高中數(shù)學(xué) 模塊綜合質(zhì)量檢測 北師大版選修45

1、模塊綜合質(zhì)量檢測(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1已知a，b，c，d為實數(shù)，ab>0，<，則下列不等式成立的是()abc<adbbc>adc> d<解析：將<兩邊同乘正數(shù)ab，得bc<ad.所以bc>ad.答案：b2不等式|x|>的解集為 ()ax|x>2或x<1 bx|1<x<2cx|x<1或x>2 dx|1<x<2解析：|x|>或解得x<1或x>2.答案：c3設(shè)p

2、，q是兩個命題，p：0，q：|2x1|<1，則p是q的()a充分非必要條件b必要非充分條件c充要條件d既非充分又非必要條件解析：由題意，得p：1x<0，q：1<x<0.所以由q可以推出p，由p不可以推出q.所以p是q的必要非充分條件答案：b4用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，x2y2能被xy整除”的第二步是()a假設(shè)當(dāng)n2k1(kn)時結(jié)論正確，再推當(dāng)n2k3時結(jié)論正確b假設(shè)當(dāng)n2k1(kn)時結(jié)論正確，再推當(dāng)n2k1時結(jié)論正確c假設(shè)當(dāng)nk(kn)時結(jié)論正確，再推當(dāng)nk1時結(jié)論正確d假設(shè)當(dāng)nk(kn，k1)時結(jié)論正確，再推當(dāng)nk2時結(jié)論正確解析：因為n為正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)

3、歸納法的證明步驟，第二步應(yīng)先假設(shè)當(dāng)n2k1時結(jié)論正確，再推當(dāng)n2k1時結(jié)論正確答案：b5若x，y，z(0，)，且xyz30，則lg xlg ylg z的取值范圍是()a(，3 b(，10c3，) d10，)解析：因為xyz3，即xyz103，所以lg xyzlg 1033，即lg xlg ylg zlg xyz3，當(dāng)且僅當(dāng)xyz10時等號成立答案：a6函數(shù)y34的最大值為()a b5c7 d11解析：函數(shù)的定義域為5,6，且y>0，y34·5，當(dāng)且僅當(dāng)，即x時取等號所以ymax5.答案：b7不等式|2xlog2x|<2x|log2x|的解集為()ax|1<x<

4、2 bx|0<x<1cx|x>1 dx|x>2解析：根據(jù)對數(shù)的意義，可得x>0.則不等式|2xlog2x|<2x|log2x|等價于|2xlog2x|<|2x|log2x|，即2xlog2x>0.由x>0，可得原不等式等價于log2x>0.解得x>1.答案：c8若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1a2b1b21，則下列代數(shù)式的值最大的是()aa1b1a2b2 ba1a2b1b2ca1b2a2b1 d解析：由0<a1<a2,0<b1<b2，且a1a2b1b21，可令a1，a2，b

5、1，b2，則a1b1a2b2××，a1a2b1b2，a1b2a2b1.比較可知選項a正確答案：a9如果loga3>logb3，且ab1，那么()a0<a<b<1 b0<b<a<1c1<a<b d1<b<a解析：loga3>logb3>0>0.0<a<1,0<b<1，log3alog3b>0.log3blog3a>0，log3b>log3a.b>a.0<a<b<1.答案：a10已知實數(shù)x，y滿足x2y21，則x2y2有()a最小

6、值和最大值1b最小值0和最大值c最小值和最大值 d最小值1解析：因為x2y20，(x2y2)(y2x2)(xyyx)2，即4x2y21，故x2y2，當(dāng)且僅當(dāng)x2y2時等號成立所以x2y2.答案：b11若函數(shù)f(x)|x1|2xa|的最小值為3，則實數(shù)a的值為()a5或8 b1或5c1或4 d4或8解析：當(dāng)a>2，即<1時，f(x)結(jié)合其圖像，可知函數(shù)f(x)minf3，即3a13.解得a8.當(dāng)a<2，即>1時，f(x)結(jié)合其圖像，可知函數(shù)f(x)minf3，即3a13.解得a4.當(dāng)a2時，函數(shù)f(x)3|x1|的最小值為0，不符合題意因此，所求實數(shù)a的值為8或4.答案：

7、d12已知函數(shù)f(x)2|x|，若存在xr，使得關(guān)于x的不等式2f(x)k成立，則實數(shù)k的最小值是()a3b2c2d解析：將f(x)2|x|代入關(guān)于x的不等式2f(x)k，得k2×2|x|.因為|x|0，所以2|x|1.令2|x|t，則t1，關(guān)于x的不等式化為k2t.容易判斷函數(shù)(t)2t在區(qū)間1，)上為增函數(shù)若存在x，使不等式成立，則只需k(t)min，即k(1)解得k3.故實數(shù)k的最小值為3.答案：a二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上)13函數(shù)y(x>1)的值域是_.解析：yx1x12228，當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x4時等號成立，函數(shù)的值域是8，

8、)答案：8，)14若關(guān)于x的不等式>|a5|1對一切非零實數(shù)x均成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：|x|22，故應(yīng)有2>|a5|1，即|a5|<1.所以4<a<6.答案：(4,6)15下列命題中，真命題的序號為_logablogbclogca3成立，當(dāng)且僅當(dāng)a，b，c(1，)；2成立，當(dāng)且僅當(dāng)a0；a2b2c2abbcca.解析：當(dāng)且僅當(dāng)a，b，c(1，)或(0,1)時，不等式成立不妨設(shè)abc，由順序和亂序和，得a2b2c2abbcca.答案：16給出下列四個命題：ab2；sin2x的最小值是4；設(shè)x，y都是正數(shù)，若1，則xy的最小值是12；若|x2|<，|

9、y2|<，則|xy|<2.其中所有真命題的序號是_.解析：不正確，如a2，b0.不正確，因為sin2x24，當(dāng)且僅當(dāng)sin2x，即sin2x2時取等號，這是不可能的，故錯誤不正確，(xy)1010616，當(dāng)且僅當(dāng)y3x>0時取等號正確，|xy|x22y|x2|2y|<2.所以應(yīng)填.答案：三、解答題(本大題共6小題，滿分70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)設(shè)關(guān)于x的不等式lg(|x3|x7|)>a.(1)當(dāng)a1時，解這個不等式；(2)當(dāng)實數(shù)a為何值時，這個不等式的解集為r?解：(1)當(dāng)a1時，原不等式可變形為|x3|x7|>1

10、0，易求得其解集為x|x<3或x>7(2)|x3|x7|x3(x7)|10對任意xr都成立，lg(|x3|x7|)lg 101對任意xr都成立若lg(|x3|x7|)>a 對任意xr都成立，則a<1.18(本小題滿分12分)用柯西不等式推導(dǎo)點p(x0，y0)到直線l：axbyc0(a2b20)的距離公式解：設(shè)點p1(x1，y1)是直線l上的任意一點，則ax1by1c0，|p1p|.由p1，p兩點間的距離|p1p|有最小值，得·|a(x0x1)b(y0y1)|ax0by0c(ax1by1c)|.由，得·|p1p|ax0by0c|，即|p1p|.當(dāng)且僅當(dāng)

11、(y0y1)(x0x1)ba，即p1pl時，式取等號故點到直線的距離公式為|p1p|.19(本小題滿分12分)已知正數(shù)x，y，z滿足x2y2z26.(1)求x2yz的最大值；(2)若不等式|a1|2ax2yz對滿足條件的x，y，z恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)由柯西不等式，得(x2y2z2)(122212)(x2yz)2，即(x2yz)236.又x，y，z是正數(shù)，所以x2yz6.所以x2yz的最大值為6，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)xz1，y2時取得最大值(2)由題意及(1)，得|a1|2a6.所以或解得a.綜上，實數(shù)a的取值范圍為.20(本小題滿分12分)(1)設(shè)x是正實數(shù)，求證：(x1)(x21)

12、(x31)8x3；(2)若xr，不等式(x1)(x21)(x31)8x3是否仍然成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請舉出一個使它不成立的x的值(1)證明：已知x是正數(shù)，由平均值不等式，知x12，1x22x，x312.故(x1)(x21)(x31)2·2x·28x3，當(dāng)且僅當(dāng)x1時等號成立(2)解：若xr，不等式(x1)(x21)(x31)8x3仍然成立證明如下：由(1)，知當(dāng)x>0時，不等式成立；當(dāng)x0時，8x30，(x1)(x21)(x31)(x1)2(x21)(x2x1)(x1)2(x21)0，此時不等式仍然成立綜上，當(dāng)xr時，不等式仍成立21(本小題滿分1

13、2分)設(shè)不等式2<|x1|x2|<0的解集為集合m，a，bm.(1)求證：<；(2)比較|14ab|與2|ab|的大小(1)證明：記f(x)|x1|x2|由2<2x1<0，得<x<.故m.所以|a|b|<××.(2)解：由(1)，得a2<，b2<.因為|14ab|24|ab|2(18ab16a2b2)4(a22abb2)(4a21)(4b21)>0，所以|14ab|2>4|ab|2，即|14ab|>2|ab|.22(本小題滿分12分)設(shè)數(shù)列an滿足an1anan1，n1,2,3，.(1)當(dāng)a12時

14、，求a2，a3，a4，并由此猜想出數(shù)列an的一個通項公式；(2)當(dāng)a13時，求證：不等式ann2對所有n1成立；不等式對所有n1成立(1)解：由a12，得a2aa113.由a23，得a3a2a214.由a34，得a4a3a315.由此猜想：ann1(nn)(2)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時，a1123，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(kn)時，不等式成立，即akk2，則當(dāng)nk1時，ak1akak1ak(akk)1(k2)(k2k)12(k2)1>k3(k1)2.也就是說，當(dāng)nk1時，ak1>(k1)2.綜上，對所有的n1，有ann2.由an1an(ann)1及，可知當(dāng)k2時，有akak1(ak1k1)1ak1(k12