方程與函數(shù)的區(qū)別

1、方程與函數(shù)的區(qū)別?代數(shù)式:用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子,叫代數(shù)式。函數(shù):如果對于一個變量(比如x)在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值,變量(比如y)都有唯一確定的值和它對應(yīng),那么,就把y叫做x的函數(shù)。函數(shù)式:用解析法(公式法)表示函數(shù)的式子叫函數(shù)式。方程:含有未知數(shù)的等式叫方程。解析式表示因變量與自變量的關(guān)系。聯(lián)系:函數(shù)式和方程式都是由代數(shù)式組成的.沒有代數(shù)式,就沒有函數(shù)和方程.方程只是函數(shù)解析式在某一特定函數(shù)值的解。方程表示特定的因變量的自變量解。如5x+6=7這是方程； y=5x+6這是解析式 。區(qū)別:1.概念不一樣.2.代數(shù)式不用等號連接.3.函數(shù)表示兩個變量之間的關(guān)系.因變量(

2、函數(shù))隨變量(自變量)的變化而變化.4.方程是含有未知數(shù)的等式.其未知數(shù)(變量)的個數(shù)不固定.未知數(shù)之間不存在自變和因變的關(guān)系. 方程重在說明幾個未知數(shù)之間的在數(shù)字間的關(guān)系；方程可以通過求解得到未知數(shù)的大??；方程可以通過初等變換改變等號左右兩邊的方程。方程的解是固定的，但函數(shù)無固定解值解。式；函數(shù)只可以化簡，但不可以對函數(shù)進行初等變換。5. 函數(shù)和方程本質(zhì)區(qū)別就是:方程中未知數(shù)x是一個常量（雖然方程可能有多個解），函數(shù)中x是變量，因此y也是變量，并且是由于x的變化而變化。6.函數(shù)：重在說明某幾個自變量的變化對因變量的影響；特定的自變量的值就可以決定因變量的值；就像平面解析幾何里圓就是方程、區(qū)別

3、在于函數(shù)就看他們的值是否一一對應(yīng)。 就像圓的方程（x-a）2+(y-b)2=r2就是方程，它們的值不是一一對應(yīng)關(guān)系，所以不是函數(shù)是方程的一種，函數(shù)強調(diào)的是一一對應(yīng)，及1個X值（自變量）只能有一個Y值（應(yīng)變量）與之對應(yīng)比如：y=x+1 它是函數(shù)， y2=x 它不是函數(shù)，但它是方程。7.函數(shù)和方程是數(shù)學(xué)中的兩個基本概念，在許多情況下它們可以相互轉(zhuǎn)化。例如在一元函數(shù)y = f(x)用一個解析式表示并且不需要區(qū)分自變量和因變量(函數(shù))時，這個函數(shù)式就可以看作一個二元方程；反之，能夠由方程F(x, y) = 0確定的函數(shù)關(guān)系稱為隱函數(shù)(4, p.9)。但是函數(shù)與方程是有差別的。8. 首先,函數(shù)的自變量和

4、因變量是一一對應(yīng)的,一個X值只有一個相應(yīng)的Y值與之對應(yīng),而曲線方程則不然,比如一個橢圓方程中,對于一個X值有兩個Y值與之對應(yīng).像這樣的曲線方程就不能成為一個函數(shù)的表達式.其次,函數(shù)表達式表示的是兩個變量之間一一對應(yīng)的關(guān)系,而曲線方程則借用點的集和的方式來將一個曲線以代數(shù)的形式表現(xiàn)出來,實質(zhì)上一個曲線的表達。二者關(guān)系可以通過例子來看：x2+x-1=0相當于函數(shù)y=x2+x-1函數(shù)值y=0，解方程問題就轉(zhuǎn)化為函數(shù)的自變量x定義域中取什么值時y=0？有點像求反函數(shù)。自然x2+x-1=1 變成x2+x-1=y也未嘗不可，解方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)的自變量x定義域中取那個值時y=1？實際上上了大學(xué)學(xué)了高等數(shù)學(xué)就知

5、道都可以，數(shù)學(xué)是工具為人所用，怎么簡單就怎么來。但是剛開始學(xué)習(xí)函數(shù)，函數(shù)是有自己的規(guī)律法則的。所以 x2+x-1=1要把他轉(zhuǎn)換成函數(shù)形式就要把1 移到左邊即x2+x-2=y，相當于規(guī)定都求y=0時的x，這個規(guī)定也是約定俗成的，數(shù)學(xué)中方程標準都是形式都是右邊為零。方式應(yīng)該是(x,y)|曲線方程推薦精選按照定義，方程是含有未知數(shù)的等式，函數(shù)是兩個非空數(shù)集之間的一個映射。方程F(x, y)0中的x和y都是未知數(shù)，關(guān)聯(lián)法則F同時作用于x 和y，交換兩個未知數(shù)的位置時它們之間的關(guān)聯(lián)法則通常要改變，得到的新方程與原方程一般不是同解方程(除了一些特殊情況外，以下同)。而函數(shù)中需區(qū)分自變量和因變量，對應(yīng)法則只

6、作用于自變量；一個函數(shù)由定義域A、值域C和對應(yīng)法則f確定，與定義域和值域中的元素用什么字母表示無關(guān)。因此y = f (x) (xÎA, yÎC)和x = f (y)(yÎA, xÎC)表示相同的函數(shù)，但它們通常不是同解的方程； y = f(x) (xÎA, yÎC)和x = f -1(y) (xÎA, yÎC)一般是不同的函數(shù)，但它們是同解的方程。例如y 2x (x為自變量) x 2y (y為自變量)是相同的函數(shù)、不同解的方程；而y 2x (x為自變量)與 x y (y為自變量)是不同的函數(shù)、同解的方程。由此可知，

7、在方程F(x, y) = 0能夠確定隱函數(shù)時，那么也應(yīng)該確定兩個函數(shù)關(guān)系y = f(x)和x = f -1(y)，而不應(yīng)當僅僅是前者。例如方程2s- gt2 = 0( t ³ 0 )就可以確定函數(shù)s = f(t) = gt2 ( t ³ 0 ) 以及函數(shù)t =j(s) = ( s ³ 0 ) ，其中g(shù) > 0是一個常數(shù)。與顯然是不同的函數(shù)，但作為方程它們都與同解。函數(shù)與方程的這種差別自然也應(yīng)該反映在作圖上。作二元方程的圖形時實際上是把未知數(shù)區(qū)分為第一未知數(shù)、第二未知數(shù)，用前者的值做橫坐標、后者的值做縱坐標。例如作方程的圖形時既可以用t的值、也可以用s的值做橫

8、坐標，取決于把誰看作第一未知數(shù)。但是在作以x和y為未知數(shù)的方程的圖形時，因為直角坐標系中的橫軸和縱軸習(xí)慣上分別表示為X軸和Y軸(以下簡稱習(xí)慣1)，所以總是用x的值做橫坐標、y的值做縱坐標以免混淆。這種作圖方式事實上是默認下面的約定1當方程中的未知數(shù)用x和y表示時就把x視為第一未知數(shù)。依照上述作圖方式，同解的方程y 2x和 x y的圖形相同，不同解的方程y 2x和 x 2y的圖形也不同，這說明約定1是合理的。而對作函數(shù)的圖象，中學(xué)和大學(xué)的數(shù)學(xué)教材(例如 4，§2 和 5，§1.6 )中都提到了下面的約定2在平面直角坐標系中作函數(shù)的圖象，橫坐標對應(yīng)自變量的值，縱坐標對應(yīng)函數(shù)值。

9、即作函數(shù)圖象時，應(yīng)該用自變量的值做橫坐標、函數(shù)值做縱坐標，而不管它們分別用什么字母表示。例如在作函數(shù)的圖象時應(yīng)該用t的值做橫坐標，作函數(shù)的圖象時應(yīng)該用s的值做橫坐標。同理，在作函數(shù)x = f(y)的圖象時應(yīng)該用y的值做橫坐標、x的值做縱坐標，而不應(yīng)當依據(jù)約定1按照方程的作圖方式作圖。于是在同一個直角坐標系中，把y = f (x)和x = f (y)看作函數(shù)時它們的圖象是相同的，看作方程時它們的圖形一般是不同的；把y = f(x) 和x = f -1(y)看作函數(shù)時它們的圖象一般是不同的，而看作方程時它們的圖形是相同的。由此得出“在同一直角坐標系中，相同的函數(shù)的圖象相同，不同的函數(shù)的圖象也不同”

10、這樣一個順理成章的結(jié)論，說明了約定2的合理性。雖然同樣由于習(xí)慣1，在作函數(shù)x = f (y)的圖象時為了避免混淆，常常對調(diào)其中的x和y把函數(shù)式改寫為y = f (x)，但是可以這樣做的理由正是因為y = f (x)與x = f (y)是相同的函數(shù)，而不是把它們看作方程。推薦精選如果只注意到函數(shù)與方程的“同”而忽略了它們之間的“異”，在考察某些具體問題時就會出現(xiàn)失誤。例如對于反函數(shù)表達式中需要交換x和y的原因，一般都是用“習(xí)慣上，我們一般用 x 表示自變量，y 表示函數(shù)”(以下簡稱習(xí)慣2)來說明。某種習(xí)慣值得遵循應(yīng)當有其合理性以及必要性。對為什么有必要遵循這個習(xí)慣，存在不同看法。一種影響較大的觀

11、點是：由于在同一直角坐標系中， y = f(x)和x = f -1(y)的圖象相同, 因此“把反函數(shù)x = f -1(y)改寫成 y = f -1(x) 還有一個好處，即它們的圖象關(guān)于直線y = x對稱”(1，p.38)。這種觀點也經(jīng)常反映在一些習(xí)題中，例如：(1) 若函數(shù) y = f (x) 有反函數(shù), 則在同一坐標系中, y = f (x) 和 x = f -1(y)的圖象A. 關(guān)于直線y = x對稱B. 關(guān)于y軸對稱C. 表示同一曲線D. 關(guān)于原點對稱(2) 若函數(shù) y = f (x) 存在反函數(shù), 則下列命題中不正確的是A 函數(shù)y = f (x) 與函數(shù) x = f (y)的圖象關(guān)于直

12、線y = x對稱B. 若y = f (x) 是奇函數(shù), 則 y = f -1(x) 也是奇函數(shù)C. 若y = f (x) 在其定義域 a, b 上是增函數(shù), 則 y = f -1(x) 在 a, b 上也是增函數(shù)D.函數(shù)y = f (x) 和 x = f -1(y)的圖象重合6中給出(1)的答案是C，7中給出的(2)答案也是C。筆者認為上述觀點的缺陷在于忽略了函數(shù)與方程的差別，從而在討論同一問題時先后使用了不同的標準。即在考察原函數(shù)與反函數(shù)的圖象時先把函數(shù)看作方程，得出它們的圖象相同的結(jié)論；而在改寫反函數(shù)時又需要把它們看作函數(shù)，所以才可以改寫。這樣將會導(dǎo)致邏輯推理的沖突。事實上，因為函數(shù)x =

13、 f -1(y)和y = f -1(x)表示相同的函數(shù)關(guān)系，所以允許交換其中的x和y，這是可以遵循習(xí)慣2改寫反函數(shù)的理論依據(jù)。而認為兩個不同的函數(shù)y = f(x)和x = f -1(y)的圖象相同, 兩個相同的函數(shù)y = f (x)與 x = f (y)的圖象不相同，是把它們等同于方程了；但是如果看作方程，那么x = f -1(y)與 y = f -1(x)一般情況下是不同解的，又怎么能用后者去代替前者呢？此外，根據(jù)定義，函數(shù)y = f(x)的反函數(shù)是x = f -1(y)，如果要改寫反函數(shù)后“原函數(shù)的圖象與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線 y = x 對稱”才能成立，那么這個結(jié)論是否顯得牽強(因為原本是

14、不成立的)？由此自然會對改寫反函數(shù)的必要性產(chǎn)生疑問，一種看法甚至認為是遷就了“不良的習(xí)慣”(例如2，第26頁)。在一些較早的教科書中把函數(shù)的解析式就稱為方程，對函數(shù)和方程的圖形不加區(qū)別。例如對我國50年代數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生過一定影響的3在討論反函數(shù)的圖象時，先指出方程y = f(x)和x = f -1(y)所給出的x與y之間的關(guān)系是相同的(實際上應(yīng)當是把y = f(x)和x = f -1(y)都看作方程F(x, y)0時x與y之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系F相同，而不是作為函數(shù)時的對應(yīng)關(guān)系f和f 1)，所以它們的圖象相同。然后說明此時(即按照方程的作圖方法)需把 x = f -1(y)中的自變量y取在Y軸上很不方便

15、，因此需要旋轉(zhuǎn)整個平面使表示自變量的軸和表示函數(shù)的軸互換位置(事實上已經(jīng)認可了約定2)，于是反函數(shù)x = f -1(y)就變成y = f -1(x)了。這樣得出y = f -1(x)略顯麻煩，而且旋轉(zhuǎn)時坐標軸的方向及名稱是否改變？所以后來編寫的大部分教科書中的說法與此有所不同。 4，§2中把約定1作為改寫反函數(shù)的原因，說明了改寫的必要性。但是在此之前的陳述“從圖形上看，曲線y = f(x)和x = f -1(y)是同一條曲線”仍然是先看成方程。5，§1.8中指出x = f -1(y)和y = f -1(x)表示同一個函數(shù)，說明了改寫的合理性，而對其必要性則與中學(xué)課本一致，用

16、前面提到的“習(xí)慣上”解釋。推薦精選其實只要以前面的兩個約定為依據(jù)，對該問題容易作出簡明合理的解釋，即：把y = f(x) 和x = f -1(y) 看作方程時它們的圖形是相同的，但是這里考慮的對象是函數(shù)，在作反函數(shù)x = f -1(y) 的圖象時應(yīng)該按照約定2以y 的值作橫坐標、x 的值作縱坐標，這樣畫出的圖形與原函數(shù) y = f(x) 的圖象關(guān)于直線 y = x 對稱(因此“原函數(shù)的圖象與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線 y = x 對稱”本來就是成立的，并不依賴于改寫反函數(shù)表達式)。 只是在橫軸和縱軸已經(jīng)分別表示為X軸、Y軸的情況下這樣作圖容易產(chǎn)生混淆，所以交換一下反函數(shù)中x和y的位置，既沒有改變反函

17、數(shù)的實質(zhì)，又避免了作圖時的不便，筆者認為這才是有必要改寫反函數(shù)表達式的主要原因。按照前面的討論，習(xí)題(1)的正確答案應(yīng)該是A, 習(xí)題(2)中的命題A、C、D都是不正確的。由此可見，由于對函數(shù)與方程的關(guān)系的認識分歧造成了對一些具體問題的說法不統(tǒng)一，并且這些分歧已經(jīng)反映到教學(xué)中，可能給學(xué)生造成認知上的困難和混亂。因此有必要統(tǒng)一認識，以便于對有關(guān)問題給出合理、一致的解釋。筆者認為引入習(xí)慣1和習(xí)慣2等“習(xí)慣”的原意是將本質(zhì)上相同的對象如方程、函數(shù)、圖形等用一般形式加以抽象、概括，以便于研究和敘述其普遍規(guī)律。盡管遵循這些習(xí)慣可以帶來一些方便并且已經(jīng)被廣泛采納，但是由于變量或未知數(shù)經(jīng)常用其它符號表示(例如

18、在物理中)，并且自變量和因變量也可能相互轉(zhuǎn)化(例如求反函數(shù)時)，因此在考察具體問題時不應(yīng)過分受其束縛。若拘泥于上述習(xí)慣而忽略了對象或方法的實質(zhì)性的差別(如約定1與約定2)，那就偏離了引入這些習(xí)慣的初衷。因此建議在教學(xué)中應(yīng)當注意強調(diào)(最好在教科書中就明確指出)一般性方法，例如作二元方程的圖形時用第一未知數(shù)的值做橫坐標、第二未知數(shù)的值做縱坐標，作函數(shù)的圖象時用自變量的值做橫坐標、函數(shù)值做縱坐標等，并且在有關(guān)部分適當增加變量或未知數(shù)用其它字母表示的函數(shù)或方程的例、習(xí)題。這樣可以讓初學(xué)者通過比較認清方法的實質(zhì)，有利于對一般規(guī)律的理解和掌握，避免形成錯誤的思維定勢(例如x一定是自變量，y一定是因變量，作函數(shù)x = ¦ -1(y)的圖象時也必須用x值作橫坐標等)。隨著科學(xué)技術(shù)的進展，數(shù)學(xué)理論本身也在不斷完善，如引進集合的概念，給出函數(shù)的現(xiàn)代定義等，從而對某些問題的看法也可能有必要更新。橢圓X=a cosx y=b sinx 雙曲線： x = a*sec y = b*tg拋物線： x = 2p*t2 y = 2p*t 橢圓可用三角函數(shù)來建立參數(shù)方程 橢圓：x2/a2 +y2/b2=1 橢圓上的點可以設(shè)為（a·cos，b·sin） 雙曲線：x2/a2 - y2/