精選MCMA題讓標(biāo)槍飛

1、五一數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了五一數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與本隊以外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其它公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn) 中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則 的行為，我們愿意承擔(dān)由此引起的一切后果。我們授權(quán)五一數(shù)學(xué)建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括 進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他

2、媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。參賽題號（從 A/B/C 中選擇一項填寫）：A參賽隊號：參賽組別（研究生、本科、?？?、高中）：本科所屬學(xué)校（學(xué)校全稱）參賽隊員（打印并簽名）：1. 2. 3. 日期：年月日獲獎證書郵寄地址： 郵政編碼： 收件人姓名： 聯(lián)系電話： 五一數(shù)學(xué)建模競賽題目讓標(biāo)槍飛關(guān)鍵詞：多元回歸統(tǒng)計 K-means聚類距離相關(guān)牛頓歐拉方程剛體微分學(xué)摘 要：標(biāo)槍的技術(shù)參數(shù)包括，標(biāo)槍的長度、重量、幾何形狀、重心的位置、形心的 位置等，標(biāo)槍的形心位置由槍身、槍頭、把手三者綜合判定而得，題目給出了三 者長軸和直徑的相關(guān)數(shù)據(jù)， 根據(jù) k-means 聚類進(jìn)行分析求解此問題。 考慮到初始 攻角受到

3、了出手角的影響， 我們猜測初始攻角和出手角之間存在聯(lián)系， 可以尋找 初始攻角和出手角之間的關(guān)系，簡化初始攻角、出手角、投擲距離、出手速度之 間的關(guān)系， 利用多元回歸統(tǒng)計進(jìn)行分析。 用前面已經(jīng)擬合的公式， 發(fā)現(xiàn)初始攻角 存在某一合法置信區(qū)間， 出手速度固定， 通過逐漸改變初始攻角的取值， 可以得 到多組投擲距離，取最優(yōu)解。閱讀題意，順風(fēng)逆風(fēng)改變了出手速度，前述問題， 已經(jīng)解決了出手角、 初始攻角對投擲距離的影響， 而初始俯仰角速度是指標(biāo)槍出 手瞬間，標(biāo)槍槍頭半軸（槍尖至重心部分）在單位時間內(nèi)圍繞重心旋轉(zhuǎn)的角度， 建立標(biāo)槍飛行的數(shù)學(xué)模型， 利用牛頓歐拉方程求解。 最后，根據(jù)上述問題得到的 結(jié)論，對

4、運動員出手速度、出手角、初始攻角、初始俯仰角速度、風(fēng)向及風(fēng)速等 要素，對標(biāo)槍投擲距離影響的相對重要性進(jìn)行分析總結(jié)， 用自然語言進(jìn)行詳盡的 描述。一、問 題重述標(biāo)槍的投擲是一項歷史悠久的田徑比賽項目。標(biāo)槍投擲距離的遠(yuǎn)近受到運動員水平（出手速度、出手角、初始攻角、出手高度、出手時標(biāo)槍的初始俯仰角速度等） ，標(biāo)槍的技 術(shù)參數(shù)（標(biāo)槍的長度、重量、幾何形狀、重心的位置、形心的位置等）和比賽環(huán)境（空氣 的密度與粘度、風(fēng)力、風(fēng)向等）三方面因素的影響。1. 現(xiàn)有某型標(biāo)槍的測量尺寸數(shù)據(jù)。 請估算該型標(biāo)槍沿標(biāo)槍中軸線剖面面積、 標(biāo)槍表面積和 標(biāo)槍形心的位置。2. 現(xiàn)有某標(biāo)槍比賽中 24 名運動員使用同型號標(biāo)槍投擲

5、的實測數(shù)據(jù)。請對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分 析，建立合適的數(shù)學(xué)模型，找出標(biāo)槍飛行過程中的運動規(guī)律。3. 假設(shè)某型標(biāo)槍的幾何參數(shù)同問題 1，重心位于形心前 （重心在槍尖與形心之間） ， 出手時標(biāo)槍的初始俯仰角速度為 0。在無風(fēng)的前提下，對標(biāo)槍投擲出手瞬間、出手后的 受力及運動情況進(jìn)行分析，建立標(biāo)槍飛行的數(shù)學(xué)模型并求解如下問題 :（ 1）假設(shè)某運動員投擲出手速度為、出手角為 、初始攻角為 ，請估算出標(biāo)槍的投擲距離。（ 2）假設(shè)某運動員投擲出手速度為，請給出最佳的出手角和初始攻角使得投擲距離最大并估算出標(biāo)槍的投擲距離。4. 假設(shè)標(biāo)槍技術(shù)參數(shù)同問題 3，風(fēng)向分別為順風(fēng)和逆風(fēng)， 風(fēng)速分別為， 和 ，運動員投擲出手速

6、度為 。請建立標(biāo)槍飛行的數(shù)學(xué)模型，給出最佳出手角、最 佳初始攻角、最佳初始俯仰角速度使得投擲距離最大。5. 標(biāo)槍技術(shù)參數(shù)同問題 3，請分析運動員出手速度、 出手角、初始攻角、初始俯仰角速度、 風(fēng)向及風(fēng)速等要素對標(biāo)槍投擲距離影響的相對重要性。二、問 題分析2.1 問題一的分析標(biāo)槍的技術(shù)參數(shù)包括，標(biāo)槍的長度、重量、幾何形狀、重心的位置、形心的位置等，標(biāo)槍 的形心位置由槍身、槍頭、把手三者綜合判定而得，題目給出了三者長軸和直徑的相關(guān)數(shù) 據(jù)，可以根據(jù) k-means 聚類進(jìn)行分析，來求解此問題。2.2 問題二的分析題目給出了 24 位運動員的標(biāo)槍比賽實測數(shù)據(jù)， 考慮到初始攻角受到了出手角的影響， 我們

7、猜測初始攻角和出手角之間存在聯(lián)系， 可以尋找初始攻角和出手角之間的關(guān)系， 簡化初始攻角、出手角、投擲距離、出手速度之間的關(guān)系，利用多元回歸統(tǒng)計進(jìn)行 分析。2.3 問題三的分析第一小問，閱讀題意，根據(jù)第二問得出的結(jié)論進(jìn)行分析；第二小問，用前面已經(jīng)擬1（題目給合的公式，發(fā)現(xiàn)初始攻角存在某一合法置信區(qū)間，在區(qū)間中設(shè)置步長為 出的數(shù)據(jù)均為整數(shù)） ，猜想，初始攻角結(jié)果也為一個合法的整數(shù)，故出手速度固定， 通過逐漸改變初始攻角的取值，可以得到多組投擲距離，取最優(yōu)解2.4 問題四的分析閱讀題意，順風(fēng)逆風(fēng)改變了出手速度，前述問題，已經(jīng)解決了出手角、初始攻角對 投擲距離的影響， ，而初始俯仰角速度是指標(biāo)槍出手瞬

8、間，標(biāo)槍槍頭半軸（槍尖至重 心部分）在單位時間內(nèi)圍繞重心旋轉(zhuǎn)的角度，建立標(biāo)槍飛行的數(shù)學(xué)模型，給出最佳 出手角、最佳初始攻角、最佳初始俯仰角速度使得投擲距離最大，利用牛頓歐拉方 程求解。2.5 問題五的分析根據(jù)上述問題得到的結(jié)論，對運動員出手速度、出手角、初始攻角、初始俯仰角速度、 風(fēng)向及風(fēng)速等要素， 對標(biāo)槍投擲距離影響的相對重要性進(jìn)行分析總結(jié)， 用自然語言進(jìn)行 詳盡的描述。三、符 號說明我在底下標(biāo)注，自助總結(jié)下吧四、模 型假設(shè)假設(shè)運動員：（ 1） 出手高度為（ 2） 標(biāo)槍重量為（ 3） 不考慮標(biāo)槍在飛行過程中的進(jìn)動影響（ 4） 空氣密度為(6) 如果考慮有風(fēng)，空氣阻力(推力)水平(7) 考慮地

9、心引力(8) 除了出手角度外，考慮初始俯仰角和初始攻角(初始攻角B二持槍角丫 ？出手 角a)五、模型建立與求解5.1問題一模型建立與求解5.1.1模型建立標(biāo)槍長軸與直徑數(shù)據(jù)在不同的部位存在一定的關(guān)系逼近，利用題中已給的數(shù) 據(jù)近似聚類，并進(jìn)行統(tǒng)計描述，以完成對形心位置的準(zhǔn)確預(yù)測。 即利用k-means 聚類研究它們之間的關(guān)系。聚類是一個將數(shù)據(jù)集中在某些方面相似的數(shù)據(jù)成 員進(jìn)行分類組織的過程，發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。我們建立槍身、槍頭、把手三者相關(guān)的聚類模型(1) 選擇3個點作為初始質(zhì)心。(2) 將每個點指派到最近的質(zhì)心，形成3個簇，重新計算每個簇的質(zhì)心，直到 質(zhì)心不發(fā)生變化。(Result表示結(jié)果，

10、v1v2v3表示槍身、槍頭、把手)D(x)表示沿槍軸方向的直徑分布，我們將 D(x)的度量為標(biāo)槍長度分割為多個 刻度，一共70份，利用matlab進(jìn)行擬合得到標(biāo)槍沿槍軸方向的直徑分布模 型：D(x)表示沿槍軸方向的直徑分布在matlab中，標(biāo)槍長度刻度為y軸，沿槍軸方向的直徑分布為x軸，根據(jù)擬合優(yōu)度選用以 e為底的指數(shù)函數(shù)擬合，擬合得到如下圖像擬合優(yōu)度91.34% 反函數(shù)運算得到 D(x)表達(dá)式查閱相關(guān)資料，結(jié)合分析，發(fā)現(xiàn)，該型標(biāo)槍沿標(biāo)槍中軸線剖面面積以及標(biāo)槍表面積滿足下列表達(dá)式(s剖表示標(biāo)槍中軸線剖面面積，x表示從槍尖為起點的標(biāo)槍長度，D(x)表示沿槍軸方向的直徑分布，L表示標(biāo)槍長度，800

11、g標(biāo)槍 取 2.6m)5.1.2模型求解根據(jù)上述模型，可以得到，三者樣本量集群分布如下：由結(jié)合、分割輪廓可知三者品質(zhì)如下，形心位于槍身(品質(zhì)：劣)處：經(jīng)過k-means聚類得到下述結(jié)果：最終經(jīng)過計算：形心位于距離槍尖1050mn處利用matlab軟件對剖面面積以及標(biāo)槍表面積進(jìn)行辛普森梯形數(shù)值積分，得到表面積為 145074(mm2)，剖面積 67336(mm2)5.2問題二模型建立與求解5.2.1模型的建立利用SPSS軟件對變量進(jìn)行距離相關(guān)性分析，發(fā)現(xiàn)運動員出手速度V (米/秒)，出手角(度)，初始攻角(度)，投擲距離dist (米)4者之間存在相關(guān)性，結(jié)果如下： 我們以v,為自變量，dist

12、為因變量進(jìn)行多元回歸分析擬合準(zhǔn)確度符合預(yù)期查閱文獻(xiàn)我們知道，出手角度：，初始俯仰角，貝U，初始攻角1，我們經(jīng)過分析及查閱相關(guān)文檔發(fā)現(xiàn)， 考慮初始攻角1由出手角以及初始俯仰角 聯(lián)合 影響，故，只考慮初始攻角即可，擬合發(fā)現(xiàn)，初始攻角 、出手速度v二者之間對投擲距離dist的影響滿足二兀二次關(guān)系：函數(shù)圖像如下：傅里葉函數(shù)6次擬合出手角：和初始攻角一：之間的關(guān)系:5.2.2模型的求解標(biāo)槍飛行過程中的運動規(guī)律如下：htan：（1）在只考慮出手速度v，出手角：，高度h，情況下則滿足斜拋運動方程，距離S小 v sin2«S廠g（2）考慮初始攻角,出手角:-出手速度V時，忽略高度的影響因素，距離 d

13、ist5.3問題三模型建立與求解5.3.1模型的建立假設(shè)某型標(biāo)槍的幾何參數(shù)同問題1,重心位于形心前（重心在槍尖與形心之間），出手時標(biāo)槍的初始俯仰角速度為0。在無風(fēng)的前提下，對標(biāo)槍投擲出手瞬間、出手后的受力及運動情況進(jìn)行分析：簡化模型，忽略初始俯仰角速度和重心對標(biāo)槍投擲的影響；標(biāo)槍出手瞬間，受到手的推力和重力；標(biāo)槍出手后，只受重力。由第二問的分析以及第三問題意知，標(biāo)槍投擲滿足模型25.3.2模型的求解（1）假設(shè)某運動員投擲出手速度為、出手角為、初始攻角為，由第二問的結(jié)論可以估算出標(biāo)槍的投擲距離為83.904m（2）將初始攻角的區(qū)間設(shè)為（-20,10 ），步長設(shè)為1,建立程序計算得到，（程 序見附

14、錄），初始攻角為-7度時，投擲距離較大，投擲距離為85.817m,而用擬合的另一個公式，:=33.73 - 0.7881COS0.7267 ： - 1.525sin 0.7267 一： -1.04cos1.4534 -0.1092sin 1.4534 ： -1.196cos2.180V -2.07sin 2.180V - 0.51cos2.9068'-0.07145sin 2.9068 ：0.6295cos3.6335 一： - 0.07075sin 3.6335 -1.13cos4.3602 ： -1.743sin 4.3602 -由初始攻角得到，出手角為34.6875度5.4問題四

15、模型建立與求解5.4.1模型的建立查閱相關(guān)文獻(xiàn)，我們知道出手角度為32°，（1） 初始攻角為0°6°時,如有逆風(fēng)，標(biāo)槍飛行遠(yuǎn)度均呈現(xiàn)出下降的趨勢；（2）當(dāng)初始攻角0°時,逆風(fēng)增大只會引起飛行遠(yuǎn)度大幅度地下降。（3）在順風(fēng)風(fēng)速為012 m/s,初始攻角為-6 ° 6°時，標(biāo)槍的飛行遠(yuǎn)度隨風(fēng)速增加有所增加，尤其是在初始攻角為6°時增加幅度更大。（4）但當(dāng)風(fēng)速超過12 m/s時，飛行遠(yuǎn)度會急劇下降。出手角度為40°時，（1） 初始攻角為-6 ° 6時,如有逆風(fēng)，標(biāo)槍飛行遠(yuǎn)度均會減小，（2）初始攻角 0。時下降的

16、幅度更大。（3） 順風(fēng)時，在上述條件下，標(biāo)槍的飛行遠(yuǎn)度會有較大幅度增加，但風(fēng)速一旦超過9 m/s12 m/s,飛行遠(yuǎn)度會大大減小通過上面的論述，我們可以知道，題目中給出的順風(fēng)逆風(fēng)速度沒有讓實驗結(jié) 果出現(xiàn)指數(shù)級別的誤差，并且為我們后面的研究提供了理論和數(shù)值基礎(chǔ)。 在這里，嘗試建立人體-標(biāo)槍運動動力學(xué)方程: 將標(biāo)槍視為純凈剛體，利用牛頓歐拉方程建立剛體的動力學(xué)方程，作用在標(biāo)槍上的力有重力以及空氣阻力（反作用力）符號說明：J標(biāo)槍轉(zhuǎn)動慣量r質(zhì)點距離轉(zhuǎn)軸，默認(rèn)15mnx（t）標(biāo)槍位移x'（t）標(biāo)槍速度x”（t）標(biāo) 槍加速度v出出手速度v順順風(fēng)速度v逆逆風(fēng)速度為出手角，攻初始攻角M標(biāo)槍質(zhì) 量I標(biāo)槍

17、長度（力矩）初始俯仰角速度h運動員高度X風(fēng)向阻力542模型的求解將初速代入上述模型求解可得順風(fēng)逆風(fēng)最佳出手角（度）38.740.341.140.639.938.4最佳初始攻角（度）-7.1-6.7-6.4-5.7-6.1-6.9最佳初始俯仰角速度（度/秒）-8-8-9-9-9-8最大投擲距離（米）87.589.190.489.588.187.05.5問題五模型建立與求解通過對擲標(biāo)槍運動的研究，主要將得出以下兩個方面的結(jié)論:一、人體投擲動作對標(biāo)槍初始條件的影響本文先對飛行系統(tǒng)進(jìn)行了統(tǒng)計預(yù)測，在對人體-標(biāo)槍系統(tǒng)建立剛體力學(xué)模 型基礎(chǔ)上，通過動力學(xué)普遍定理推導(dǎo)了該系統(tǒng)運動的動力學(xué)方程，最終得出了 各

18、個剛體之間的相互作用力矩與剛體之間相對角度之間的關(guān)系，從而間接建立了各剛體之間相互作用力及力矩與標(biāo)槍飛行的初始條件之間的關(guān)系。二、初始條件和風(fēng)對標(biāo)槍飛行遠(yuǎn)度的影響將得出以下幾個結(jié)論在對標(biāo)槍飛行的計算機模擬以及模擬得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后，(1) 在其它初始條件不變的情況下， 隨著初速度的不斷增加， 標(biāo)槍的飛行遠(yuǎn)度也不斷 增加, 而月增加的幅度有加大的趨勢。 在本文研究的范圍內(nèi)， 它們基本上呈線性關(guān)系。(2) 在其它初始條件不變的情況下，標(biāo)槍在出手角度為0° 42°的范圍內(nèi)，隨著出手角度的增加 , 標(biāo)槍的飛行遠(yuǎn)度基本上是不斷增加的。當(dāng)出手角度為45°時，在空氣阻力的影響

19、下 , 并不能使標(biāo)槍的飛行遠(yuǎn)度達(dá)到最大。當(dāng)出手角度超過42°以后，標(biāo)槍的飛行遠(yuǎn)度有所下降。本文認(rèn)為該標(biāo)槍的最佳出手角度大約在42 度左右。(3) 在其它初始條件 -定的情況下，初始俯仰角速度小于 0 時標(biāo)槍要飛的更遠(yuǎn)一些。 認(rèn)為標(biāo)槍的最佳初始俯仰角速度大約在 -0.26rad/s -0.17rad/s范圍內(nèi)。(4) 在本文的研究中，初始攻角的變化和出手角存在一定的關(guān)系。六、模 型評價問題一采用的是 K-means 聚類，雖然直觀，但是不便于數(shù)據(jù)的具體統(tǒng)計。 問題二利用多元回歸統(tǒng)計進(jìn)行分析，采取的是忽略次要因素，突出主要因素， 可能會在結(jié)論上出現(xiàn)些許偏差。問題三在問題二的基礎(chǔ)上修繕，在

20、程序上采用步長推斷法，導(dǎo)出合適的結(jié)論。 問題四更加復(fù)雜化， 在數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上， 結(jié)合物理模型， 建立牛頓歐拉方程， 求解問題，結(jié)果較為準(zhǔn)確。問題五對整個標(biāo)槍問題進(jìn)行系統(tǒng)地總結(jié)概括。七、參考文獻(xiàn)標(biāo)槍的氣動力特性和幾何 _物理參數(shù)測量 _蔡國華 標(biāo)槍幾何物理參數(shù)與空氣動力學(xué)性能 _王倩標(biāo)槍的仰角與阻力_ 王吉壽世界優(yōu)秀男子標(biāo)槍運動員最后用力階段運動學(xué)參數(shù)分析_鄭紅巖風(fēng)對標(biāo)槍飛行初始條件及遠(yuǎn)度的影響王倩(一般力學(xué)與力學(xué)基礎(chǔ)專業(yè)論文)人體一標(biāo)槍系統(tǒng)對標(biāo)槍飛行初始條件的影響及標(biāo)槍飛行的計算機模擬八、附錄附錄：#in clude<bits/stdc+.h>using n amespace s

21、td;int mai n()double x100;double y100;double z100;double p00 =2115 ;double p10 =-94.97;double p01 =-221.1 ;double p20 =0.5152double p11 =6.849 ;double p02 =7.788 ;double p30 =-0.003476double p21 =-0.01733double p12 =-0.1229double p03 =-0.08907int i;for(i=1;i<=31;i+)xi=30;for(i=1;i<=31;i+)yi=i-11;for(i=1;i<=31;i+)zi = p00 + p10*xi + p01*yi+ p20*xi*xi + p11*