第三章初等函數第1講函數概念

1、3.1 3.1 函數的一般概念函數的一般概念1. 函數概念的發(fā)展函數概念的發(fā)展 （1）函數相關術語與記號的引入 函數這一名詞德國數學家萊布尼茲(Leibniz 16461716)所首先采用的 在最初，萊布尼茲用函數一詞表示變量x的冪，即x2，x3，其后萊布尼茲還用函數一詞表示曲線上的橫坐標、縱坐標、切線的長度、垂線的長度等所有與曲線上的點有關的量 歐拉(Euler 17071783)發(fā)明了函數的記號：f(x)柯西(Cauchy 17891857)引入了術語“自變量、因變量” 一、一、 函數概念發(fā)展與定義函數概念發(fā)展與定義對于x 的每一個值，如果y都有完全確 定的值與之對應，不論x, y所建立的

2、對 應方式如何，y都叫做x 的函數 變變 量量 函函 數數19世紀函數概念1837年, 德國數學家：黎曼20世紀, 美國數學家：維布侖近代函數概念映映 射射 函函 數數在變量y的集合與另一個變量x的集合之間,如果存在著對于x 的每一個值, y有確定的值與之對應這樣的關系，那么,變量y叫做變量x的函數18世紀函數概 念1734年, 瑞士數學家：歐拉解析函數解析函數是指由一個變量與一些常量通過任何方式形成的解析表達式，用f(x)表示x的函數抽象早期函數概念自然函數自然函數公元前300年左右：古巴比倫依一定規(guī)律依賴于一個變量的另一個變量（2）函數概念的演變）函數概念的演變 17世紀函數概念代數函數代

3、數函數1667年，蘇格蘭數學家：格雷戈里它是從一些其它的量經過一系列代數運算而得到拓展運算種類拓展數量區(qū)間為任意數學對象的集合舍棄用數字表達的限制2. 函函數的定義數的定義定義定義1 1 如果兩個變量按照某一確定的規(guī)律聯(lián)系著如果兩個變量按照某一確定的規(guī)律聯(lián)系著, , 當當 第一變量變化時，第二變量也隨著變化，就把第一變量變化時，第二變量也隨著變化，就把 第二個變量叫做第一個變量（自變量）的函數第二個變量叫做第一個變量（自變量）的函數定義定義2 2設設 和和 是兩個集合，如果按照某種對應法則，是兩個集合，如果按照某種對應法則， 對于集合對于集合 中的中的任何一個任何一個元素，在集合元素，在集合

4、中都有中都有 唯一唯一的元素的元素和它對應，這樣的對應叫做從集和它對應，這樣的對應叫做從集 合合 到集合到集合 的函數的函數, ,記作記作 定義定義3 3設設 和和 是兩個集合，是兩個集合， 是一個非空子集是一個非空子集, 如果滿足如果滿足 對于任意對于任意 , ,存在唯一的存在唯一的 使使 則則 稱為稱為 到到 的一個函數的一個函數ABABAB:f ABABABaAbBfAB( , ),a bf 定義定義4 4 設設 、 為非空集合，如果按照某種對應為非空集合，如果按照某種對應法則法則 ，對于，對于 中中任一元素任一元素 ， 中都有且僅有中都有且僅有一個元素一個元素 與之對應與之對應，就稱，

5、就稱 是一個從集合是一個從集合 到到集合集合 的映射，記的映射，記 特別地，當特別地，當 ， 都是實數集合時，則稱從都是實數集合時，則稱從 到到 的映射的映射 為函數為函數 函數通常記作函數通常記作 ，當，當 對應對應 時稱時稱 是是 的函數值，或的函數值，或 是是 的函數值，或的函數值，或 是是 的象，的象， 記為記為 ，這時稱，這時稱 是是 的原象的原象aABfBbfABf ABABABfbf ABabbaaba)ba abA二、函數的三要素二、函數的三要素 定義域、對應法則、值域定義域、對應法則、值域 在研究函數的抽象定義時，不妨把函數在研究函數的抽象定義時，不妨把函數比喻為一個比喻為一

6、個“機器機器”加工的過程，輸入加工的過程，輸入 輸出輸出 ，而這關鍵的加工機制就是，而這關鍵的加工機制就是 定義定義5 5 （函數相等）（函數相等） 函數的相等函數的相等 要求輸入的要求輸入的 相同，加工相同，加工 機制相同，輸出的機制相同，輸出的 也相同也相同 xyxy x yx)三、函數的表示法三、函數的表示法 解析法（公式法） 列表法 圖像法定義定義6 6 設設 、 是是 的子集，的子集， 是是 到到 的函數，的函數， 則稱則稱 的子集的子集 是函數是函數 的圖像的圖像ABR:ABABAB( , ),Ga b aA b ): AB 例例2 2 設設f(x)是以實數集是以實數集 為定義域的

7、函數，為定義域的函數，且對任意實數且對任意實數x,y，均滿足，均滿足求證：求證： 當當 時，時， 當當 時，時，R()( )( )xyxy (0)0;()()xx mZ()()m xmxrQ()( )rxrx(1)(2)(3)四、反函數及其圖像四、反函數及其圖像 滿射： 單射： 一一映射（雙射）： 逆映射：1.1. 逆映射和反函數：逆映射和反函數：1: BA 定義定義 如果函數如果函數 是定義域是定義域 到值到值 域域 上的一一映射，那么由它的逆映上的一一映射，那么由它的逆映 射射 所確定的函數，叫做函所確定的函數，叫做函 數的反函數數的反函數 反函數的習慣表示為反函數的習慣表示為:()yx

8、AB: BA1:yBA2. 2. 反函數的圖像反函數的圖像 定理定理1 1 函數函數 的圖像和它的反函的圖像和它的反函 數數 的圖像關于直線的圖像關于直線 對稱對稱)y = fx()-1y =xyx1( )yx()yx 思考：為什么函數 的反函數 的圖像關于 對稱？yx3.3.互反函數間的辯證關系互反函數間的辯證關系 定理定理2 2 設函數設函數 是一一映射，是一一映射， 是它的逆映射（反函數），則是它的逆映射（反函數），則 （1 1） （表示（表示B B上的恒等射）；上的恒等射）； （2 2） 是一一映射的；是一一映射的； （3 3） 是唯一的；是唯一的； （4 4） 的逆映射就是的逆映射就是 : AB1: BA1BI1AI 111例例2 2 設設 ， 的圖像與的圖像與 的像關于的像關于 直線直線 對稱，求對稱，求 23()1xxx()ygx1(1)y