高中數(shù)學 第三章 不等式 3.1 不等關系與不等式學案 新人教A版必修5

1、3.1不等關系與不等式學習目標：1.了解不等式的性質(重點).2.能用不等式(組)表示實際問題中的不等關系(難點)自 主 預 習·探 新 知1不等符號與不等關系的表示：(1)不等符號有，；(2)不等關系用不等式來表示2不等式中的文字語言與符號語言之間的轉換大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于思考：不等式ab和ab有怎樣的含義？提示不等式ab應讀作：“a大于或等于b”，其含義是a>b或ab，等價于“a不小于b”，即若a>b或ab中有一個正確，則ab正確不等式ab應讀作：“a小于或等于b”，其含義是a<b或ab，等價于“a不大于b”，即若a<b或ab中有一

2、個正確，則ab正確3比較兩實數(shù)a，b大小的依據(jù)思考：x21與2x兩式都隨x的變化而變化，其大小關系并不顯而易見你能想個辦法，比較x21與2x的大小，而且具有說服力嗎？提示作差：x212x(x1)20，所以x212x.4不等式的性質名稱式子表達性質1(對稱性)a>bb<a性質2(傳遞性)a>b，b>ca>c性質3(可加性)a>bac>bc推論ab>ca>cb性質4(可乘性)a>b，c>0ac>bca>b，c<0ac<bc性質5(不等式同向可加性)a>b，c>dac>bd性質6(不等式同向正

3、數(shù)可乘性)a>b>0，c>d>0ac>bd性質7(乘方性)a>b>0an>bn(nn，n1)性質8(開方性)a>b>0>(nn，n2)思考：關于不等式的性質，下列結論中正確的有哪些？(1)a>b且c>d則ac>bd.(2)a>b則ac>bc.(3)a>b>0且c>d>0則>.(4)a>b>0則an>bn.(5)a>b則>.提示對于不等式的性質，有可加性但沒有作差與作商的性質，(1)中例如5>3且4>1時，則54>31是錯的

4、，故(1)錯(2)中當c0時，不成立(3)中例如5>3且4>1，則>是錯的，故(3)錯(4)中對n0均不成立，例如a3，b2，n1，則31>21顯然錯，故(4)錯(5)因為>0，所以a·>b·，故(5)正確因此正確的結論有(5)基礎自測1思考辨析(1)不等式x2的含義是指x不小于2.()(2)若a<b或ab之中有一個正確，則ab正確()(3)若a>b，則ac>bc一定成立()(4)若ac>bd，則a>b，c>d.()答案(1)(2)(3)×(4)×提示：(1)正確不等式x2表示x&g

5、t;2或x2，即x不小于2.(2)正確不等式ab表示a<b或ab.故若a<b或ab中有一個正確，則ab一定正確(3)錯誤由不等式的可乘性知，當不等式兩端同乘以一個正數(shù)時，不等號方向不變，因此若a>b，則ac>bc不一定成立(4)錯誤取a4，c5，b6，d2.滿足ac>bd，但不滿足a>b.2大橋頭豎立的“限重40噸”的警示牌，是指示司機要安全通過該橋，應使車貨總重量t不超過40噸，用不等式表示為()at<40bt>40ct40 dt40c限重就是不超過，可以直接建立不等式t40.3已知a>b，c>d，且cd0，則()【導學號：9143

6、2263】aad>bc bac>bccac>bd dac>bdda，b，c，d的符號未確定，排除a、b兩項；同向不等式相減，結果未必是同向不等式，排除c項，故選d項4設m2a22a1，n(a1)2，則m，n的大小關系是_mnmn2a22a1(a1)2a20.合 作 探 究·攻 重 難用不等式表示不等關系用一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18 m，要求菜園的面積不小于110 m2，靠墻的一邊長為x m試用不等式表示其中的不等關系.【導學號：91432264】解由于矩形菜園靠墻的一邊長為x m，而墻長為18 m，所以0<x18，這時菜園

7、的另一條邊長為(m)因此菜園面積sx·，依題意有s110，即x110，故該題中的不等關系可用不等式表示為規(guī)律方法1此類問題的難點是如何正確地找出題中的顯性不等關系和隱性不等關系2當問題中同時滿足幾個不等關系，則應用不等式組來表示它們之間的不等關系，另外若問題有幾個變量，選用幾個字母分別表示這些變量即可3用不等式(組)表示不等關系的步驟：(1)審清題意，明確表示不等關系的關鍵詞語：至多、至少、不多于、不少于等(2)適當?shù)脑O未知數(shù)表示變量(3)用不等號表示關鍵詞語，并連接變量得不等式跟蹤訓練1某礦山車隊有4輛載重為10 t的甲型卡車和7輛載重為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員此車隊每天至少

8、要運360 t礦石至冶煉廠已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關系的不等式解設每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，則即比較兩數(shù)(式)的大小已知a，b為正實數(shù)，試比較與的大小.【導學號：91432265】思路探究：注意結構特征，嘗試用作差法或者作商法比較大小解法一：(作差法)().a，b為正實數(shù)，>0，>0，()20，0，當且僅當ab時等號成立(當且僅當ab時取等號)法二：(作商法)11，當且僅當ab時取等號>0，>0，(當且僅當ab時取等號)法三：(平方后作差)22，()2ab2，2()2.a>0，b>0，0，又&

9、gt;0，>0，故(當且僅當ab時取等號)規(guī)律方法1作差法比較兩個數(shù)大小的步驟及變形方法：(1)作差法比較的步驟：作差變形定號結論(2)變形的方法：因式分解；配方；通分；對數(shù)與指數(shù)的運算性質；分母或分子有理化；分類討論2如果兩實數(shù)同號，亦可采用作商法來比較大小，即作商后看商是大于1，等于1，還是小于1.跟蹤訓練2已知x<1，比較x31與2x22x的大小解(x31)(2x22x)(x1)(x2x1)2x(x1)(x1)(x2x1)(x1).因為x<1，所以x1<0.又2>0，所以(x1)<0.所以x31<2x22x.不等式性質的應用探究問題1小明同學做題

10、時進行如下變形：2<b<3，<<，又6<a<8，2<<4.你認為正確嗎？為什么？提示：不正確因為不等式兩邊同乘以一個正數(shù)，不等號的方向不變，但同乘以一個負數(shù)，不等號方向改變，在本題中只知道6<a<8.不明確a值的正負故不能將<<與6<a<8兩邊分別相乘，只有兩邊都是正數(shù)的同向不等式才能分別相乘2由6<a<8，4<b<2，兩邊分別相減得2<ab<6，你認為正確嗎？提示：不正確因為同向不等式具有可加性與可乘性但不能相減或相除，解題時要充分利用條件，運用不等式的性質進行等價變形，而

11、不可隨意“創(chuàng)造”性質3你知道下面的推理、變形錯在哪兒嗎？2<ab<4，4<ba<2.又2<ab<2，0<a<3，3<b<0，3<ab<3.這怎么與2<ab<2矛盾了呢？提示：利用幾個不等式的范圍來確定某不等式的范圍要注意：同向不等式兩邊可以相加(相乘)，這種轉化不是等價變形本題中將2<ab<4與2<ab<2兩邊相加得0<a<3，又將4<ba<2與2<ab<4兩邊相加得出3<b<2，又將該式與0<a<3兩邊相加得出3<ab&

12、lt;3，多次使用了這種轉化，導致了ab范圍的擴大已知c>a>b>0，求證：>.【導學號：91432266】思路探究：如何證明<？由<怎樣得到<？解c>a>b>0，ca>0，cb>0.由<，>.母題探究：1.(變條件，變結論)將例題中的條件“c>a>b>0”變?yōu)椤癮>b>0，c<0”證明：>.證明因為a>b>0，所以ab>0，>0.于是a×>b×，即>.由c<0，得>.2(變條件，變結論)將例題中的條件

13、“c>a>b>0”變?yōu)椤耙阎?<a<8,2<b<3”如何求出2ab，ab及的取值范圍解因為6<a<8,2<b<3，所以12<2a<16，所以10<2ab<19.又因為3<b<2，所以9<ab<6.又<<，(1)當0a<8時，0<4；(2)當6<a<0時，3<<0.由(1)(2)得3<<4.規(guī)律方法1利用不等式的性質證明不等式注意事項(1)利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式解決此類問題一定要在理解的基礎上， 記準、記

14、熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用(2)應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則2利用不等式性質求代數(shù)式的范圍要注意的問題(1)恰當設計解題步驟，合理利用不等式的性質(2)運用不等式的性質時要切實注意不等式性質的前提條件，切不可用似乎是很顯然的理由，代替不等式的性質，如由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等(3)準確使用不等式的性質，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯誤當 堂 達 標·固 雙 基1某校對高一美術生劃定錄取分數(shù)線，專業(yè)成績x不低于95

15、分，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式組表示為_“不低于”即“”，“高于”即“>”，“超過”即“>”，所以2若<<0，則下列不等式：ab<ab；|a|>|b|；a<b中，正確的不等式有_個.【導學號：91432267】1由<<0，得a<0，b<0，故ab<0且ab>0，所以ab<ab，即正確；由<<0，得>，兩邊同乘|ab|，得|b|>|a|，故錯誤；由知|b|>|a|，a<0，b<0，那么a>b，故錯誤3已知a，b均為實數(shù)，則(a3)(a5)_(a2)(a4)(填“>”“<”或“”)<因為(a3)(a5)(a2)(a4)(a22a15)(a22a8)7<0，所以(a3)(a5)<(a2)(a4)4若8<x<10,2<y<4，則的取值范圍是_(2,5)2<y<4，<<.8<x<10，2<<5.5若bcad0，bd>0.求