華中科技大學復變函數(shù)試題(一)

1、1復變函數(shù)與積分變換試題(一) 試題 2002一、填空題一、填空題(1) 的模為的模為，輻角主值為，輻角主值為3231 i .。 . (2) 的值為的值為的值為的值為)1Ln( i43e ， .。(3) 伸縮率為伸縮率為處的旋轉(zhuǎn)角為處的旋轉(zhuǎn)角為映射映射 w = z3 z 在在 z = i .。 ，. (4) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)解析的內(nèi)解析的函數(shù)函數(shù)),(),()(yxviyxuzf .。充要條件為充要條件為復變函數(shù)與積分變換試題復變函數(shù)與積分變換試題( (一一) )2復變函數(shù)與積分變換試題(一) 試題 2002(7) 41|3d)2/ 1()(ezzzzz .。(5) 在在 z0 = 1 +

2、 i 處展開成泰勒級數(shù)的處展開成泰勒級數(shù)的)34(1zz .。收斂半徑為收斂半徑為的何種類型的奇點的何種類型的奇點?(6) z = 0 是是zzfz111)(e .。 (8) ，已知已知)2()2()()(21)(0000tttttttttf )(tf .。求求3復變函數(shù)與積分變換試題(一) 試題 2002二、二、驗證驗證),(yxuyxyxu)1(2),( z 平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以為實部的解析函數(shù)，使為實部的解析函數(shù)，使是是.)2(if 三、將函數(shù)三、將函數(shù))2( )1(1)( zzzf分別在分別在 與與 處展開為處展開為1 z2 z洛朗級數(shù)。洛朗級數(shù)。四、計算下

3、列各題四、計算下列各題 2|11dezzzz 02sin1d xxxxd)9( )1(cos022 zzzizzdsin211|3e 1.3.2.4. )()(e1tutft ，)()(2tuttf ，求，求)()(21tftf 。5. 已知已知4復變函數(shù)與積分變換試題(一) 試題 2002六、求把下圖陰影部分映射到單位圓內(nèi)部的保形映射。六、求把下圖陰影部分映射到單位圓內(nèi)部的保形映射。i i33 五、求區(qū)域五、求區(qū)域1Im0, 0Re: zzzD在映射在映射ziw 下的像。下的像。八、設(shè)函數(shù)八、設(shè)函數(shù))(zf在在Rz |上解析，證明上解析，證明. )| (, )(d)()(2|222Rzzfz

4、RzfizRR .2)0(,1)0(, yytyy七、用拉氏變換求解微分方程七、用拉氏變換求解微分方程5復變函數(shù)與積分變換試題(一) 解答 2002一、填空題一、填空題(1) 的模為的模為，輻角主值為，輻角主值為3231 i .。 . (2) 的值為的值為的值為的值為)1Ln( i43e ， .。(3) 伸縮率為伸縮率為處的旋轉(zhuǎn)角為處的旋轉(zhuǎn)角為映射映射 w = z3 z 在在 z = i .。 ，. (4) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)解析的內(nèi)解析的函數(shù)函數(shù)),(),()(yxviyxuzf .。充要條件為充要條件為復變函數(shù)與積分變換試題復變函數(shù)與積分變換試題( (一一) ) 解答解答)2222(3e

5、i ik)12( 14u , v 在在 D 內(nèi)可微，且滿足內(nèi)可微，且滿足 C - R 方程方程6復變函數(shù)與積分變換試題(一) 解答 2002(7) 41|3d)2/ 1()(ezzzzz .。(5) 在在 z0 = 1 + i 處展開成泰勒級數(shù)的處展開成泰勒級數(shù)的)34(1zz .。收斂半徑為收斂半徑為的何種類型的奇點的何種類型的奇點?(6) z = 0 是是zzfz111)(e .。 (8) ，已知已知)2()2()()(21)(0000tttttttttf )(tf .。求求3102coscos00tt 可去奇點可去奇點07復變函數(shù)與積分變換試題(一) 解答 2002故故 u(x , y)

6、 為調(diào)和函數(shù)。為調(diào)和函數(shù)。, 0 yyxxuu yyvd2, )(2xy , )(x ,2)(2cxxx . )2()1(2)(22cyxxiyxzf , 0 xxu, 0 yyu(1)解解二、二、驗證驗證),(yxuyxyxu)1(2),( z 平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以為實部的解析函數(shù)，使為實部的解析函數(shù)，使是是.)2(if (2) 方法一：方法一：偏微分法偏微分法,2yxvyu 由由xyvxu 22由由,2),(22cyxxyxv 即得即得8復變函數(shù)與積分變換試題(一) 解答 2002(2) 方法二：方法二：全微分法全微分法. )2()1(2)(22cyxxiyxz

7、f 解解,2),(22cyxxyxv 即得即得由由,2yxvyu ,22xyvxu 有有yyxxvd2d)22(d , )2(d22yxx ,1 c. )12()1(2)(22 yxxiyxzf,)2(if (3) 由由二、二、驗證驗證),(yxuyxyxu)1(2),( z 平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以為實部的解析函數(shù)，使為實部的解析函數(shù)，使是是.)2(if 9復變函數(shù)與積分變換試題(一) 解答 2002解解(1) 在在 z = 1 處展開處展開 當當 時，時，1|1|0 z)1(1111)( zzzf 0)1()1(1nnzz.)1(01 nnz三、將函數(shù)三、將函數(shù))2

8、( )1(1)( zzzf分別在分別在 與與 處展開為處展開為1 z2 z洛朗級數(shù)。洛朗級數(shù)。1210復變函數(shù)與積分變換試題(一) 解答 2002解解(1) 在在 z = 1 處展開處展開 當當 時，時，1|1| z1)1(111)( zzzf121111)1(12 zz 02)1(1)1(1nnzz.)1(102 nnz三、將函數(shù)三、將函數(shù))2( )1(1)( zzzf分別在分別在 與與 處展開為處展開為1 z2 z洛朗級數(shù)。洛朗級數(shù)。11復變函數(shù)與積分變換試題(一) 解答 2002 當當 時，時，1| 2|0 z.)2()1()(01 nnnzzf 當當 時，時，1| 2| z.)2(1)

9、1()(02 nnnzzf12解解(2) 在在 z = 2 處展開處展開三、將函數(shù)三、將函數(shù))2( )1(1)( zzzf分別在分別在 與與 處展開為處展開為1 z2 z洛朗級數(shù)。洛朗級數(shù)。12復變函數(shù)與積分變換試題(一) 解答 2002.1 四、四、zzzizzdsin211|3e 1.解解方法一方法一 利用留數(shù)求解利用留數(shù)求解z = 0 為二級極點，為二級極點，)sin(lim221320e zzziizz原式原式方法二方法二 利用高階導數(shù)公式求解利用高階導數(shù)公式求解.1 0)sin(! 21e zzz原式原式13復變函數(shù)與積分變換試題(一) 解答 2002)(e3211)1( ! 31)

10、1( ! 211111)1( zzzzzz,111! 21)( z.3 i 232 i原式原式2.四、四、 2|11dezzzz解解 z = 1 為本性奇點，為本性奇點，14復變函數(shù)與積分變換試題(一) 解答 2002 02cos3)2d(,cos3d20 3.四、四、 02sin1d 022cos11d(1) 原式原式 =解解令令 則則,e iz ,21cos2zz ,ddz iz 原式原式 1|2213dzz izzz.16d21|2 zzzzi15復變函數(shù)與積分變換試題(一) 解答 2002.2 .2232 z,2231 z3.四、四、 02sin1d(1)解解16214zzz 原式原式

11、 1|2213dzz izzz.16d21|2 zzzzi(2) 記記,161)(2 zzzf則則 有兩個一級極點：有兩個一級極點：)(zf( ( 不在不在 內(nèi)內(nèi)) )1| z2z, )(Res221zzfii 原式原式 =16復變函數(shù)與積分變換試題(一) 解答 2002izz izzzzf )9( )1(, )(Res221e,161ei ,48, )(Res32eizzf .48)3(31ee ,3,21iziz 在上半平面有兩個一級極點在上半平面有兩個一級極點4.四、四、xxxxd)9( )1(cos022 ,)9( )1()(22e zzzfz i令令解解ee)4816(2Re2131

12、iii 原式原式 17復變函數(shù)與積分變換試題(一) 解答 2002(1) 當當 時，時，0 t;0)()(21 tftf d)()()(021 tetftft.)1(ett )()(e1tutft ，)()(2tuttf ，求，求)()(21tftf 。5. 已知已知四、四、t)(1 f )(2 f t )(2 tf)(2 f)(1 f)(1 f)(2 f)(2 tf(2) 當當 時，時，0 t d)()()()(2121 tfftftf解解,d)()(21 tff 18復變函數(shù)與積分變換試題(一) 解答 20020(z)i 12/ )1(101iiic 022/12iicziw 五、求區(qū)域五

13、、求區(qū)域1Im0, 0Re: zzzD在映射在映射下的像。下的像。解解(1+i)/2(w)02 1 3ci 0103ici/22c1+i 1c119復變函數(shù)與積分變換試題(一) 解答 2002 i3i i33 (z)六、求把下圖陰影部分映射到單位圓內(nèi)部的保形映射。六、求把下圖陰影部分映射到單位圓內(nèi)部的保形映射。312zz izizw 22331 zzz解解(z2)(z1)3/(w)izzizzw 33333320復變函數(shù)與積分變換試題(一) 解答 2002,1)()0()0()(22ssYysysYs ,1)(2)(22ssYssYs .)1(112)(222 sssssY.2)0(,1)0(

14、, yytyy七、用拉氏變換求解微分方程七、用拉氏變換求解微分方程代入初值得代入初值得求解得求解得對方程兩邊取拉氏變換得對方程兩邊取拉氏變換得解解 (1) 令令,)()(tysY 21復變函數(shù)與積分變換試題(一) 解答 2002)1(112)(222 sssssY1111212222 sssss.sin3cos)(tttty 解解 (2) 求拉氏逆變換求拉氏逆變換方法一方法一 利用部分分式求解利用部分分式求解,1311222 ssss.2)0(,1)0(, yytyy七、用拉氏變換求解微分方程七、用拉氏變換求解微分方程22復變函數(shù)與積分變換試題(一) 解答 2002解解 (2) 求拉氏逆變換求

15、拉氏逆變換方法二方法二 利用留數(shù)求解利用留數(shù)求解)1(112)(222 sssssY,)1(122223 ssss兩個一階極點兩個一階極點,3, 2is 有一個二階極點有一個二階極點,01 s0,)(RessYt se; t )1(e)12(ddlim222320sssssst ss.2)0(,1)0(, yytyy七、用拉氏變換求解微分方程七、用拉氏變換求解微分方程23復變函數(shù)與積分變換試題(一) 解答 2002解解 (2) 求拉氏逆變換求拉氏逆變換方法二方法二 利用留數(shù)求解利用留數(shù)求解.sin3costtt ;2321et ii ittyt it it it i232)(eeeeisstissssisY )()12(,)(Res223et se;2321et ii isstissssisY )()12(,)(Res223et se.2)0(,1)0