中考數(shù)學：相似三角形總復(fù)習模型總結(jié)

1、三角形相似總復(fù)習第一部分相似三角形知識要點大全知識點1相似圖形的含義把形狀相同的圖形叫做相似圖形。(即對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比也相等的圖形)解讀：(1)兩個圖形相似，其中一個圖形可以看做由另一個圖形放大或縮小得到.(2)全等形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同.(3)判斷兩個圖形是否相似，就是看這兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素無關(guān).例1 放大鏡中的正方形與原正方形具有怎樣的關(guān)系呢？分析：要注意鏡中的正方形與原正方形的形狀沒有改變.解：是相似因形。因為它們的形狀相同，大小不一定相同.例2.下列各組圖形：兩個平行四邊形：兩個圓；兩個矩形：有一個內(nèi)角80%勺兩個等腰三角形；兩個正

2、 五邊形；有一個內(nèi)角是10。訥兩個等腰三角形，其中一定是相似圖形的是(填 序號).解析：很據(jù)相似圖形的定艾知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，而平行四邊形、矩形、等腰三角形都屬于 形狀不唯一的圖形，而圓、正多邊形、頂角為100訥等腰三角形的形狀不唯一，它們都相似.答案：.知識點2.比例線段對于四條線段a,b, c,d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等,即=(或b d a:b=c:d)那么 這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.解讀：四條線段a,b,c,d成比例，記作=(或a:b=c:d),不能寫成其他形式，即比例線段b d 有順序性.(2)在比例式一=(或a:b=c

3、:d)中，比例的項為a, b, c, d,其中a, d為比例外項,b,c為比例內(nèi)項，d b d是第四比例項.(3)如果比例內(nèi)項是相同的線段.即-二-或a:b二b:c,那么線段b叫做線段和的比例中項。 b c(4)通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)一致，但有時為了計算方便，a和b統(tǒng)一為一個單位，c和d統(tǒng)一為另一個單位也 可以.因為整體表示兩個比相等.例3 已知線段a=2cm, b二6mm，求一 b分析：求巴即求與長皮的比，與的單位不同，先統(tǒng)一單位，再求比. b3例4.已知a, b, c, d成比例,且a=6cm, b=3dm, d= dm,求c的長度.2分析：由a, b,c, d成比例，寫出比例

4、式a:b=c:d,再把所給各線段a, b d統(tǒng)一單位后代人求c.知識點3.相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.解讀：(1)正確理解相似多邊形的定狡，明確“對應(yīng)”笑系.(2)明確相似多邊形的“對應(yīng)”來自于書寫.且要明確相似比具有順序性.例5.若四邊形ABCD的四邊長分別是4, 6, 8, 10,與四邊形ABCD相似的四邊形AbCD的最大邊長為30則四邊形A1B1C1D1的最小邊長是多少？分析：四邊形ABCD與四邊形ARCD相似，且它們的相似比為對應(yīng)的最大邊長的比，即為_L，再根據(jù)相似 3多邊形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，利用方程思想求出最小邊的長.知識點4.相似三角

5、形的概念對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊之比相等的三角形叫做相似三角形解讀：(1)相似三角形是相似多邊形中的一種；(2)應(yīng)結(jié)合相似多邊形的性質(zhì)來理解相似三角形；(3)相似三角形應(yīng)滿足形狀一樣，但大小可以不同；(4)相似用“s”表示，讀作“相似于”；(5)相似三角形的對應(yīng)邊之比叫做相似比.注意：相似比是有順序的，比如 ABCSAARG,相似比為k,若A AiBiCiA ABC,則相似比為_L。若兩個三角形的相似比為1,則這兩個三角形全等，全等三k角形是相似三角形的特殊情況。若兩個三角形全等，即這兩個三角形相似：若兩個三角形相似，刖這兩個三角形不一定全等.例6.如圖，已知ADEsABC, DE=2, BC=4,

6、刖和的相似比是多少？點D, E分另IJ是AB, AC 的中點嗎？注意：解決此類問題應(yīng)注意兩方面：(1)相似比的順序性，(2)圖形的識別.-DE AD AE rDE 2 IBC AB ACBC 42AD AE所以一一=二-，所以D, E分別是AB, AC的中點.AB AC2 知識點5 相似三角的判定方法(D 定狡：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似；(2) 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或其他兩邊的延長線)所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.(3) 如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.(4) 如果一個三角的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并

7、且夾角相等，那么這兩個三角形相似.(5) 如果一個三角形的三條邊分別與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似.(6) 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似.例7.如圖，點D在AABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時，AACD與AABC相似？試分別加以列舉.分析：此題屬于探索性問題，由相似三角形的判別方法可知，AACD與AABC已有公共角ZA,要使此兩個三角 形相似.可根據(jù)相似三角形的判別方法尋找一個條件即可.解：當滿足以下三個條件之一時，AACDAAABC條件：QACZ1 二 ZB：條件二：Z2-ZACB;條件三：.即 AC2-AD AB.知識點6.相似三角形的

8、性質(zhì)(1) 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；(2) 對應(yīng)鬲的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；(3)相似三角形周長之比等于相似比：面積之比等于相似比的平方.例8.如圖.已知 ADE-AABC, AD=8, BD=4, BC=15, EC=7 求DE、AE的長；(3) 你還能發(fā)現(xiàn)哪些線段成比例.分析：此題重點考查由兩個三角形相似，可得到融忘奇DE _ AD _ AE BC“AB "ACr AB例 9.已知ABCs/iARG.,二二，一一 AABC 的周長為 20cm,面積為 40cm2.3 也求（1） 4ABG的周長；（2） 4ABG的面積分析：根據(jù)相似三角形周長之比等于相似

9、比：面積之比等于相似比的平方求解.易求出AiBiCi 的周長為 30cm; AA1B1C1 的面積 90cm2第二部分相似三角形模型分析大全一.相似三角形判定的基本模型認識（一）A字型.反A字型（斜A字型）（平 行）（二）8字型、反8字型（平行）（三）母子型（四）一線三等角型:（六）雙垂型:二、相似三角形判定的變化模型旋轉(zhuǎn)型：由A字型彳叁轉(zhuǎn)得 到。a+a h。8字型拓展一線三等角的變形D/1卜/一線三直角的變形相似三角形典型例題講解C第三部分母子型相似三角形例1 ：如圖，梯形中，AD/BC,對角線SG少交于點Q的/G9交以延長線于F -求證：OC2=O4 0E 例2：已知：如圖，的酸中，點F在

10、中線初上，ZDEB=ZABC -求證：(1) DB? =DE DA ； ZDCE = ZDAC.例3:已知：如圖，等腰中，AB=AC. ADLBC予D, CG/AB, 8G分別交SQ、力。尹K、F.求證：BE? =EF - EG.相關(guān)練習：1、如圖，已知SO為的角平分線，礦為SO的垂直平分線.求證:FD，=FBFC.2、已知：AD是RtAABC中ZA的平分線，ZC=90。，EF是AD的垂直平分線交AD于M, EF、BC的延長線 交于一點 No求證：(1)ZkAMEs/NMD; (2)ND2 =NC NB3、已知：如圖，在 AABC 中，ZACB=90°. CD_LAB 于 D, E

11、是 AC 上一點，CF_LBE 于 F。求證：EB - DF=AE - DB5.已知：如圖，在 W1中，ZG90。, 8029 AC=4) P是斜邊AB上的一個動點、， PDJAB、交邊朋 于點。(點Q與點久C都不重合)，F(xiàn)是射線上一點，且設(shè)久P兩點的距(第25題離為乙卯的面積為(1)求證：力絲陽；(2)求關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(3)當48FP與力0C相似口寸，求43FP的面積.雙垂型1.如圖，在ZkABC中，ZA二60。，BD、CE分別是AC、AB上的高求證：(1)AABDAAACE; (2) AADEaAABC： (3)BC 二 2EDD2、如圖，已知銳角ZABC, AD、

12、CE分另IJ是BC、AB邊上的舄，AABC和ZkBDE的面積分別是27和3. DE=64/ , 求：點B到直線AC的距離。共享型相似三角形1 ' AABC是等邊三角形，D.B、C. E在一條直線上，ZDAE=120。,已知BD=1, CE=3,求等邊三角形的邊長.2、已知：如圖,在 RtAABC 中,AAAC, Z04&45。-求證：（1） HABEs八ACD;一線三等角型相似三角形1 ：如圖，等邊中，邊長為6,。是上動點，Z曰存60。求證：19厲s'。D當BM,也時，求龐例2：（1）在AABC中，熊二力。=59 5c=8,點P、0分別在射線CB、AC上（點P不與點C、

13、點B重合力且保持為缺©貿(mào)若點P在線段CB上（如圖），且座=6,求線段CQ的長： 若BP=X98二力求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,，并寫出函數(shù)的定狡域:備用圖（2）正方形力題?的邊長為5 （如下圖），點P.O分別在直線C3. DC上（點P不與點點B重合），且保持勾口 二 %° 當C0 = 1時，求出線段3P的長.A r-Da DB B '-CDB例 3：已知在梯形 ABCD 中，AD/BC. AD<BC AD=5, AB=DC=2.（1）如圖8, P為SQ上的一點，滿足N班N/l.求證：'ABMHDPC求力P的長.(2)如果點P在力。邊上移動(點P與點4 Q

14、不重合)，且滿足PF交直線%于點£同時交直線ZT干昆0,那么當點0在線段QC的延長線上時，設(shè)AP=x, 但,求V關(guān)于”的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定狡域；當編/時.寫出MP的長.例4：如圖，在梯形力即9中，AD/ BG)AB=CD=BC = 6, AD = 3 點M為邊BC的中點，以M為頂點作ZEMF = Z3,射線ME交腰AB于點E,射線MF交腰CD于點F,聯(lián)結(jié)EF .(1)求證：HMEF s、BEM :(2)若是以3M為腰的等腰三角形，求EF的長:(3)若跖工,求3E的長.M相關(guān)練習：1 如圖，在ZU%中，/18 = s BC = 10, D是BC邊上的一個動點，點£在人

15、(？邊上，且ZADE = ZC (1)求證：L4皮'比瓦，(2)如果BDnx,人民力求y與兀的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的定義域；當點D是BC的中點時，試說明是什么三角形，并說明理由.2、如因,已知在中, ABAg B, D是AB 士一點，氏12、5是%上一動點,聯(lián)結(jié)QF,并作ADEF =啰,射線礦交線段加于F.求證：HDBEsHECF;嶼聯(lián)結(jié)DF、如果妙與加F相似，ABEC(2)當F是線段/1Q中點時，求線段處的長；求刖的長.3、已知在梯形4題?中 ADBC AXBCBCZ16,月網(wǎng)、點F是S3的中點.(1)如圖，P為%上的一點，且匪2.求證：BE2 CPD;(2)如果點P在邊上移動

16、(點P與點0、C不重合)，且滿足N印UZO、PF交直線于點F,同時交直線九? 于點尿那么 當點F在線段CQ的延長線上口寸，設(shè)8次，DF八y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；9當S如f=St時,求的長-(備用圖)(第25題圖)4、如圖，已知邊長為3的等邊AABC 點F在邊BC上,CF=/,點E是射線上一動點，以線段EF為邊向右側(cè)作等邊AEFG,直線必,FG交直線AC于點M、N ,(1)寫出圖中與相似的三角形：(2)證明其中一對三角形相似：(3)設(shè)BE=x,MN=y來''與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變董尤的取值范囤；(4)若然二19試求5GMN的面枳.A備用圖一線三直角型相似三角形例仁已知矩形ABCD中，CD二2, AD=3點P是AD上的一個動點，且和點A, D不瑩合，過點P作PE，CP ,交邊AB于點E,設(shè)PD = xAE= y9求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.并寫出x的取值范國。An 0例A在%5r中，ZC = 90°,AC = 4,BC