浙江專用高中數(shù)學(xué)第四章圓與方程4.24.2.1直線與圓的位置關(guān)系學(xué)案新人教A版必修2201

1、 1 4.4.2.12.1 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系 目標(biāo)定位 1.理解直線和圓的三種位置關(guān)系.2.會(huì)用代數(shù)與幾何兩種方法判斷直線和圓的位置關(guān)系. 自 主 預(yù) 習(xí) 直線與圓的位置關(guān)系及判斷 位置關(guān)系 相交 相切 相離 公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 2 個(gè) 1 個(gè) 0 個(gè) 判定方法 幾何法：設(shè)圓心到直線的距離 d|aabbc|a2b2 dr 代數(shù)法：由axbyc0（xa）2（yb）2r2 消元得到一元二次方程的判別式 0 0 0 圖形 即 時(shí) 自 測(cè) 1.判斷題 (1)直線與圓的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離.() (2)直線和圓相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn).() (3)過圓外一點(diǎn)作圓的切線有兩條.()

2、 (4)解決有關(guān)直線與圓的位置關(guān)系問題有兩種思路：一是代數(shù)法，二是幾何法.() 2.直線 3x4y120 與圓(x1)2(y1)29 的位置關(guān)系是( ) a.過圓心 b.相切 c.相離 d.相交但不過圓心 解析 圓心(1，1)到直線 3x4y120 的距離d|314（1）12|32421150 時(shí)，即m0 或m43時(shí)，直線與圓相交，即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)0 時(shí)，即m0 或m43時(shí)，直線與圓相切，即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)0 時(shí)，即43m0，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點(diǎn). 法二 已知圓的方程可化為(x2)2(y1)24， 即圓心為c(2，1)，半徑r2. 圓心c(2，1)到直線m

3、xym10 的距離d|2m1m1|1m2|m2|1m2. 當(dāng)d0 或m2 時(shí)，即43m0 時(shí)，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點(diǎn). 3 規(guī)律方法 直線與圓位置關(guān)系判斷的三種方法 (1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷. (2)代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來判斷. (3)直線系法：若直線恒過定點(diǎn)，可通過判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷，但有一定的局限性，必須是過定點(diǎn)的直線系. 【訓(xùn)練 1】 已知圓c：x2y24x0，l是過點(diǎn)p(3，0)的直線，則( ) a.l與c相交 b.l與c相切 c.l與c相離 d.以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能 解析 將點(diǎn)p(3，0)代入圓的方程，得

4、 32024391231， 所以點(diǎn)a在圓外. (1)若所求直線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k， 則切線方程為y3k(x4).即kxy34k0， 因?yàn)閳A心c(3，1)到切線的距離等于半徑 1， 所以|3k134k|k211，即|k4|k21， 所以k28k16k21.解得k158. 所以切線方程為y3158(x4)， 即 15x8y360. 4 (2)若直線斜率不存在， 圓心c(3，1)到直線x4 的距離也為 1， 這時(shí)直線與圓也相切，所以另一條切線方程是x4. 綜上，所求切線方程為 15x8y360 或x4. 規(guī)律方法 1.過一點(diǎn)p(x0，y0)求圓的切線方程問題，首先要判斷該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若

5、點(diǎn)在圓外，切線有兩條，一般設(shè)點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k(xx0)用待定系數(shù)法求解，但要注意斜率不存在的情況，若點(diǎn)在圓上，則切線有一條，用切線垂直于過切點(diǎn)的半徑求切線的斜率，再由點(diǎn)斜式可直接得切線方程. 2.一般地圓的切線問題，若已知切點(diǎn)則用k1k21(k1，k2分別為切線和圓心與切點(diǎn)連線的斜率)列式，若未知切點(diǎn)則用dr(d為圓心到切線的距離，r為半徑)列式. 【訓(xùn)練 2】 求過點(diǎn)(1，7)且與圓x2y225 相切的直線方程. 解 由題意知切線斜率存在，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y7k(x1)， 即kxyk70.|k7|k215.解得k43或k34. 所求切線方程為y743(x1)或y734(x1)，

6、即 4x3y250 或 3x4y250. 類型三 圓的弦長(zhǎng)問題 【例 3】 求直線l：3xy60 被圓c：x2y22y40 截得的弦長(zhǎng). 解 法一 由3xy60，x2y22y40， 得交點(diǎn)a(1，3)，b(2，0)， 弦ab的長(zhǎng)為|ab| （21）2（03）210. 法二 由3xy60，x2y22y40， 消去y得x23x20. 設(shè)兩交點(diǎn)a，b的坐標(biāo)分別為a(x1，y1)，b(x2，y2) 則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x23，x1x22. |ab|（x2x1）2（y1y2）2 （x2x1）23x26（3x16）2 （132）（x2x1）2 10（x1x2）24x1x2 10（3242）10， 即弦

7、ab的長(zhǎng)為10. 5 法三 圓c：x2y22y40 可化為x2(y1)25，其圓心坐標(biāo)為(0，1)，半徑r5， 點(diǎn)(0，1)到直線l的距離為d|3016|3212102， 所以半弦長(zhǎng)為|ab|2r2d2（5）21022102， 所以弦長(zhǎng)|ab|10. 規(guī)律方法 求直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的兩種方法 (1)幾何法：如圖 1，直線l與圓c交于a，b兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長(zhǎng)為|ab|，則有|ab|22d2r2. 即|ab|2r2d2. (2)代數(shù)法：如圖 2 所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是a(x1，y1)，b(x2，y2)， 則|ab|（x1x2）2（y1y2）2

8、1k2|x1x2|11k2|y1y2|， 其中k為直線l的斜率. 【訓(xùn)練 3】 若直線 2xy0 與圓c：(x2)2(y1)29 交于a、b兩點(diǎn)，則abc(點(diǎn)c為圓心)的面積等于( ) a.25 b.23 c.43 d.45 解析 過圓心c(2，1)向ab作垂線，垂足為d， 則|cd|22（1）|55， 所以|ab|2 |cb|2|cd|2224， 所以sabc124525. 答案 a 課堂小結(jié) 6 1.判斷直線和圓的位置關(guān)系的兩種方法中，幾何法要結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行判斷， 一般計(jì)算較簡(jiǎn)單.而代數(shù)法則是通過解方程組進(jìn)行消元，計(jì)算量大，不如幾何法簡(jiǎn)捷. 2.一般地，在解決圓和直線相交時(shí)，應(yīng)首先考

9、慮圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑構(gòu)成的直角三角形.還可以聯(lián)立方程組，消去y，組成一個(gè)一元二次方程，利用方程根與系數(shù)的關(guān)系表達(dá)出弦長(zhǎng)lk21（x1x2）24x1x2 k21|x1x2|. 3.研究圓的切線問題時(shí)要注意切線的斜率是否存在.過一點(diǎn)求圓的切線方程時(shí)，要考慮該點(diǎn)是否在圓上.當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，切線只有一條；當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，切線有兩條. 1.直線xym0 與圓x2y2m(m0)相切，則m的值為( ) a.0 或 2 b.2 c.2 d.無解 解析 由圓心到直線的距離d|m|2m，解得m2. 答案 b 2.設(shè)a、b為直線yx與圓x2y21 的兩個(gè)交點(diǎn)，則 |ab|( ) a.1 b.2 c.

10、3 d.2 解析 直線yx過圓x2y21 的圓心c(0，0)，則|ab|2. 答案 d 3.過原點(diǎn)的直線與圓x2y22x4y40相交所得弦的長(zhǎng)為2， 則該直線的方程為_. 解析 設(shè)所求直線方程為ykx，即kxy0.由于直線kxy0 被圓截得的弦長(zhǎng)等于 2，圓的半徑是 1，因此圓心到直線的距離等于122220，即圓心(1，2)位于直線kxy0上.于是有k20，即k2，因此所求直線方程是 2xy0. 答案 2xy0 4.求過點(diǎn)p(3，2)的圓x2y29 的切線方程. 解 點(diǎn)p(3，2)到圓心(0，0)的距離為 3222133，點(diǎn)p在圓x2y29 外. 若所求的切線的斜率存在，設(shè)所求切線的方程為y2

11、k(x3)，即kxy23k0. 又圓心為o(0，0)，半徑r3，而圓心到切線的距離為d|3k2|k213，即 |3k2|3k21，所以k512， 所以方程為512xy235120， 7 即 5x12y390. 若切線斜率不存在，則切線方程為x3，圓心(0，0)到切線的距離為 3，與半徑相等，符合題意，另一條切線方程是x3. 綜上所述，所求切線方程為 x3 或 5x12y390. 基 礎(chǔ) 過 關(guān) 1.若直線xy2 被圓(xa)2y24 所截得的弦長(zhǎng)為 2 2，則實(shí)數(shù)a的值為( ) a.1 或3 b.1 或 3 c.2 或 6 d.0 或 4 解析 由弦長(zhǎng)為 22得圓心(a，0)到直線xy2 的距

12、離為d|a2|22得a0 或 4. 答案 d 2.圓x2y24 上的點(diǎn)到直線xy20 的距離的最大值為( ) a.22 b.22 c.2 d.0 解析 圓心(0，0)到直線xy20 的距離d2，所求最大距離為 22. 答案 a 3.已知過點(diǎn)p(2，2)的直線與圓(x1)2y25 相切，且與直線axy10 垂直，則a等于( ) a.12 b.1 c.2 d.12 解析 由題意知圓心為(1，0)，由圓的切線與直線axy10 垂直，可設(shè)圓的切線方程為xayc0，由切線xayc0 過點(diǎn)p(2，2)，c22a，|122a|1a25，解得a2. 答案 c 4.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線x2y30 被圓

13、(x2)2(y1)24 截得的弦長(zhǎng)為_. 解析 圓心為(2，1)，半徑r2. 圓心到直線的距離d|22（1）3|14355， 所以弦長(zhǎng)為 2r2d22223 5522555. 8 答案 2555 5.設(shè)直線過點(diǎn)(0，a)，其斜率為 1，且與圓x2y22 相切，則a的值為_. 解析 由題意知直線方程為yxa， 即xya0， 圓x2y22 的圓心為(0， 0)， 半徑為2. 因?yàn)橹本€xya0 與圓x2y22 相切，所以|a|12（1）22，解得a2. 答案 2 6.求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使直線xmy30 與圓x2y26x50 分別滿足： (1)相交；(2)相切；(3)相離. 解 圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為

14、(x3)2y24， 故圓心(3，0)到直線xmy30 的距離d6m21，圓的半徑r2. (1)若相交，則dr，即6m212， 所以m22； (2)若相切，則dr，即6m212， 所以m22； (3)若相離，則dr，即6m212， 所以22m22. 7.圓c與直線 2xy50 切于點(diǎn)(2，1)，且與直線 2xy150 也相切，求圓c的方程. 解 設(shè)圓c的方程為(xa)2(yb)2r2. 兩切線 2xy50 與 2xy150 平行， 2r|15（5）|221245，r25， |2ab15|221r25，即|2ab15|10， |2ab5|221r25，即|2ab5|10， 又過圓心和切點(diǎn)的直線與過

15、切點(diǎn)的切線垂直，b1a212， 由解得a2，b1. 所求圓c的方程為(x2)2(y1)220. 能 力 提 升 9 8.在圓x2y22x4y30 上且到直線xy10 的距離為 2的點(diǎn)共有( ) a.1 個(gè) b.2 個(gè) c.3 個(gè) d.4 個(gè) 解析 圓心為(1，2)，半徑r2 2，而圓心到直線的距離d|121|22，故圓上有 3 個(gè)點(diǎn)滿足題意. 答案 c 9.直線ykx3 與圓(x3)2(y2)24 相交于m，n兩點(diǎn)，若|mn|2 3，則k的取值范圍是( ) a.34，0 b.，340，) c.33，33 d.23，0 解析 設(shè)圓心為c，弦mn的中點(diǎn)為a，當(dāng)|mn|23時(shí)， |ac|mc|2|m

16、a|2431.當(dāng)|mn|23時(shí)，圓心c到直線ykx3 的距離d1.|3k23|k2（1）21，(3k1)2k21.34k0. 答案 a 10.過點(diǎn)(3，1)作圓(x2)2(y2)24 的弦，其中最短弦的長(zhǎng)為_. 解析 設(shè)a(3，1)，易知圓心c(2，2)，半徑r2，當(dāng)弦過點(diǎn)a(3，1)且與ca垂直時(shí)為最短弦. |ca| （23）2（21）22.半弦長(zhǎng)r2|ca|2422. 最短弦長(zhǎng)為 22. 答案 22 11.已知圓c：(x1)2(y2)225，直線l：(2m1)x(m1)y7m40(mr r). (1)求證不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)； (2)求直線被圓c截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)的l的方程. (1)證明 因?yàn)閘的方程為(xy4)m(2xy7)0(mr r)， 所以2xy70，xy40，解得x3，y1， 即l恒過定點(diǎn)a(3，1). 因?yàn)閳A心為c(1，2)，|ac|55(半徑)， 所以點(diǎn)a在圓c內(nèi)， 10 從而直線l與圓c恒交于兩點(diǎn). (2)解 由題意可知弦長(zhǎng)最小時(shí)，lac. 因?yàn)閗ac12，所以l的斜率為 2. 又l過點(diǎn)a(3，1)，所以l的方程為 2xy50. 探 究 創(chuàng) 新 12.如圖，圓c與y軸切于點(diǎn)t(0，2)，與x軸正半軸交于兩點(diǎn)m，n(點(diǎn)m在點(diǎn)n的左側(cè))，且|mn|3. (1)求圓c的方程； (2)過點(diǎn)m任作一直線與圓o：x2y24 相交于a，b