2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試浙江卷數(shù)學文

1、2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷)數(shù)學文一、選擇題1.已知全集U=1，2，3，4，5，6，集合P=1，3，5，Q=1，2，4，則(CUP)Q=()A.1B.3，5C.1，2，4，6D.1，2，3，4，5解析：CUP=2，4，6，(CUP)Q=2，4，61，2，4=1，2，4，6.答案：C.2.已知互相垂直的平面，交于直線l，若直線m，n滿足m，n，則()A.mlB.mnC.nlD.mn解析：互相垂直的平面，交于直線l，直線m，n滿足m，m或m或m，l，n，nl.答案：C3.函數(shù)y=sinx2的圖象是()A.B.C.D.解析：sin(-x)2=sinx2，函數(shù)y=sinx2是偶函數(shù)

2、，即函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，排除A，C；由y=sinx2=0，則x2=，k0，則x=±k，k0，故函數(shù)有無窮多個零點，排除B.答案：D4.若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是()A.B.C.D.解析：作出平面區(qū)域如圖所示：當直線y=x+b分別經(jīng)過A，B時，平行線間的距離相等.聯(lián)立方程組解得A(2，1)，聯(lián)立方程組解得B(1，2).兩條平行線分別為y=x-1，y=x+1，即x-y-1=0，x-y+1=0.平行線間的距離為d=.答案：B5.已知a，b0且a1，b1，若logab1，則()A.(a-1)(b-1)0B.(a-1)(a-b)0C.(b-

3、1)(b-a)0D.(b-1)(b-a)0解析：若a1，則由logab1得logablogaa，即ba1，此時b-a0，b1，即(b-1)(b-a)0，若0a1，則由logab1得logablogaa，即ba1，此時b-a0，b1，即(b-1)(b-a)0，綜上(b-1)(b-a)0.答案：D6.已知函數(shù)f(x)=x2+bx，則“b0”是“f(f(x)的最小值與f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析：f(x)的對稱軸為x=-，fmin(x)=-.(1)若b0，則-，當f(x)=-時，f(f(x)取得最小值f(-)=-，即f(

4、f(x)的最小值與f(x)的最小值相等.“b0”是“f(f(x)的最小值與f(x)的最小值相等”的充分條件.(2)若f(f(x)的最小值與f(x)的最小值相等，則fmin(x)-，即-，解得b0或b2.“b0”不是“f(f(x)的最小值與f(x)的最小值相等”的必要條件.答案：A7.已知函數(shù)f(x)滿足：f(x)|x|且f(x)2x，xR.()A.若f(a)|b|，則abB.若f(a)2b，則abC.若f(a)|b|，則abD.若f(a)2b，則ab解析：A.若f(a)|b|，則由條件f(x)|x|得f(a)|a|，即|a|b|，則ab不一定成立，故A錯誤；B.若f(a)2b，則由條件知f(x

5、)2x，即f(a)2a，則2af(a)2b，則ab，故B正確；C.若f(a)|b|，則由條件f(x)|x|得f(a)|a|，則|a|b|不一定成立，故C錯誤；D.若f(a)2b，則由條件f(x)2x，得f(a)2a，則2a2b，不一定成立，即ab不一定成立，故D錯誤.答案：B8.如圖，點列An、Bn分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，AnAn+1，nN*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，BnBn+1，nN*，(PQ表示點P與Q不重合)若dn=|AnBn|，Sn為AnBnBn+1的面積，則()A.Sn是等差數(shù)列B.Sn2是等差數(shù)列C.dn是等差數(shù)列D.dn2是

6、等差數(shù)列解析：設(shè)銳角的頂點為O，|OA1|=a，|OB1|=b，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，b不確定，則dn不一定是等差數(shù)列，dn2不一定是等差數(shù)列，設(shè)AnBnBn+1的底邊BnBn+1上的高為hn，由三角形的相似可得，兩式相加可得，即有hn+hn+2=2hn+1，由Sn=d·hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，即為Sn+2-Sn+1=Sn+1-Sn，則數(shù)列Sn為等差數(shù)列.答案：A二、填空題9.某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是 cm2，體積是 cm3.解析：根據(jù)幾何體的三視圖，得：該幾何

7、體是下部為長方體，其長和寬都為4，高為2，表面積為2×4×4+2×42=64cm2，體積為2×42=32cm3；上部為正方體，其棱長為2，表面積是6×22=24 cm2，體積為23=8cm3；所以幾何體的表面積為64+24-2×22=80cm2，體積為32+8=40cm3.答案：80；40.10.已知aR，方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓，則圓心坐標是 ，半徑是 .解析：方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓，a2=a+20，解得a=-1或a=2.當a=-1時，方程化為x2+y2+4x+8y-

8、5=0，配方得(x+2)2+(y+4)2=25，所得圓的圓心坐標為(-2，-4)，半徑為5；當a=2時，方程化為x2+y2+x+2y+=0，此時D2+E2-4F=1+4-4×=-50，方程不表示圓.答案：(-2，-4)，5.11.已知2cos2x+sin2x=Asin(x+)+b(A0)，則A= ，b= .解析：2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+(cos2x+sin2x)+1=sin(2x+)+1，A=，b=1，答案：；1.12.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3x2+1，已知a0，且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2，xR，則實數(shù)a= ，b= .解析：f(x)

9、=x3+3x2+1，f(x)-f(a)=x3+3x2+1-(a3+3a2+1)=x3+3x2-(a3+3a2)，(x-b)(x-a)2=(x-b)(x2-2ax+a2)=x3-(2a+b)x2+(a2+2ab)x-a2b，且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2，解得或(舍去).答案：-2；1.13.設(shè)雙曲線x2-=1的左、右焦點分別為F1、F2，若點P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則|PF1|+|PF2|的取值范圍是 .解析：如圖，由雙曲線x2-=1，得a2=1，b2=3，c=2.不妨以P在雙曲線右支為例，當PF2x軸時，把x=2代入x2-=1，得y=±3，即|PF2|

10、=3，此時|PF1|=|PF2|+2=5，則|PF1|+|PF2|=8；由PF1PF2，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16，又|PF1|-|PF2|=2，兩邊平方得：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4，|PF1|PF2|=6，聯(lián)立解得：|PF1|=1+，|PF2|=-1+，此時|PF1|+|PF2|=2+.使F1PF2為銳角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范圍是(2，8).答案：(2，8).14.如圖，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90°，沿直線AC將ACD翻折成ACD，直線AC與BD所成角的余弦的最大

11、值是 .解析：如圖所示，取AC的中點O，AB=BC=3，BOAC，在RtACD中，AC=.作DEAC，垂足為E，DE=.CO=，CE=，EO=CO-CE=.過點B作BFBO，作FEBO交BF于點F，則EFAC.連接DF.FBD為直線AC與BD所成的角.則四邊形BOEF為矩形，BF=EO=.EF=BO=.則FED為二面角D-CA-B的平面角，設(shè)為.則DF2=，cos=1時取等號.DB的最小值=2.直線AC與BD所成角的余弦的最大值=.答案：15.已知平面向量，|=1，|=2，·=1，若為平面單位向量，則|·|+|·|的最大值是 .解析：，其幾何意義為在上的投影的絕對

12、值與在上投影的絕對值的和，當與+共線時，取得最大值.答案：7.三、解答題16.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b+c=2acosB.(1)證明：A=2B；(2)若cosB=，求cosC的值.解析：(1)由b+c=2acosB，利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，代入化簡可得：sinB=sin(A-B)，由A，B(0，)，可得0A-B，即可證明.(II)cosB=，可得sinB=.cosA=cos2B=2cos2B-1，sinA=.利用cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+

13、sinAsinB即可得出.答案：(1)b+c=2acosB，sinB+sinC=2sinAcosB，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)，由A，B(0，)，0A-B，B=A-B，或B=-(A-B)，化為A=2B，或A=(舍去).A=2B.(II)cosB=，sinB=.cosA=cos2B=2cos2B-1=-，sinA=.cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=.17.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，nN*.()求通項公式an；()求數(shù)列|an

14、-n-2|的前n項和.解析：()根據(jù)條件建立方程組關(guān)系，求出首項，利用數(shù)列的遞推關(guān)系證明數(shù)列an是公比q=3的等比數(shù)列，即可求通項公式an；()討論n的取值，利用分組法將數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列和等差數(shù)列即可求數(shù)列|an-n-2|的前n項和.答案：()S2=4，an+1=2Sn+1，nN*.a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，當n2時，an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1，兩式相減得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an，即an+1=3an，當n=1時，a1=1，a2=3，滿足an+1=3an，=3，則數(shù)列an是公比q=3的等比數(shù)列，則通項公式an=3n

15、-1.()an-n-2=3n-1-n-2，設(shè)bn=|an-n-2|=|3n-1-n-2|，則b1=|30-1-2|=2，b2=|3-2-2|=1，當n3時，3n-1-n-20，則bn=|an-n-2|=3n-1-n-2，此時數(shù)列|an-n-2|的前n項和Tn=，則Tn=18. 如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE平面ABC，ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.()求證：BF平面ACFD；()求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.解析：()根據(jù)三棱臺的定義，可知分別延長AD，BE，CF，會交于一點，并設(shè)該點為K，并且可以由平面BCFE平面ABC及ACB=

16、90°可以得出AC平面BCK，進而得出BFAC.而根據(jù)條件可以判斷出點E，F(xiàn)分別為邊BK，CK的中點，從而得出BCK為等邊三角形，進而得出BFCK，從而根據(jù)線面垂直的判定定理即可得出BF平面ACFD；()由BF平面ACFD便可得出BDF為直線BD和平面ACFD所成的角，根據(jù)條件可以求出BF=，DF=，從而在RtBDF中可以求出BD的值，從而得出cosBDF的值，即得出直線BD和平面ACFD所成角的余弦值.答案：()延長AD，BE，CF相交于一點K，如圖所示：平面BCFE平面ABC，且ACBC；AC平面BCK，BF平面BCK；BFAC；又EFBC，BE=EF=FC=1，BC=2；BCK

17、為等邊三角形，且F為CK的中點；BFCK，且ACCK=C；BF平面ACFD；()BF平面ACFD；BDF是直線BD和平面ACFD所成的角；F為CK中點，且DFAC；DF為ACK的中位線，且AC=3；DF=；又BF=；在RtBFD中，BD=，cosBDF=；即直線BD和平面ACFD所成角的余弦值為.19.如圖，設(shè)拋物線y2=2px(p0)的焦點為F，拋物線上的點A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|-1，()求p的值；()若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，AN與x軸交于點M，求M的橫坐標的取值范圍.解析：()利用拋物線的性質(zhì)和已知條件求出拋物線方程，進一步求得

18、p值；()設(shè)出直線AF的方程，與拋物線聯(lián)立，求出B的坐標，求出直線AB，F(xiàn)N的斜率，從而求出直線BN的方程，根據(jù)A、M、N三點共線，可求出M的橫坐標的表達式，從而求出m的取值范圍.答案：()由題意可得，拋物線上點A到焦點F的距離等于A到直線x=-1的距離，由拋物線定義得，=1，即p=2；()由()得，拋物線方程為y2=4x，F(xiàn)(1，0)，可設(shè)(t2，2t)，t0，t±1，AF不垂直y軸，設(shè)直線AF：x=sy+1(s0)，聯(lián)立得y2-4sy-4=0.y1y2=-4，B(，-)，又直線AB的斜率為，故直線FN的斜率為，從而得FN：y=-(x-1)，直線BN：y=-，則N(，-)，設(shè)M(m，0)，由A、M、N三點共線，得，于是m=，得m0或m2.經(jīng)檢驗，m0或m2滿足題意.點M的橫坐標的取值范