) 第第6 6章章 光場的統(tǒng)計分布光場的統(tǒng)計分布 習(xí)題與思考題習(xí)題與思考題 1. 如何理解光強(qiáng)很弱時， 隨機(jī)起伏將嚴(yán)重影響光電探測