高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 拋物線的簡單性質一作業(yè)1 北師大版選修11

1、2.2.2 拋物線的簡單性質（一）基礎達標1.頂點在原點，關于y軸對稱，并且經過點m(4，5)的拋物線方程為()ay2x by2xcx2y dx2y解析：選c.由題設知，拋物線開口向上，設方程為x22py(p>0)，將(4，5)代入得p，所以，拋物線方程為x2y.2.已知點(x，y)在拋物線y24x上，則zx2y23的最小值為()a2 b3c4 d0解析：選b.zx2×4x3(x1)22，x0，x0時，z有最小值，zmin3.3.設m(x0，y0)為拋物線c：x28y上一點，f為拋物線c的焦點，以f為圓心，|fm|為半徑的圓和拋物線c的準線相交，則y0的取值范圍是()a(0，2

2、) b0，2c(2，) d2，)解析：選c.圓心到拋物線準線的距離為p4，根據已知只要|fm|>4即可，根據拋物線定義，|fm|y02，由y02>4，解得y0>2，故y0的取值范圍是(2，)4.若拋物線x22y上距離點a(0，a)的最近點恰好是拋物線的頂點，則a的取值范圍是()aa>0 b0<a1ca1 da0解析：選c.設拋物線上任一點p的坐標為(x，y)，則|pa|2d2x2(ya)22y(ya)2y2(2a2)ya2y(a1)2(2a1)y0，)，根據題意知，(1)當a10，即a1，y0時，da2.這時dmin|a|.(2)當a1>0，即a>1時

3、，ya1時d2取到最小值，不符合題意綜上可知a1.5.已知拋物線yx2上有一定點a(1，1)和兩動點p、q，當papq時，點q的橫坐標取值范圍是()a(，3 b1，)c3，1 d(，31，)解析：選d.設p(x0，x)，q(x，x2)，其中x01，xx0，則(1x0，1x)，(xx0，x2x)，papq，·0.(1x0)(xx0)(1x)(x2x)0，即1(1x0)(xx0)0，xx0(1x0)1，當x0<1時，1x02.x211；當x0>1時，1x0(x01)2，x213，故q橫坐標的取值范圍是(，31，)6.已知拋物線頂點為坐標原點，焦點在y軸上，拋物線上的點m(m，

4、2)到焦點的距離為4，則m_解析：由已知，可設拋物線方程為x22py(p>0)由拋物線定義有24，p4，x28y.將(m，2)代入上式，得m216.m±4.答案：±47.已知直線yk(x2)，(k>0)與拋物線y28x相交于a、b兩點，f為拋物線的焦點，若|fa|3|fb|，則k的值為_解析：設a(x1，y1)，b(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2<0.由，得k2x2(4k28)x4k20，x1x24.又|af|x12，|bf|x22且|af|3|fb|，x13x24，由解得x2，b(，)，代入yk(x2)得k.答案：

5、8.已知拋物線y24x，過點p(4，0)的直線與拋物線相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點，則yy的最小值是_解析：若k不存在，則yy32.若k存在，設直線ab的斜率為k，當k0時，直線ab的方程為y0，不合題意，故k0.由題意設直線ab的方程為yk(x4)(k0)，由得ky24y16k0，y1y2，y1y216.yy(y1y2)22y1y232>32.yy的最小值為32.答案：329.拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸，經過焦點且傾斜角為135°的直線被拋物線截得的弦長為8，試求拋物線的方程解：如圖，設拋物線方程為y22px(p>0)，則焦點為f，所以直線方程為

6、y.設直線交拋物線于點a(x1，y1)，b(x2，y2)，則根據拋物線的定義，得|ab|af|bf|ac|bd|x1x2，即x1x2p8.聯(lián)立方程組消去y，得x23px0，x1x23p，3pp8，即p2.所求拋物線的方程為y24x.當拋物線方程設為y22px(p>0)時，同理可以求得拋物線的方程為y24x.綜上，拋物線的方程為y24x或y24x.10.設點p(x，y)(y0)為平面直角坐標系xoy中的一個動點(其中o為坐標原點)，點p到定點m(0，)的距離比點p到x軸的距離大.(1)求點p的軌跡方程；(2)若直線l：ykx1與點p的軌跡相交于a，b兩點，且|ab|2，求k的值解：(1)由

7、題意知，動點p到定點m的距離等于它到直線x的距離，根據拋物線的定義，得動點p的軌跡是拋物線，其中，則2p2，故動點p的軌跡方程為x22y.(2)將直線的方程代入拋物線方程并整理，得x22kx20，設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x22k，x1x22，|ab|2，解之得k±1.能力提升1.設拋物線c：y24x的焦點為f，直線l過f且與c交于a，b兩點若|af|3|bf|，則l的方程為()ayx1或yx1by(x1)或y(x1)cy(x1)或y(x1)dy(x1)或y(x1)解析：選c.法一：如圖所示，作出拋物線的準線l1及點a，b到準線的垂線段aa1，bb1，并設直線l交準

8、線于點m.設|bf|m，由拋物線的定義可知|bb1|m，|aa1|af|3m.由bb1aa1可知，即，所以|mb|2m，則|ma|6m.故ama130°，得afxmaa160°，結合選項可知答案法二：由|af|3|bf|可知3，易知f(1，0)，設a(xa，ya)，b(x0，y0)，則，從而可解得a的坐標為(43x0，3y0)因為點a，b都在拋物線上，所以，解得x0，y0±，所以kl±.法三：結合焦點弦公式|ab|及進行求解設直線ab的傾斜角為，由題意知p2，f(1，0)，3.又，1，|bf|，|af|4，|ab|.又由拋物線焦點弦公式：|ab|，sin

9、2，sin ，ktan ±.故選c.2.拋物線y22px(p>0)的焦點為f，已知點a，b為拋物線上的兩個動點，且滿足afb120°.過弦ab的中點m作拋物線準線的垂線mn，垂足為n，則的最大值為_解析：由余弦定理，得ab2af2bf22|af|·|bf|cos 120°af2bf2|af|·|bf|，過a，b作aa，bb垂直于準線，則|mn|(|aa|bb|)(|fa|fb|)，.答案：3.已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點p(1，2)，a(x1，y1)，b(x2，y2)均在拋物線上(1)寫出該拋物線的標準方程及其準線方程；

10、(2)當直線pa與pb的斜率存在且傾斜角互補時，求y1y2的值及直線ab的斜率解：(1)由已知條件，可設拋物線的方程為y22px(p>0)點p(1，2)在拋物線上，222p×1，解得p2.所求拋物線的方程是y24x，準線方程是x1.(2)設直線pa的斜率為kpa，直線pb的斜率為kpb.則kpa，kpb，pa與pb的斜率存在且傾斜角互補，kpakpb.由a(x1，y1)，b(x2，y2)均在拋物線上，得，y12(y22)，y1y24.由得直線ab的斜率為1.4拋物線c的方程為yax2(a<0)，過拋物線c上一點p(x0，y0)(x00)作斜率為k1，k2的兩條直線分別交拋

11、物線c于a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點(p，a，b三點互不相同)，且滿足k2k10(0且1)(1)求拋物線c的焦點坐標和準線方程；(2)設直線ab上一點m，滿足，證明線段pm的中點在y軸上；(3)當1時，若點p的坐標為(1，1)，求pab為鈍角時點a的縱坐標y1的取值范圍解：(1)由拋物線c的方程yax2(a<0)得，焦點坐標為(0, )，準線方程為y.(2)證明：設直線pa的方程為yy0k1(xx0)，直線pb的方程為yy0k2(xx0)點p(x0，y0)和點a(x1，y1)的坐標是方程組的解將式代入式得ax2k1xk1x0y00，于是x1x0，故x1x0，又點p(x0，y0)

12、和點b(x2，y2)的坐標是方程組的解將式代入式得ax2k2xk2x0y00.于是x2x0，故x2x0.由已知得，k2k1，則x2k1x0.設點m的坐標為(xm，ym)，由，則xm.將式和式代入上式得xmx0，即xmx00.所以線段pm的中點在y軸上(3)因為點p(1，1)在拋物線yax2上，所以a1，拋物線方程為yx2.由式知x1k11，代入yx2得y1(k11)2.將1代入式得x2k11，代入yx2得y2(k11)2.因此，直線pa、pb分別與拋物線c的交點a、b的坐標為a(k11，k2k11)，b(k11，k2k11)于是(k12，k2k1)，(2k1，4k1)，·2k1(k12)4k1(k2k1)2k1(k12)·(2k11)因pab為鈍角且p、a、b三點互不相同，故必有·<0.求得k1的取值范圍是k1<2或<k1<0.又點a