浙江專用高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形第3講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案1014_第1頁
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文檔簡介

1、 - 1 - 第第 3 3 講講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 最新考綱 1.能畫出ysin x,ycos x,ytan x的圖象,了解三角函數(shù)的周期性;2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間0,2上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點等),理解正切函數(shù)在區(qū)間2,2內(nèi)的單調(diào)性. 知 識 梳 理 1.用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖 (1)正弦函數(shù)ysin x,x0,2的圖象中,五個關(guān)鍵點是:(0,0),2,1 ,(,0),32,1 ,(2,0). (2)余弦函數(shù)ycos x,x0,2的圖象中,五個關(guān)鍵點是:(0,1),2,0 ,(,1),32,0 ,(2,1). 2.正弦

2、、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中kz z) 函數(shù) ysin x ycos x ytan x 圖象 定義域 r r r r x|xr r,且x k2 值域 1,1 1,1 r r 周期性 2 2 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 遞增區(qū)間 2k2,2k2 2k,2k k2,k2 遞減區(qū)間 2k2,2k32 2k,2k 無 對稱中心 (k,0) k2,0 k2,0 對稱軸方程 xk2 xk 無 診 斷 自 測 - 2 - 1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”) (1)由 sin623sin 6知,23是正弦函數(shù)ysin x(xr r)的一個周期.( ) (2)余弦函數(shù)ycos x的對稱軸是y軸.(

3、 ) (3)正切函數(shù)ytan x在定義域內(nèi)是增函數(shù).( ) (4)已知yksin x1,xr r,則y的最大值為k1.( ) (5)ysin|x|是偶函數(shù).( ) 解析 (1)函數(shù)ysin x的周期是 2k(kz z). (2)余弦函數(shù)ycos x的對稱軸有無窮多條,y軸只是其中的一條. (3)正切函數(shù)ytan x在每一個區(qū)間k2,k2(kz z)上都是增函數(shù),但在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),故不是增函數(shù). (4)當k0 時,ymaxk1;當k0,xr r),最小正周期t,則實數(shù)_,函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心為_,單調(diào)遞增區(qū)間是_. 解析 由t2,2,f(x)2sin2x6,令 2sin2x60,

4、得 2x6k(kz z),xk212,對稱中心為k212,0 (kz z),由 2k22x62k2(kz z),得k3xk6(kz z),單調(diào)遞增區(qū)間為k3,k6(kz z). 答案 2 k212,0 (kz z) k3,k6(kz z) 考點一 三角函數(shù)的定義域及簡單的三角不等式 【例 1】 (1)函數(shù)f(x)2tan2x6的定義域是( ) a. x|x6 b. x|x12 c. x|xk6(kz z) d. x|xk26(kz z) - 4 - (2)不等式32cos x0 的解集是_. (3)函數(shù)f(x)64x2log2(2sin x1)的定義域是_. 解析 (1)由正切函數(shù)的定義域,得

5、 2x6k2, 即xk26(kz z),故選 d. (2)由32cos x0,得 cos x32, 由余弦函數(shù)的圖象,得在一個周期,上, 不等式 cos x32的解集為 x|56x56 , 故原不等式的解集為 x|562kx562k,kz z . (3)由題意,得64x20,2sin x10, 由得8x8,由得 sin x12,由正弦曲線得62kx562k(kz z). 所以不等式組的解集為116,76 6,56 136,8 . 答案 (1)d (2) x|562kx562k,kz z (3)116,76 6,56136,8 規(guī)律方法 (1)三角函數(shù)定義域的求法 以正切函數(shù)為例,應(yīng)用正切函數(shù)y

6、tan x的定義域求函數(shù)yatan(x)的定義域. 轉(zhuǎn)化為求解簡單的三角不等式求復(fù)雜函數(shù)的定義域. (2)簡單三角不等式的解法 利用三角函數(shù)線求解. 利用三角函數(shù)的圖象求解. 【訓(xùn)練 1】 (1)函數(shù)ytan 2x的定義域是( ) a. x|xk4,kz z b. x|xk28,kz z c. x|xk8,kz z d. x|xk24,kz z (2)函數(shù)ysin xcos x的定義域為_. 解析 (1)由 2xk2,kz z,得xk24,kz z, - 5 - ytan 2x的定義域為 x|xk24,kz z . (2)法一 要使函數(shù)有意義,必須使 sin xcos x0.利用圖象,在同一坐

7、標系中畫出0,2上ysin x和ycos x的圖象,如圖所示. 在0,2內(nèi),滿足 sin xcos x的x為4,54,再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是 2,所以原函數(shù)的定義域為 x2k4x2k54,kz z . 法二 利用三角函數(shù)線,畫出滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示). 所以定義域為 x2k4x2k54,kz z . 法三 sin xcos x 2sinx40,將x4視為一個整體,由正弦函數(shù)ysin x的圖象和性質(zhì)可知 2kx42k(kz z), 解得 2k4x2k54(kz z). 所以定義域為 x2k4x2k54,kz z . 答案 (1)d (2) x2k4x2k54,kz z 考點

8、二 三角函數(shù)的值域 【例 2】 (1)函數(shù)y2sin x1,x76,136 的值域是( ) a.3,1 b.2,1 c.(3,1 d.(2,1 (2)(2016全國卷)函數(shù)f(x)cos 2x6cos2x的最大值為( ) a.4 b.5 c.6 d.7 (3)函數(shù)ysin xcos xsin xcos x的值域為_. 解析 (1)由正弦曲線知ysin x在76,136 上,1sin x12,所以函數(shù)y2sin x1,x76,136 的值域是(2,1. (2)由f(x)cos 2x6cos2x12sin2x6sin x2sin x322112,所以當 sin x1 時函數(shù)的最大值為 5,故選 b

9、. - 6 - (3)設(shè)tsin xcos x, 則t2sin2xcos2x2sin xcos x, sin xcos x1t22,且2t2. yt22t1212(t1)21. 當t1 時,ymax1; 當t2時,ymin122. 函數(shù)的值域為12 2,1 . 答案 (1)d (2)b (3)12 2,1 規(guī)律方法 求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型: (1)形如yasin xbcos xc的三角函數(shù)化為yasin(x)c的形式,再求值域(最值); (2)形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù),可先設(shè) sin xt,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值); (3)形如yasin xc

10、os xb(sin xcos x)c的三角函數(shù),可先設(shè)tsin xcos x,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值). 【訓(xùn)練 2】 (1)(2017杭州調(diào)研)函數(shù)y2sin6x3(0 x9)的最大值與最小值之和為( ) a.23 b.0 c.1 d.13 (2)(2017金華檢測)函數(shù)y2cos12x31 的最大值是_, 此時x的取值集合為_. 解析 (1)因為 0 x9,所以36x376, 所以 sin6x332,1 . 所以y3,2, 所以ymaxymin2 3.選 a. (2)ymax2(1)13, 此時,12x32k, - 7 - 即x4k83(kz z). 答案 (1)a (2)3 x

11、|x4k83,kz z 考點三 三角函數(shù)的性質(zhì)(多維探究) 命題角度一 三角函數(shù)的奇偶性與周期性 【例 31】 (1)(2017寧波調(diào)研)函數(shù)y2cos2x41 是( ) a.最小正周期為的奇函數(shù) b.最小正周期為的偶函數(shù) c.最小正周期為2的奇函數(shù) d.最小正周期為2的偶函數(shù) (2)(2017衡水中學(xué)金卷)設(shè)函數(shù)f(x)sin12x3cos12x|2的圖象關(guān)于y軸對稱,則( ) a.6 b.6 c.3 d.3 解析 (1)y2cos2x41 cos2x4cos2x2 cos22xsin 2x, 則函數(shù)為最小正周期為的奇函數(shù). (2)f(x)sin12x3cos12x 2sin12x3,由題意

12、可得f(0)2sin32,即 sin31,32k(kz z),56k(kz z),|0)在區(qū)間2,23上是增函數(shù),則的取值范圍是_. 解析 (1)由已知可得函數(shù)為ysin2x3,欲求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間,只需求ysin2x3的單調(diào)增區(qū)間. 由 2k22x32k2,kz z, 得k12xk512,kz z. 故所求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為k12,k512(kz z). (2)法一 由 2k2x2k2,kz z, 得f(x)的增區(qū)間是2k2,2k2(kz z). 因為f(x)在2,23上是增函數(shù), 所以2,232,2. 所以22且232,所以0,34. 法二 因為x2,23,0. 所以x2,23, 又f(

13、x)在區(qū)間2,23上是增函數(shù), 所以2,232,2,則22,232,又0,得 00,得 034. 答案 (1)k12,k512(kz z) (2)0,34 規(guī)律方法 (1)求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,首先化簡成yasin(x)形式,再求yasin(x)的單調(diào)區(qū)間,只需把x看作一個整體代入ysin x的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可, 注意要先把化為正數(shù).(2)對于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)的范圍的問題,首先,明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集,其次,要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而利用它們之間的關(guān)系可求解,另外,若是選擇題利用特值驗證排除法求解更為簡捷. 命題角度三 三角函數(shù)的對稱軸

14、或?qū)ΨQ中心 【例 33】 (1)(2017浙江適應(yīng)性測試)若函數(shù)f(x)2sin(4x)(0,|2,x4為f(x)的零點,x4為yf(x)圖象的對稱軸,且f(x)在18,536上單調(diào),則的最大值為( ) a.11 b.9 c.7 d.5 解析 (1)由題可得,4242k,kz z,3k,kz z,0,函數(shù)f(x)cosx4在2, 上單調(diào)遞增,則的取值范圍是( ) a.12,54 b.12,74 c.34,94 d.32,74 解析 (1)因為f(x)cos2x52cos22xsin 2x,f(x)sin(2x)sin 2xf(x),所以f(x)sin 2x是奇函數(shù),所以f(x)的圖象關(guān)于原點對稱.故選 a. (2)函數(shù)ycos x的單調(diào)遞增區(qū)間為2k,2k,kz z, 則242k,42k(kz z), 解得 4k522k14,kz z, 又由 4k522k140,kz z 且 2k140,kz z, 得k1,所以32,74. 答案 (1)a (2)d 思想方法

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