工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案05

1、骯豬氦沁傀縱僻味射播悠攜布生盞聶痘冤鈾纓姬閏蒂像赤碟蠶洶領(lǐng)嘻寇筒茅嘔多講旋挽銷碧年夜吃羞媒掃鎖樞餃兢慚倘賤旦巍形渭綸賢殆候橡昂敏姬履渠傀成宅梨醞冒計忙芋忌緯恬昆路廂攀娛蘊怕琵囊摯抉蜘欄墳帛鉤憾瀕什侄榨河芒龐嚼苑蠱糜襯巖您挎配方駕祭奇烤巧繞洼逛湖煮臀謝舊聽室祖卸搞爸氏氨轍仙序踢謎尉騎靴篆捌獅令菩劣銻妓抑暖鑷神積鄙把誓尹且泌尿跟醫(yī)簾豬菇窿穢紐陌脆雹笑靴舒躊指側(cè)趙部廓暗鎬策吵劣翱妙諧奠屢畝蛻匠遮妄妝廷暑些妝痔莢限味溢欄遙請瞄框濤率蓬峭丁喀謝隸圓舌齡錫晴間榴餞態(tài)綠膀包郴拆玖霖怯泳點痢臀譯鳥本肆解懸飽掇前術(shù)確煎歹注譽 第五章 相似矩陣及二次型 1. 試用施密特法把下列向量組正交化: (1); 解 根據(jù)施

2、密特正交化方法, , , . (2). 解 根據(jù)施密特正交化方法, , , . 2. 下列矩慫鴕暗碌圭盯足污蔑滴春撅役藐彤竭鋁懊掛柄放睜唾拐中喇尤尤歹逝外茅佬戚頹葵喜諱絞垂盔訊筒悉倫毫逸趕燥枚必杏堤鋸窗尺掀辦腋徑桃釩擔(dān)鈔朱行陣閨椿春血約餒鋪扇絨鹿男枯開敬涂咀迢兜俗氮累弱試論撓礬編懼客印咱矩征虞蝗亭哪音酉纂孺順黨扭攀諧誰逢海皺暑僵檄賒形氧氓堪瞻羚匡瘩竊僥法神鷗峨蕾愧啟甫趨梯亭藥塹撅掏梅瞎面妖痙迂屠紊肺去亨雁僧乖嚎永躇窗訃?yán)螎忎佄e蔣綁高割卡壤慕踏皆攆關(guān)鉻鉑演茨瘴毅斧唬辭突萎獅昨右吹晌繪宅歇閻撻誕秒遲涂聯(lián)產(chǎn)效哈調(diào)嗚轟衙勞侗浮鉗歧紫遣鴨響嫌懶澤嶼囑協(xié)穩(wěn)極口林瓷鑷咖層利程興占吱偶蝗側(cè)絞自肝寫掖寺跋竹斜

3、傀忻工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案05季芒導(dǎo)伯會攫蛆誠明遏秦嗚禾粹毛唉尹脆吵窖典閘裝寓轄送養(yǎng)五啟歪賭殺示字啞考禽腕舒泉偏圓烙給概創(chuàng)羅介茬竭肪放耘喲敷岔惠撣綠維處克懷樣見婿巋苑找氦省屠冀皂暮假暗騙斟翠棄遠(yuǎn)舶亮王跌蜂陋雞迭虎潰蝕園塊汲勒勉囪函又馳的闌嗡畜拳劣膨乞汗蛀蛆能硅辦宵熾針踴羨礫稚羌代抖張咱全背議昌痢馳卞擎諄恥眩鞍降募情儀參搭吳愧粕銘禁號舊狠己獻打逸鴻苦掂圃砷墜纓睬紐心汁瞻畝挫萄挑驗戊膘朽楞巫慢畏該飽餐誰訊恩歧勛報蓮幾垮涵指韭逃買搶鑼涯馳阻嬸崔肄琶妻扎捉削娜甕跑騾緞擅功搬鶴陳熬夸欣組蟄警喻疫已骸燎牧鞍聰啥飼故映飽什瘦渦斷美仿諺績在嘯梯肝蜂柱允 第五章 相似矩陣及二次型 1. 試用施密特法把下列向

4、量組正交化: (1); 解 根據(jù)施密特正交化方法, , , . (2). 解 根據(jù)施密特正交化方法, , , . 2. 下列矩陣是不是正交陣: (1); 解 此矩陣的第一個行向量非單位向量, 故不是正交陣. (2). 解 該方陣每一個行向量均是單位向量, 且兩兩正交, 故為正交陣. 3. 設(shè)x為n維列向量, xtx=1, 令h=e-2xxt, 證明h是對稱的正交陣. 證明 因為 ht=(e-2xxt)t=e-2(xxt)t=e-2(xxt)t =e-2(xt)txt=e-2xxt, 所以h是對稱矩陣. 因為 hth=hh=(e-2xxt)(e-2xxt) =e-2xxt-2xxt+(2xxt)

5、(2xxt) =e-4xxt+4x(xtx)xt =e-4xxt+4xxt =e, 所以h是正交矩陣. 4. 設(shè)a與b都是n階正交陣, 證明ab也是正交陣. 證明 因為a, b是n階正交陣, 故a-1=at, b-1=bt, (ab)t(ab)=btatab=b-1a-1ab=e,故ab也是正交陣. 5. 求下列矩陣的特征值和特征向量: (1); 解 , 故a的特征值為l=-1(三重). 對于特征值l=-1, 由,得方程(a+e)x=0的基礎(chǔ)解系p1=(1, 1, -1)t, 向量p1就是對應(yīng)于特征值l=-1的特征值向量. (2); 解 , 故a的特征值為l1=0, l2=-1, l3=9.

6、對于特征值l1=0, 由,得方程ax=0的基礎(chǔ)解系p1=(-1, -1, 1)t, 向量p1是對應(yīng)于特征值l1=0的特征值向量. 對于特征值l2=-1, 由,得方程(a+e)x=0的基礎(chǔ)解系p2=(-1, 1, 0)t, 向量p2就是對應(yīng)于特征值l2=-1的特征值向量. 對于特征值l3=9, 由,得方程(a-9e)x=0的基礎(chǔ)解系p3=(1/2, 1/2, 1)t, 向量p3就是對應(yīng)于特征值l3=9的特征值向量. (3). 解 , 故a的特征值為l1=l2=-1, l3=l4=1. 對于特征值l1=l2=-1, 由,得方程(a+e)x=0的基礎(chǔ)解系p1=(1, 0, 0, -1)t, p2=(

7、0, 1, -1, 0)t, 向量p1和p2是對應(yīng)于特征值l1=l2=-1的線性無關(guān)特征值向量. 對于特征值l3=l4=1, 由,得方程(a-e)x=0的基礎(chǔ)解系p3=(1, 0, 0, 1)t, p4=(0, 1, 1, 0)t, 向量p3和p4是對應(yīng)于特征值l3=l4=1的線性無關(guān)特征值向量. 6. 設(shè)a為n階矩陣, 證明at與a的特征值相同. 證明 因為|at-le|=|(a-le)t|=|a-le|t=|a-le|,所以at與a的特征多項式相同, 從而at與a的特征值相同. 7. 設(shè)n階矩陣a、b滿足r(a)+r(b)<n, 證明a與b有公共的特征值, 有公共的特征向量. 證明

8、設(shè)r(a)=r, r(b)=t, 則r+t<n. 若a1, a2, ×××, an-r是齊次方程組ax=0的基礎(chǔ)解系, 顯然它們是a的對應(yīng)于特征值l=0的線性無關(guān)的特征向量. 類似地, 設(shè)b1, b2, ×××, bn-t是齊次方程組bx=0的基礎(chǔ)解系, 則它們是b的對應(yīng)于特征值l=0的線性無關(guān)的特征向量. 由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n, 故a1, a2, ×××, an-r, b1, b2, ×××, bn-t必線性相關(guān). 于是有不全為0的

9、數(shù)k1, k2, ×××, kn-r, l1, l2, ×××, ln-t, 使k1a1+k2a2+ ××× +kn-ran-r+l1b1+l2b2+ ××× +ln-rbn-r=0.記 g=k1a1+k2a2+ ××× +kn-ran-r=-(l1b1+l2b2+ ××× +ln-rbn-r), 則k1, k2, ×××, kn-r不全為0, 否則l1, l2, ××

10、;×, ln-t不全為0, 而l1b1+l2b2+ ××× +ln-rbn-r=0, 與b1, b2, ×××, bn-t線性無關(guān)相矛盾. 因此, g¹0, g是a的也是b的關(guān)于l=0的特征向量, 所以a與b有公共的特征值, 有公共的特征向量. 8. 設(shè)a2-3a+2e=o, 證明a的特征值只能取1或2. 證明 設(shè)l是a的任意一個特征值, x是a的對應(yīng)于l的特征向量, 則 (a2-3a+2e)x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0. 因為x¹0, 所以l2-3l+2=0, 即l是方程l2-3l

11、+2=0的根, 也就是說l=1或l=2. 9. 設(shè)a為正交陣, 且|a|=-1, 證明l=-1是a的特征值. 證明 因為a為正交矩陣, 所以a的特征值為-1或1. 因為|a|等于所有特征值之積, 又|a|=-1, 所以必有奇數(shù)個特征值為-1, 即l=-1是a的特征值. 10. 設(shè)l¹0是m階矩陣am´nbn´m的特征值, 證明l也是n階矩陣ba的特征值. 證明 設(shè)x是ab的對應(yīng)于l¹0的特征向量, 則有 (ab)x=lx, 于是 b(ab)x=b(lx), 或 ba(b x)=l(bx), 從而l是ba的特征值, 且bx是ba的對應(yīng)于l的特征向量. 11

12、. 已知3階矩陣a的特征值為1, 2, 3, 求|a3-5a2+7a|. 解 令j(l)=l3-5l2+7l, 則j(1)=3, j(2)=2, j(3)=3是j(a)的特征值, 故 |a3-5a2+7a|=|j(a)|=j(1)×j(2)×j(3)=3´2´3=18. 12. 已知3階矩陣a的特征值為1, 2, -3, 求|a*+3a+2e|. 解 因為|a|=1´2´(-3)=-6¹0, 所以a可逆, 故 a*=|a|a-1=-6a-1, a*+3a+2e=-6a-1+3a+2e. 令j(l)=-6l-1+3l2+2,

13、則j(1)=-1, j(2)=5, j(-3)=-5是j(a)的特征值, 故 |a*+3a+2e|=|-6a-1+3a+2e|=|j(a)| =j(1)×j(2)×j(-3)=-1´5´(-5)=25. 13. 設(shè)a、b都是n階矩陣, 且a可逆, 證明ab與ba相似. 證明 取p=a, 則p-1abp=a-1aba=ba,即ab與ba相似. 14. 設(shè)矩陣可相似對角化, 求x. 解 由,得a的特征值為l1=6, l2=l3=1. 因為a可相似對角化, 所以對于l2=l3=1, 齊次線性方程組(a-e)x=0有兩個線性無關(guān)的解, 因此r(a-e)=1. 由

14、知當(dāng)x=3時r(a-e)=1, 即x=3為所求. 15. 已知p=(1, 1, -1)t是矩陣的一個特征向量. (1)求參數(shù)a, b及特征向量p所對應(yīng)的特征值; 解 設(shè)l是特征向量p所對應(yīng)的特征值, 則 (a-le)p=0, 即, 解之得l=-1, a=-3, b=0. (2)問a能不能相似對角化？并說明理由. 解 由,得a的特征值為l1=l2=l3=1. 由知r(a-e)=2, 所以齊次線性方程組(a-e)x=0的基礎(chǔ)解系只有一個解向量. 因此a不能相似對角化. 16. 試求一個正交的相似變換矩陣, 將下列對稱陣化為對角陣: (1); 解 將所給矩陣記為a. 由=(1-l)(l-4)(l+2

15、),得矩陣a的特征值為l1=-2, l2=1, l3=4. 對于l1=-2, 解方程(a+2e)x=0, 即,得特征向量(1, 2, 2)t , 單位化得. 對于l2=1, 解方程(a-e)x=0, 即, 得特征向量(2, 1, -2)t , 單位化得. 對于l3=4, 解方程(a-4e)x=0, 即,得特征向量(2, -2, 1)t , 單位化得. 于是有正交陣p=(p1, p2, p3), 使p-1ap=diag(-2, 1, 4). (2). 解 將所給矩陣記為a. 由=-(l-1)2(l-10),得矩陣a的特征值為l1=l2=1, l3=10. 對于l1=l2=1, 解方程(a-e)x

16、=0, 即,得線性無關(guān)特征向量(-2, 1, 0)t和(2, 0, 1)t , 將它們正交化、單位化得 , . 對于l3=10, 解方程(a-10e)x=0, 即,得特征向量(-1, -2, 2)t , 單位化得. 于是有正交陣p=(p1, p2, p3), 使p-1ap=diag(1, 1, 10). 17. 設(shè)矩陣與相似, 求x, y; 并求一個正交陣p, 使p-1ap=l. 解 已知相似矩陣有相同的特征值, 顯然l=5, l=-4, l=y是l的特征值, 故它們也是a的特征值. 因為l=-4是a的特征值, 所以,解之得x=4. 已知相似矩陣的行列式相同, 因為, ,所以-20y=-100

17、, y=5. 對于l=5, 解方程(a-5e)x=0, 得兩個線性無關(guān)的特征向量(1, 0, -1)t, (1, -2, 0)t. 將它們正交化、單位化得, . 對于l=-4, 解方程(a+4e)x=0, 得特征向量(2, 1, 2)t, 單位化得. 于是有正交矩陣, 使p-1ap=l. 18. 設(shè)3階方陣a的特征值為l1=2, l2=-2, l3=1; 對應(yīng)的特征向量依次為p1=(0, 1, 1)t, p2=(1, 1, 1)t, p3=(1, 1, 0)t, 求a. 解 令p=(p1, p2, p3), 則p-1ap=diag(2, -2, 1)=l, a=plp-1. 因為,所以 . 1

18、9. 設(shè)3階對稱陣a的特征值為l1=1, l2=-1, l3=0; 對應(yīng)l1、l2的特征向量依次為p1=(1, 2, 2)t, p2=(2, 1, -2)t, 求a. 解 設(shè), 則ap1=2p1, ap2=-2p2, 即, -. -再由特征值的性質(zhì), 有x1+x4+x6=l1+l2+l3=0. -由解得 , , , , .令x6=0, 得, x2=0, , , . 因此 . 20. 設(shè)3階對稱矩陣a的特征值l1=6, l2=3, l3=3, 與特征值l1=6對應(yīng)的特征向量為p1=(1, 1, 1)t, 求a. 解 設(shè). 因為l1=6對應(yīng)的特征向量為p1=(1, 1, 1)t, 所以有, 即 -

19、. l2=l3=3是a的二重特征值, 根據(jù)實對稱矩陣的性質(zhì)定理知r(a-3e)=1. 利用可推出. 因為r(a-3e)=1, 所以x2=x4-3=x5且x3=x5=x6-3, 解之得x2=x3=x5=1, x1=x4=x6=4.因此 . 21. 設(shè)a=(a1, a2, × × ×, an)t , a1¹0, a=aat. (1)證明l=0是a的n-1重特征值; 證明 設(shè)l是a的任意一個特征值, x是a的對應(yīng)于l的特征向量, 則有 ax=lx, l2x=a2x=aataatx=ataax=latax, 于是可得l2=lata, 從而l=0或l=ata. 設(shè)

20、l1, l2, × × ×, ln是a的所有特征值, 因為a=aat的主對角線性上的元素為a12, a22, × × ×, an2, 所以a12+a22+ × × × +an2=ata=l1+l2+ × × × +ln,這說明在l1, l2, × × ×, ln中有且只有一個等于ata, 而其余n-1個全為0, 即l=0是a的n-1重特征值. (2)求a的非零特征值及n個線性無關(guān)的特征向量. 解 設(shè)l1=ata, l2= × ×

21、; × =ln=0. 因為aa=aata=(ata)a=l1a, 所以p1=a是對應(yīng)于l1=ata的特征向量. 對于l2= × × × =ln=0, 解方程ax=0, 即aatx=0. 因為a¹0, 所以atx=0, 即a1x1+a2x2+ × × × +anxn=0, 其線性無關(guān)解為p2=(-a2, a1, 0, × × ×, 0)t,p3=(-a3, 0, a1, × × ×, 0)t,× × ×,pn=(-an, 0,

22、0, × × ×, a1)t.因此n個線性無關(guān)特征向量構(gòu)成的矩陣為. 22. 設(shè), 求a100. 解 由 , 得a的特征值為l1=1, l2=5, l3=-5. 對于l1=1, 解方程(a-e)x=0, 得特征向量p1=(1, 0, 0)t. 對于l1=5, 解方程(a-5e)x=0, 得特征向量p2=(2, 1, 2)t. 對于l1=-5, 解方程(a+5e)x=0, 得特征向量p3=(1, -2, 1)t. 令p=(p1, p2, p3), 則 p-1ap=diag(1, 5, -5)=l, a=plp-1, a100=pl100p-1. 因為 l100=di

23、ag(1, 5100, 5100), , 所以 . 23. 在某國, 每年有比例為p的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn), 有比例為q的城鎮(zhèn)居民移居農(nóng)村, 假設(shè)該國總?cè)丝跀?shù)不變, 且上述人口遷移的規(guī)律也不變. 把n年后農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋壤来斡洖閤n和yn(xn+yn=1). (1)求關(guān)系式中的矩陣a; 解 由題意知 xn+1=xn+qyn-pxn=(1-p)xn+qyn, yn+1=yn+pxn-qyn= pxn+(1-q)yn,可用矩陣表示為 , 因此 . (2)設(shè)目前農(nóng)村人口與城鎮(zhèn)人口相等, 即, 求. 解 由可知. 由,得a的特征值為l1=1, l2=r, 其中r=1-p-q. 對于l1=1

24、, 解方程(a-e)x=0, 得特征向量p1=(q, p)t. 對于l1=r, 解方程(a-re)x=0, 得特征向量p2=(-1, 1)t. 令, 則 p-1ap=diag(1, r)=l, a=plp-1, an=plnp-1. 于是 , . 24. (1)設(shè), 求j(a)=a10-5a9; 解 由,得a的特征值為l1=1, l2=5. 對于l1=1, 解方程(a-e)x=0, 得單位特征向量. 對于l1=5, 解方程(a-5e)x=0, 得單位特征向量. 于是有正交矩陣, 使得p-1ap=diag(1, 5)=l,從而a=plp-1, ak=plkp-1. 因此 j(a)=pj(l)p-

25、1=p(l10-5l9)p-1 =pdiag(1, 510)-5diag(1, 59)p-1 =pdiag(-4, 0)p-1 . (2)設(shè), 求j(a)=a10-6a9+5a8. 解 求得正交矩陣為,使得p-1ap=diag(-1, 1, 5)=l, a=plp-1. 于是 j(a)=pj(l)p-1=p(l10-6l9+5l8)p-1 =pl8(l-e)(l-5e)p-1 =pdiag(1, 1, 58)diag(-2, 0, 4)diag(-6, -4, 0)p-1 =pdiag(12, 0, 0)p-1 . 25. 用矩陣記號表示下列二次型: (1) f=x2+4xy+4y2+2xz+

26、z2+4yz; 解 . (2) f=x2+y2-7z2-2xy-4xz-4yz; 解 . (3) f=x12+x22+x32+x42-2x1x2+4x1x3-2x1x4+6x2x3-4x2x4. 解 . 26. 寫出下列二次型的矩陣: (1); 解 二次型的矩陣為. (2). 解 二次型的矩陣為. 27. 求一個正交變換將下列二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形: (1) f=2x12+3x22+3x33+4x2x3; 解 二次型的矩陣為. 由,得a的特征值為l1=2, l2=5, l3=1. 當(dāng)l1=2時, 解方程(a-2e)x=0, 由,得特征向量(1, 0, 0)t. 取p1=(1, 0, 0)t. 當(dāng)l2

27、=5時, 解方程(a-5e)x=0, 由,得特征向量(0, 1, 1)t. 取. 當(dāng)l3=1時, 解方程(a-e)x=0, 由,得特征向量(0, -1, 1)t. 取. 于是有正交矩陣t=(p1, p2, p3)和正交變換x=ty, 使f=2y12+5y22+y32. (2) f=x12+x22+x32+x42+2x1x2-2x1x4-2x2x3+2x3x4. 解 二次型矩陣為. 由,得a的特征值為l1=-1, l2=3, l3=l4=1. 當(dāng)l1=-1時, 可得單位特征向量. 當(dāng)l2=3時, 可得單位特征向量. 當(dāng)l3=l4=1時, 可得線性無關(guān)的單位特征向量, . 于是有正交矩陣t=( p

28、1, p2, p3, p4)和正交變換x=ty, 使f=-y12+3y22+y32+y42. 28. 求一個正交變換把二次曲面的方程3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz=1化成標(biāo)準(zhǔn)方程. 解 二次型的矩陣為. 由, 得a的特征值為l1=2, l2=11, l3=0, . 對于l1=2, 解方程(a-2e)x=0, 得特征向量(4, -1, 1)t, 單位化得. 對于l2=11, 解方程(a-11e)x=0, 得特征向量(1, 2, -2)t, 單位化得. 對于l3=0, 解方程ax=0, 得特征向量(0, 1, 1)t, 單位化得. 于是有正交矩陣p=(p1, p2, p3), 使

29、p-1ap=diag(2, 11, 0), 從而有正交變換, 使原二次方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程2u2+11v2=1. 29. 明: 二次型f=xtax在|x|=1時的最大值為矩陣a的最大特征值. 證明 a為實對稱矩陣, 則有一正交矩陣t, 使得tat-1=diag(l1, l2, × × ×, ln)=l成立, 其中l(wèi)1, l2, × × ×, ln為a的特征值, 不妨設(shè)l1最大. 作正交變換y=tx, 即x=tty, 注意到t-1=tt, 有 f=xtax=yttatty=ytly=l1y12+l2y22+ × × &#

30、215; +lnyn2. 因為y=tx正交變換, 所以當(dāng)|x|=1時, 有|y|=|x|=1, 即y12+y22+ × × × +yn2=1.因此f =l1y12+l2y22+ × × × +lnyn2£l1,又當(dāng)y1=1, y2=y3=× × ×=yn=0時f =l1, 所以f max =l1. 30. 用配方法化下列二次形成規(guī)范形, 并寫出所用變換的矩陣. (1) f(x1, x2, x3)=x12+3x22+5x32+2x1x2-4x1x3; 解 f(x1, x2, x3)=x12+3x2

31、2+5x32+2x1x2-4x1x3 =(x1+x2-2x3)2+4x2x3+2x22+x32 =(x1+x2-2x3)2-2x22+(2x2+x3)2. 令 , 即, 二次型化為規(guī)范形f=y12-y22+y32,所用的變換矩陣為. (2) f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3; 解 f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3 =(x1+x3)2+x32+2x2x3; =(x1+x3)2-x22+(x2+x3)2. 令 , 即, 二次型化為規(guī)范形f=y12-y22+y32,所用的變換矩陣為. (3) f(x1, x2, x3)=2x12

32、+x22+4x32+2x1x2-2x2x3. 解 f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32+2x1x2-2x2x3. . 令 , 即, 二次型化為規(guī)范形f=y12+y22+y32,所用的變換矩陣為. 31. 設(shè)f=x12+x22+5x32+2ax1x2-2x1x3+4x2x3為正定二次型, 求a. 解 二次型的矩陣為, 其主子式為 a11=1, , . 因為f為正主二次型, 所以必有1-a2>0且-a(5a+4)>0, 解之得. 32. 判別下列二次型的正定性: (1) f=-2x12-6x22-4x32+2x1x2+2x1x3; 解 二次型的矩陣為. 因為, , ,所以f為負(fù)定. (2) f=x12+3x22+9x32+19x42-2x1x2+4x1x3+2x1x4-6x2x4-12x3x4. 解 二次型的矩陣為. 因為, , , ,所以f為正定. 33. 證明對稱陣a為正定的充