時(shí)間序列測(cè)和指數(shù)

1、1 時(shí)間序列分析是一種廣泛使用的數(shù)據(jù)分析方法，它主要用來(lái)描述與探索自然和社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象隨時(shí)間發(fā)展變化的數(shù)量規(guī)律性。通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，我們希望讀者能夠了解不同的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型，比如移動(dòng)平均法、指數(shù)平滑法、線性趨勢(shì)、二次趨勢(shì)、指數(shù)趨勢(shì)、自回歸和用于季節(jié)性數(shù)據(jù)的最小二乘模型，掌握統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中模型選擇的方法，并同時(shí)了解指數(shù)的一些基礎(chǔ)知識(shí)。 本章內(nèi)容：本章內(nèi)容： 14.1 時(shí)間序列模型的組成因素 14.2 年度時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平滑 14.3 基于最小二乘法的趨勢(shì)擬合和預(yù)測(cè) 14.4 自回歸模型用于擬合和預(yù)測(cè)趨勢(shì) 14.5 時(shí)間序列預(yù)測(cè)季節(jié)數(shù)據(jù) 14.6 指數(shù) 第第14章章 時(shí)間序列預(yù)測(cè)和指數(shù)時(shí)間序列預(yù)測(cè)和指數(shù)

2、 214.1 時(shí)間序列模型的組成因素時(shí)間序列模型的組成因素 時(shí)間序列預(yù)測(cè)有一個(gè)基本假設(shè)，那就是影響過(guò)去和現(xiàn)在活動(dòng)的因素將繼續(xù)以幾乎相同的方式影響將來(lái)。因此，時(shí)間序列預(yù)測(cè)的主要目的是識(shí)別和區(qū)分這些影響因素，從而達(dá)到幫助我們進(jìn)行預(yù)測(cè)的目的。為了達(dá)到這些目標(biāo)，可以用許多數(shù)學(xué)模型來(lái)測(cè)量一個(gè)時(shí)間序列的基本組成因素。一般說(shuō)來(lái)，一個(gè)時(shí)間序列主要包括如下因素：p趨勢(shì)成分p波動(dòng)成分循環(huán)因素隨機(jī)因素季節(jié)因素31.年度時(shí)間序列模型年度時(shí)間序列模型iiiiictyiticii其中：i年的趨勢(shì)分量值；i年的周期分量值；i年的不規(guī)則分量值。42.月度或季度時(shí)間序列模型月度或季度時(shí)間序列模型iiiiiicstyis=i時(shí)期

3、的季節(jié)分量值。 iticii其中：i時(shí)期的趨勢(shì)分量值；i時(shí)期的周期分量值；i時(shí)期的不規(guī)則分量值。514.2 年度時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平滑年度時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平滑 在考查年度數(shù)據(jù)時(shí)，由于受到年與年之間波動(dòng)的影響，我們對(duì)該序列長(zhǎng)期趨勢(shì)沒(méi)有很明顯的直觀印象，從而不能確定序列中是否存在長(zhǎng)期上升或下降的趨勢(shì)。想要對(duì)數(shù)據(jù)一段時(shí)期內(nèi)的整體變化有更好的了解，可以運(yùn)用移動(dòng)平均法或指數(shù)平滑法。 1.移動(dòng)平均法 移動(dòng)平均法是對(duì)于選定的一個(gè)長(zhǎng)度為l的時(shí)期，通過(guò)計(jì)算l個(gè)觀測(cè)值的均值來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的值，移動(dòng)平均值以ma(l)表示。 結(jié)果取決于l的選取。 例如，5年移動(dòng)平均，選取l=5; 7年移動(dòng)平均，選取l=76舉例：5年移動(dòng)平均第

4、1個(gè)移動(dòng)平均：第2個(gè)移動(dòng)平均：5yyyyyma(5)543215yyyyyma(5)654327案例：年度銷售數(shù)據(jù)案例：年度銷售數(shù)據(jù)年年銷售額銷售額1234567891011 etc2340252732483337375040 etc8案例：年度銷售數(shù)據(jù)案例：年度銷售數(shù)據(jù)年年1234567891011銷售額銷售額2340252732483337375040平均年平均年34567895年移動(dòng)年移動(dòng)平均平均29.434.433.035.437.441.039.455432135322725402329.4etc9年度數(shù)據(jù)與移動(dòng)平均年度數(shù)據(jù)與移動(dòng)平均 5年移動(dòng)平均平滑了數(shù)據(jù)并且顯示出某種潛在的變化趨

5、勢(shì)102.2.指數(shù)平滑指數(shù)平滑 指數(shù)平滑法也是一種時(shí)間序列平滑的方法。除了平滑作用，當(dāng)不確定長(zhǎng)期趨勢(shì)是否存在或長(zhǎng)期趨勢(shì)的類型時(shí)，還可以運(yùn)用指數(shù)平滑法進(jìn)行短期(即將來(lái)的某個(gè)時(shí)期)預(yù)測(cè)。 之所以稱之為指數(shù)平滑，是因?yàn)檫@個(gè)方法包含一系列指數(shù)權(quán)重的移動(dòng)平均。最近的一個(gè)值權(quán)重值最高，之前的值權(quán)重值較之略小，依次遞減，第一個(gè)值的權(quán)重最小。整個(gè)序列中，每個(gè)指數(shù)平滑值都是在所有過(guò)去值的基礎(chǔ)上得出的，這是指數(shù)平滑不同于移動(dòng)平均的另一個(gè)優(yōu)勢(shì)。盡管指數(shù)平滑計(jì)算看上去似乎很麻煩，但是可以運(yùn)用microsoft excel進(jìn)行計(jì)算。 11指數(shù)平滑模型指數(shù)平滑模型11ye 1iiie)w1(wye其中：ei = 時(shí)期 i

6、的指數(shù)平滑值ei-1 = 時(shí)期 i 1的指數(shù)平滑值 yi = 時(shí)期 i的觀測(cè)值 w = 權(quán)重（平滑系數(shù)） 0 w 1i = 2, 3, 4, 12指數(shù)平滑舉例指數(shù)平滑舉例假設(shè)權(quán)重 w = 0.2時(shí)期時(shí)期 (i)銷售額銷售額(yi)前一時(shí)期的預(yù)前一時(shí)期的預(yù)測(cè)值測(cè)值 (ei-1)本時(shí)期的指數(shù)平滑值本時(shí)期的指數(shù)平滑值 (ei)12345678910 23402527324833373750 -2326.426.1226.29627.43731.54931.84032.87233.69723(.2)(40)+(.8)(23)=26.4(.2)(25)+(.8)(26.4)=26.12(.2)(27)+

7、(.8)(26.12)=26.296(.2)(32)+(.8)(26.296)=27.437(.2)(48)+(.8)(27.437)=31.549(.2)(48)+(.8)(31.549)=31.840(.2)(33)+(.8)(31.840)=32.872(.2)(37)+(.8)(32.872)=33.697(.2)(50)+(.8)(33.697)=36.9581iiiw)e(1wyee1 = y113預(yù)測(cè)時(shí)期預(yù)測(cè)時(shí)期 i i + 1 + 1當(dāng)前時(shí)期 (i)的平滑值為下一時(shí)期(i+1)的預(yù)測(cè)值：i1iey1414.3 基于最小二乘法的趨勢(shì)擬合和預(yù)測(cè)基于最小二乘法的趨勢(shì)擬合和預(yù)測(cè)運(yùn)用回歸

8、分析預(yù)測(cè)趨勢(shì)線：年時(shí)期x銷售額y19992000200120022003200401234520403050706501ybb x以時(shí)間 x 作為自變量：15基于最小二乘法的趨勢(shì)擬合和預(yù)測(cè)基于最小二乘法的趨勢(shì)擬合和預(yù)測(cè)線性趨勢(shì)方程為：21.9059.5714 iiyx年時(shí)期x銷售額y19992000200120022003200401234520403050706516基于最小二乘法的趨勢(shì)擬合和預(yù)測(cè)基于最小二乘法的趨勢(shì)擬合和預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)間序列體現(xiàn)出非線性趨勢(shì)時(shí)，可以采用非線性回歸模型二次趨勢(shì)預(yù)測(cè)方程：檢驗(yàn)二次項(xiàng)的顯著性：也可以嘗試其它非線性函數(shù)類型以獲取最佳擬合方程。2210iixbxbby17基

9、于最小二乘法的趨勢(shì)擬合和預(yù)測(cè)基于最小二乘法的趨勢(shì)擬合和預(yù)測(cè)指數(shù)趨勢(shì)預(yù)測(cè)方程：01log( )iiybb x其中 b0 = log(0)的估計(jì)b1 = log(1)的估計(jì)說(shuō)明：%100) 1(1 為年度復(fù)增長(zhǎng)率的估計(jì)值（用%表示）1814.4 自回歸模型用于擬合和趨勢(shì)預(yù)測(cè)自回歸模型用于擬合和趨勢(shì)預(yù)測(cè) 時(shí)間序列中的觀測(cè)值往往與之前或之后的觀測(cè)值高度相關(guān)，這種相關(guān)稱為自相關(guān)。自回歸模型是用來(lái)預(yù)測(cè)含有自相關(guān)的時(shí)間序列的一種方法。一階自相關(guān)指一個(gè)時(shí)間序列中連續(xù)值之間的相關(guān)關(guān)系。二階自相關(guān)指兩個(gè)時(shí)期的值之間的相關(guān)關(guān)系。p階自相關(guān)指一個(gè)時(shí)間序列中p個(gè)時(shí)期的值之間的相關(guān)關(guān)系。 p 階自回歸模型：ip- ip2

10、- i21- i10iyayayaay隨機(jī)誤差1914.5 時(shí)間序列預(yù)測(cè)季節(jié)數(shù)據(jù)時(shí)間序列預(yù)測(cè)季節(jié)數(shù)據(jù)回顧包含季節(jié)變動(dòng)的經(jīng)典時(shí)間序列模型 ：假設(shè)季節(jié)為季度：定義3個(gè)虛擬變量：若為第1季度，則q1 = 1，否則為0若為第2季度，則q2 = 1，否則為0 若為第3季度， 則q3 = 1，否則為0 (若q1 = q2 = q3 = 0，那么第4季度為1）iiiiiytsci20時(shí)間序列預(yù)測(cè)季節(jié)數(shù)據(jù)時(shí)間序列預(yù)測(cè)季節(jié)數(shù)據(jù)變換為線性形式：31201234ixqqqiiy 01122334log( )log()log()log()log()log()log( )iiiyxqqq(1-1)*100% = 季度復(fù)

11、增長(zhǎng)率的估計(jì)值 ( %)2= 第1季度對(duì)第4季度的乘子估計(jì)值3=第2季度對(duì)第4季度的乘子估計(jì)值4=第3季度對(duì)第4季度的乘子估計(jì)值21季節(jié)模型估計(jì)季節(jié)模型估計(jì)指數(shù)預(yù)測(cè)方程：01213243log( )iiybb xb qb qb q其中 b0 = log(0) 的估計(jì)值b1 = log(1)的估計(jì)值 etc說(shuō)明：%100)1(1 = 季度復(fù)增長(zhǎng)率估計(jì)值 ( %) =第1季度對(duì)第4季度的乘子估計(jì)值 =第2季度對(duì)第4季度的乘子估計(jì)值 =第3季度對(duì)第4季度的乘子估計(jì)值23422季度模型舉例：季度模型舉例：假設(shè)預(yù)測(cè)方程為：123log( )3.43.017.082.073.022iiyxqqq b0 =

12、 3.43, so b1 = .017, so b2 = -.082, so b3 = -.073, so b4 = .022, so53.2691100b0040.1101b1828. 0102b2845.0103b3052.1104b423季度模型舉例：季度模型舉例：解釋：53.26910040.11827.02845.03052.14第1年第1季度未校正的趨勢(shì)值4.0% = 季度復(fù)增長(zhǎng)率估計(jì)值以4%的季度增長(zhǎng)率校正后，第1季度的平均銷售額是第4季度平均銷售額的 82.7% 以4%的季度增長(zhǎng)率校正后，第2季度的平均銷售額是第4季度平均銷售額的 84.5% 以4%的季度增長(zhǎng)率校正后，第3季度

13、的平均銷售額是第4季度平均銷售額的 105.2%值：2414.6 指數(shù)指數(shù) 簡(jiǎn)單地說(shuō)，指數(shù)是一個(gè)時(shí)間序列中某個(gè)特定時(shí)點(diǎn)的觀測(cè)值與另一個(gè)時(shí)點(diǎn)觀測(cè)值的百分比。 通常，在商業(yè)和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，指數(shù)被用作商業(yè)或經(jīng)濟(jì)活動(dòng)變化的指示值。指數(shù)有很多種，比如價(jià)格指數(shù)、數(shù)量指數(shù)、價(jià)格指數(shù)和社會(huì)指數(shù)。這里，我們只對(duì)價(jià)格指數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。 價(jià)格指數(shù)常常用來(lái)比較一種商品在給定時(shí)期的價(jià)格與在過(guò)去某一特定時(shí)間點(diǎn)的價(jià)格。簡(jiǎn)單價(jià)格指數(shù)主要用于單一商品。總價(jià)格指數(shù)用于跟蹤一組商品(稱之為市場(chǎng)籃)在給定時(shí)期的價(jià)格與過(guò)去某一特定時(shí)間點(diǎn)價(jià)格的變化。統(tǒng)計(jì)上，我們把作為比較基礎(chǔ)的過(guò)去某一特定時(shí)間點(diǎn)稱為基期。如果可能的話，在為某一指數(shù)選擇基期

14、時(shí)，我們最好選擇經(jīng)濟(jì)狀況較為穩(wěn)定的時(shí)期，而不要選擇增長(zhǎng)經(jīng)濟(jì)的頂峰或衰退經(jīng)濟(jì)的低谷。此外，基期應(yīng)該選擇相對(duì)較近的時(shí)期，這樣在比較時(shí)就不會(huì)因?yàn)闀r(shí)間跨度太大而受到技術(shù)變化、消費(fèi)者態(tài)度和習(xí)慣等因素的影響。 25簡(jiǎn)單價(jià)格指數(shù)簡(jiǎn)單價(jià)格指數(shù)100iibasepip其中 ii = i年的價(jià)格指數(shù) pi = i年的價(jià)格 pbase = 基年的價(jià)格26指數(shù)舉例：指數(shù)舉例：1998 年 2006年的機(jī)票價(jià)格：2 .92)100(295272100200019981998ppi年年價(jià)格價(jià)格指數(shù)指數(shù) (基年基年 = 2000)199827292.2199928897.620002951002001311105.4200

15、2322109.22003320108.52004348118.02005366124.12006384130.2100)100(295295100200020002000ppi2 .130)100(295384100200020062006ppi27指數(shù)：解釋指數(shù)：解釋1998年的價(jià)格是基年價(jià)格的92.2%2000年的價(jià)格是基年價(jià)格的 100% (根據(jù)定義，2000年時(shí)基年)2006年的價(jià)格是基年價(jià)格的130.2%2 .92)100(295272100200019981998ppi100)100(295295100200020002000ppi2 .130)100(295384100200020062006ppi28綜合價(jià)格指數(shù)綜合價(jià)格指數(shù)綜合價(jià)格指數(shù)用于度量一組商品相對(duì)于基期的變化率：綜合價(jià)格指數(shù)非加權(quán)綜合價(jià)格指數(shù)加權(quán)綜合價(jià)格指數(shù)paasche 指數(shù)laspeyres 指數(shù)29非加權(quán)綜合價(jià)格指數(shù)非加權(quán)綜合價(jià)格指數(shù)非加權(quán)綜合價(jià)格指數(shù)公式：( )( )1(0)1100ntitiuniipip= 時(shí)間 t的非加權(quán)綜合價(jià)格指數(shù)= 一組商品在時(shí)間