山東省棗莊市高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試試題 理

1、山東省棗莊市2018屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試試題 理第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（ ）a b c d2.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則（ ）a b c d3.已知，則，的大小關(guān)系是（ ）a b c d4.下圖給出的是計(jì)算值的程序框圖，其中判斷框內(nèi)可填入的條件是（ ）a b c d5.若的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則（ ）a b c d6.七巧板是我們祖先的一項(xiàng)創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形（兩塊全等的小三角形、一塊中三角形和兩塊全等的大三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊

2、形組成的.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（ ）a b c d7.已知，則（ ）a b c d8.函數(shù)的大致圖象為（ ） a b c d9.已知，則滿足成立的取值范圍是（ ）a bc d10.某多面體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是等腰三角形，這些等腰三角形的面積之和為（ ）a b c d11.設(shè)、是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，若上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（ ）a bc d12.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則在上的值域?yàn)椋?）a b c d第卷（共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 13.已知實(shí)

3、數(shù)，滿足，則的最大值為 14.在平行四邊形中，若，則 15.已知圓與直線及都相切，圓心在直線上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 16.已知，若函數(shù)圖象的任何一條對(duì)稱軸與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間，則的取值范圍是 （結(jié)果用區(qū)間表示）三、解答題：本大題共6小題，共70分. 17.為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，.（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.在四棱錐中，平面平面，平面平面.（）證明：平面；（）若底面為矩形，為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.19.隨著高校自主招生活動(dòng)的持續(xù)開(kāi)展，我市高中生掀起了參與數(shù)學(xué)興趣小組的熱潮.為調(diào)查我市高中生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的喜好程度，從甲、乙兩所高中各隨機(jī)抽取了名學(xué)生，記錄他們?cè)?/p>

4、一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間，并將其分成了個(gè)區(qū)間：、，整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間，將學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的喜好程度分為三個(gè)等級(jí)：學(xué)習(xí)時(shí)間（分鐘/天）喜好等級(jí)一般愛(ài)好癡迷（）試估計(jì)甲高中學(xué)生一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間的中位數(shù)（精確到）；（）判斷從甲、乙兩所高中各自隨機(jī)抽取的名學(xué)生一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間的平均值與及方差與的大小關(guān)系（只需寫(xiě)出結(jié)論），并計(jì)算其中的、（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（）記事件：“甲高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的喜好等級(jí)高于乙高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的喜好等級(jí)”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求的概率.20.已知拋物線：，不過(guò)

5、坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn).（）若，證明：直線過(guò)定點(diǎn)；（）設(shè)過(guò)且與相切的直線為，過(guò)且與相切的直線為.當(dāng)與交于點(diǎn)時(shí)，求的方程.21.已知.（）若曲線與軸有唯一公共點(diǎn)，求的取值范圍；（）若不等式對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào).22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（）若，求直線被曲線截得的線段的長(zhǎng)度；（）若，在曲線上求一點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離最小，并求出最小距離.23.選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（）設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí)，恒成立

6、，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案一、選擇題1-5: acbdd 6-10: cbabb 11、12：ad二、填空題13. 14. 15. 16. 三、解答題17.（）當(dāng)時(shí)，有，即.因?yàn)?，所?從而，即.由，知.兩式相減，得.即，即，即.因?yàn)?，所以，?所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以.（）由（）知.數(shù)列的前項(xiàng)和為.18.（）證法1：在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作兩條直線，使得，.因?yàn)?，所以，為兩條相交直線.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?所以.同理可證.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?證法2：在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平?同理可證平面.而過(guò)點(diǎn)作平面的垂線有且

7、僅有一條，所以與重合.所以平面.所以，直線為平面與平面的交線.所以，直線與直線重合.所以平面.（）如圖，分別以、所在方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，.由為的中點(diǎn)，得；由，得.所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即.取，則，.所以.所以.所以，直線與平面所成角的正弦值為.19.解：（）；（）；.（）由題意，甲高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的喜好程度為“一般”、“愛(ài)好”、“癡迷”的概率分別為、.20.設(shè)，.（）解：顯然直線的斜率存在，設(shè)為，直線的方程為.由題意，.由，得.由題意，該方程的判別式，即.則，.因?yàn)?，所以，所以，即，?所以.所以.解得（舍去），或.當(dāng)時(shí)，滿足式.所以直線的方程為.直

8、線過(guò)定點(diǎn).（）解法一：過(guò)點(diǎn)且與：相切的直線的斜率必存在，設(shè)其斜率為，則其方程為，即.由消去并整理得.由判別式，解得.不妨設(shè)的斜率，則的斜率.由韋達(dá)定理，得，即.所以.同理可得.直線的方程為，即直線的方程為.解法二：，所以過(guò)且與相切的直線的斜率為.同理，的斜率為.：，即：.同理：.因?yàn)榕c的交點(diǎn)的坐標(biāo)為方程組的解，所以，且.所以方程，即的兩個(gè)實(shí)根是，.由，解得，.又點(diǎn)，在：上，可得，.直線的方程為，即直線的方程為.解法三：，所以過(guò)且與相切的直線的斜率為.同理，的斜率為.所以，切線：，即.又是拋物線上的點(diǎn)，所以，即.故切線的方程為.同理切線的方程為.又切線與切線均過(guò)點(diǎn)，故，.所以切點(diǎn)、的坐標(biāo)適合方程

9、.所以的方程為.21.（）解：函數(shù)的定義域?yàn)?由題意，函數(shù)有唯一零點(diǎn).（1）若，則.顯然恒成立，所以在上是增函數(shù).又，所以符合題意.（2）若，.；.所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).所以.由題意，必有（若，則恒成立，無(wú)零點(diǎn)，不符合題意）.若，則.令，則.；.所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，且.取正數(shù)，則；取正數(shù)，顯然.而，令，則.當(dāng)時(shí)，顯然.所以在上是減函數(shù).所以，當(dāng)時(shí)，所以.因?yàn)?，所?又在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).則由零點(diǎn)存在性定理，在、上各有一個(gè)零點(diǎn).可見(jiàn)，或不符合題意.注：時(shí)，若利用，說(shuō)明在、上各有一個(gè)零點(diǎn).若，顯然，即.符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值

10、范圍為.（）.令，則對(duì)任意的恒成立.（1）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，所以在上是減函數(shù).所以，當(dāng)時(shí)，.可見(jiàn)，符合題意.（2）若，顯然在上是減函數(shù).取實(shí)數(shù)，顯然.則（利用）.又，在上是減函數(shù)，由零點(diǎn)存在定點(diǎn)，存在唯一的使得.于是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù).所以，當(dāng)時(shí)，.可見(jiàn)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，分如下三種解法：解法一：（3）若，. 令，顯然在上是減函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù).所以，當(dāng)時(shí)，.所以，在上是減函數(shù).所以，當(dāng)時(shí)，.可見(jiàn)，符合題意.（4）若，.令，顯然在上是減函數(shù)，且，所以，存在唯一的，使得，即.于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

11、所以，在上的最大值.將式代入上式，得.所以，當(dāng)時(shí)，所以在上是減函數(shù).所以，當(dāng)時(shí)，.可見(jiàn)，符合題意.綜上，所求的取值范圍是.解法二：（3）若，對(duì)任意的恒成立對(duì)任意的恒成立.令，.，當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù).所以.顯然在上是減函數(shù)，.所以，當(dāng)時(shí)，即對(duì)任意的恒成立.所以符合題意.綜上，所求的取值范圍是.解法三：（3）若，對(duì)任意的恒成立.令，.，當(dāng)時(shí)，所以在上是減函數(shù).所以.所以，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)，時(shí)，.所以，當(dāng)，時(shí)，恒成立.所以符合題意.綜上，所求的取值范圍是.解法四：.令，則對(duì)任意的恒成立.令，當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù).（1）若，則時(shí)，所以在上是增函數(shù).所以，當(dāng)時(shí)，.可見(jiàn)，符合題意.（2）若，.（這里利用了

12、時(shí)，）又在上是增函數(shù)，由零點(diǎn)存在性定理，知存在唯一的，使得.于是，當(dāng)時(shí)，所以，在上是減函數(shù).所以，當(dāng)時(shí)，.可見(jiàn)，不符合題意.綜上，所求的取值范圍是.注：利用，說(shuō)明在上有零點(diǎn).解法五：.令，則對(duì)任意的恒成立.（1）先尋求使結(jié)論成立的充分條件.由，要使對(duì)任意的恒成立.只需要在上是減函數(shù)，即對(duì)任意的恒成立.而，所以，只需要對(duì)任意的恒成立.令，.顯然在上是減函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，.所以在上是減函數(shù).所以在上的最大值.則只需要.可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立.（2）當(dāng)時(shí)，（時(shí)，）.又時(shí)，在上是減函數(shù)，由零點(diǎn)存在定理，存在唯一的，使得.于是，當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù).所以，當(dāng)時(shí)，.可見(jiàn)，不符合題意.綜上，所求的取值

13、范圍是.注：時(shí)，用，說(shuō)明在上有零點(diǎn).22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：（）曲線的普通方程為.當(dāng)時(shí)，直線的普通方程為.由.解得或，直線被曲線截得的線段的長(zhǎng)度為.（）解法一：時(shí)，直線的普通方程為.由點(diǎn)到直線的距離公式，橢圓上的點(diǎn)到直線：的距離為，其中滿足，.由三角函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，取最小值.此時(shí)，.因此，當(dāng)點(diǎn)位于時(shí)，點(diǎn)到的距離取最小值.解法二：當(dāng)時(shí)，直線的普通方程為.設(shè)與平行，且與橢圓相切的直線的方程為.由消去并整理得.由判別式，解得.所以，直線的方程為，或.要使兩平行直線與間的距離最小，則直線的方程為.這時(shí)，與間的距離.此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為方程組的解.因此，當(dāng)點(diǎn)位于時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取最小值.23.選修4-5：不等式選講解：（）當(dāng)時(shí)，.由，解得.所以，不等式的解集為.（）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.綜上，當(dāng)時(shí)，有最小值.故由題意得，