高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2.4 拋物線 2.4.2 拋物線的簡單幾何性質學案 新人教A版選修21

1、2.4.2拋物線的簡單幾何性質學習目標：1.掌握拋物線的幾何性質(重點)2.掌握直線與拋物線的位置關系的判斷及相關問題(重點)3.能利用方程及數形結合思想解決焦點弦、弦中點等問題(難點)自 主 預 習·探 新 知1拋物線的幾何性質標準方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形性質焦點準線xxyy范圍x0，yrx0，yry0，xry0，xr對稱軸x軸y軸頂點(0,0)離心率e12.焦點弦直線過拋物線y22px(p>0)的焦點f，與拋物線交于a(x1，y1)、b(x2，y2)兩點，由拋物線的定義知，|af|x1，|bf|x2，故|ab|x1x2

2、p.3直線與拋物線的位置關系直線ykxb與拋物線y22px(p>0)的交點個數決定于關于x的方程組解的個數，即二次方程k2x22(kbp)xb20解的個數當k0時，若>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點；若0時，直線與拋物線有一個公共點；若<0時，直線與拋物線沒有公共點當k0時，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，此時直線與拋物線有一個公共點思考：直線與拋物線只有一個公共點，那么直線與拋物線一定相切嗎？提示可能相切，也可能相交，當直線與拋物線的對稱軸平行或重合時，直線與拋物線相交且只有一個公共點基礎自測1思考辨析(1)拋物線關于頂點對稱()(2)拋物線只有一個焦點，一條對稱軸，

3、無對稱中心()(3)拋物線的標準方程雖然各不相同，但是其離心率都相同()答案(1)×(2)(3)2過拋物線y24x的焦點作直線交拋物線于a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點，若x1x26，則|ab|()a10b8c6d4b|ab|x1x2p628.3已知過拋物線y24x的焦點f的直線交該拋物線于a，b兩點，|af|2，則|bf|_. 【導學號：46342111】2f(1,0)，由拋物線定義得a點橫坐標為1.afx軸，|bf|af|2.合 作 探 究·攻 重 難拋物線幾何性質的應用(1)已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為x軸且與圓x2y24相交的公共弦長等于2，則拋物線的

4、方程為_(2)已知雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y22px(p>0)的準線分別交于a，b兩點，o為坐標原點若雙曲線的離心率為2，aob的面積為，求拋物線的標準方程解(1)根據拋物線和圓的對稱性知，其交點縱坐標為±，交點橫坐標為±1，則拋物線過點(1，)或(1，)，設拋物線方程為y22px或y22px(p>0)則2p3，從而拋物線方程為y23x或y23x.答案y23x或y23x(2)由已知得2，所以4，解得，即漸近線方程為y±x.而拋物線準線方程為x，于是a，b，從而aob的面積為·p·，可得p2.因為拋物

5、線開口向右，所以其標準方程為y24x.規(guī)律方法拋物線各元素間的關系拋物線的焦點始終在對稱軸上，頂點就是拋物線與對稱軸的交點，準線始終與對稱軸垂直，準線與對稱軸的交點和焦點關于頂點對稱，頂點到焦點的距離等于頂點到準線的距離為.跟蹤訓練1邊長為1的等邊三角形aob，o為坐標原點，abx軸，以o為頂點且過a，b的拋物線方程是()ay2xby2xcy2±xdy2±xc設拋物線方程為y2ax(a0)又a(取點a在x軸上方)，則有±a，解得a±，所以拋物線方程為y2±x.故選c與中點弦、焦點弦有關的問題(1)過點q(4,1)作拋物線y28x的弦ab，恰被點

6、q所平分，則ab所在直線的方程為_(2)已知過拋物線y22px(p>0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于a(x1，y1)，b(x2，y2)(x1<x2)兩點，且|ab|9.求該拋物線的方程；o為坐標原點，c為拋物線上一點，若，求的值思路探究(1)法一：設a(x1，y1)，b(x2，y2)，用點差法求kab；法二：設直線ab的方程，建立方程求解(2)設出直線方程，直線方程與拋物線方程聯立，根據焦點弦長公式求解根據(1)求出點a、b的坐標，設出點c的坐標，由，可用表示點c的坐標，最后根據點c在拋物線上求出值解(1)法一：設以q為中點的弦ab的端點坐標為a(x1，y1)，b(x2，y2)

7、，則有y8x1，y8x2，(y1y2)(y1y2)8(x1x2)又y1y22，y1y24(x1x2)，即4，k4.所求弦ab所在直線的方程為y14(x4)，即4xy150.法二：設弦ab所在直線的方程為yk(x4)1.聯立消去x，得ky28y32k80，此方程的兩根就是線段端點a，b兩點的縱坐標，由根與系數得y1y2.又y1y22，k4.所求弦ab所在直線的方程為4xy150.(2)直線ab的方程是y2·，與y22px聯立，從而有4x25pxp20，所以：x1x2，由拋物線定義得：|ab|x1x2p9，所以p4，從而拋物線方程是y28x.由p4,4x25pxp20可簡化為x25x40

8、，從而x11，x24，y12，y24，從而a(1，2)，b(4,4)；設(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)，又y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.規(guī)律方法直線與拋物線相交的弦長問題直線和拋物線相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點，直線的斜率為k.(1)一般的弦長公式：|ab|x1x2|.(2)焦點弦長公式：當直線經過拋物線y22px(p>0)的焦點時，弦長|ab|x1x2p.(3)“中點弦”問題解題策略兩法跟蹤訓練2(1)已知拋物線c的頂點為坐標原點，焦點在x軸上，直線yx與拋物線c交于a，b兩點若p(2,2)為ab的中點，則拋物線c的

9、方程為_y24x設拋物線c的方程為y22px(p>0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)則，整理得又1，y1y24，所以2p4.因此拋物線c的方程為y24x.(2)直線l過拋物線y24x的焦點，與拋物線交于a，b兩點，若|ab|8，求直線l的方程. 【導學號：46342112】解因為拋物線y24x的焦點坐標為(1,0)，若直線l與x軸垂直，則直線l的方程為x1，此時|ab|4，不合題意，所以可設所求直線l的方程為yk(x1)，由得k2x2(2k24)xk20，則由根與系數的關系，得x1x2.又ab過焦點，由拋物線的定義可知|ab|x1x2p28，所以6，解得k±1.所以所求直

10、線l的方程為xy10或xy10.直線與拋物線的位置關系(1)已知直線ykxk及拋物線y22px(p>0)，則()a直線與拋物線有一個公共點b直線與拋物線有兩個公共點c直線與拋物線有一個或兩個公共點d直線與拋物線可能沒有公共點(2)已知拋物線的方程為y24x，直線l過定點p(2,1)，斜率為k，k為何值時，直線l與拋物線y24x只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？思路探究(1)直線ykxk過定點(1,0)，根據定點與拋物線的位置關系判斷(2)直線與拋物線方程聯立，根據“”的正負判斷解析(1)直線方程可化為yk(x1)，因此直線恒過定點(1,0)，點(1,0)在拋物線y22px(p&g

11、t;0)的內部，因此直線與拋物線有一個或兩個公共點，故選c答案c(2)由題意，直線l的方程為y1k(x2)由方程組(*)可得ky24y4(2k1)0.：當k0時，由方程得y1，把y1代入y24x，得x，這時，直線l與拋物線只有一個公共點.：當k0時，方程的判別式為16(2k2k1)a由0，即2k2k10，解得k1或k，所以方程只有一個解，從而方程組(*)只有一個解，這時直線l與拋物線只有一個公共點b由>0，即2k2k1<0，解得1<k<，于是，當1<k<，且k0時，方程有兩個解，從而方程組(*)有兩個解，這時直線l與拋物線有兩個公共點c由<0，即2k2

12、k1>0，解得k<1或k>.于是k<1或k>時，方程沒有實數解，從而方程組(*)沒有解，直線l與拋物線無公共點綜上，當k0或k1或k時，直線l與拋物線只有一個公共點當1<k<，且k0時直線l與拋物線有兩個公共點當k<1或k>時，直線l與拋物線無公共點規(guī)律方法直線與拋物線位置關系的判斷方法設直線l：ykxb，拋物線：y22px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯立消元得：k2x2(2kb2p)xb20.(1)若k20，此時直線與拋物線有一個交點，該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.(2)若k20，當>0時，直線與拋物線相交，

13、有兩個交點；當0時，直線與拋物線相切，有一個交點；當<0時，直線與拋物線相離，無公共點.跟蹤訓練3若直線l：y(a1)x1與曲線c：y2ax(a0)恰好有一個公共點，試求實數a的取值集合解因為直線l與曲線c恰好有一個公共點，所以方程組只有一組實數解，消去y，得(a1)x12ax，即(a1)2x2(3a2)x10， (1)當a10，即a1時，方程是關于x的一元一次方程，解得x1，這時，原方程組有唯一解(2)當a10，即a1時，方程是關于x的一元二次方程令(3a2)24(a1)2a(5a4)0，解得a0(舍去)或a.所以原方程組有唯一解綜上，實數a的取值集合是.拋物線性質的綜合應用探究問題1

14、若兩條直線的斜率存在且傾斜角互補時，兩條直線的斜率有什么關系？提示：兩條直線的斜率互為相反數2如何求拋物線yx2上的點到直線4x3y80的最小值？提示：法一：設a(t，t2)為拋物線上的點，則點a到直線4x3y80的距離d3t2.當t時，d有最小值.法二：如圖，設與直線4x3y80平行的拋物線的切線方程為4x3ym0，由消去y得3x24xm0，1612m0，m.最小距離為.如圖2­4­5所示，拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點p(1,2)，a(x1，y1)，b(x2，y2)均在拋物線上圖2­4­5(1)求拋物線的方程及其準線方程；(2)當pa與p

15、b的斜率存在且傾斜角互補時，證明：直線ab的斜率為定值. 【導學號：46342113】思路探究第(1)問可以利用待定系數法解決；第(2)問關鍵是如何將pa與pb兩條直線的傾斜角互補與直線ab的斜率聯系起來解(1)由題意可設拋物線的方程為y22px(p>0)，則由點p(1,2)在拋物線上，得222p×1，解得p2，故所求拋物線的方程是y24x，準線方程是x1.(2)證明：因為pa與pb的斜率存在且傾斜角互補，所以kpakpb，即.又a(x1，y1)，b(x2，y2)均在拋物線上，所以x1，x2，從而有，即，得y1y24，故直線ab的斜率kab1.母題探究：1.(變條件)若本例題改

16、為：如圖2­4­6，已知直線l：y2x4交拋物線y24x于a，b兩點，試在拋物線aob這段曲線上求一點p，使pab的面積最大，并求出這個最大面積如何求解？圖2­4­6解由解得或由圖可知，a(4,4)，b(1，2)，則|ab|3.設p(x0，y0)為拋物線aob這段曲線上一點，d為點p到直線ab的距離，則d|(y01)29|.2<y0<4，(y01)29<0.d9(y01)2從而當y01時，dmax，smax××3.故當點p的坐標為時，pab的面積取得最大值，最大值為.2(變條件)若本例改為：在平面直角坐標系xoy中，

17、設點f(1,0)，直線l：x1，點p在直線l上移動，r是線段pf與y軸的交點，rqfp，pql.(1)求動點q的軌跡方程；(2)記q的軌跡為曲線e，過點f作兩條互相垂直的直線交曲線e的弦為ab，cd，設ab，cd的中點分別為m，n，求證：直線mn過定點(3,0)如何求解？解(1)因為點f(1,0)，直線l：x1，所以點r是線段fp的中點，由此及rqfp知，rq是線段fp的垂直平分線因為|pq|是點q到直線l的距離，而|pq|qf|，所以動點q的軌跡e是以f為焦點，l為準線的拋物線，其方程為y24x(x>0)(2)證明：設a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(xm，ym)，直線ab：xm

18、y1(m0)，則消去x得y24my40.于是，有ym2m，xmm·ym12m21，即m(2m21,2m)同理，n.因此，直線mn的斜率kmn，方程為y2m(x2m21)，即mx(1m2)y3m0.顯然，不論m為何值，(3,0)均滿足方程，所以直線mn過定點(3,0)規(guī)律方法應用拋物線性質解題的常用技巧(1)拋物線的中點弦問題用點差法較簡便(2)軸對稱問題，一是抓住對稱兩點的中點在對稱軸上，二是抓住兩點連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關系(3)在直線和拋物線的綜合題中，經常遇到求定值、過定點問題解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數法等解決這些問題的關鍵是代換和轉化(4)圓錐曲線中的定點、定值問題，常選擇一參數來表示要研究問題中的幾何量，通過運算找到定點、定值，說明與參數無關，也常用特值探路法找定點、定值當 堂 達 標·固 雙 基1頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與焦點的距離為3的拋物線的標準方程為()ax2±3yby2±6xcx2±12ydx2