巧解變動中的三力平衡問題

1、巧解變動中的三力平衡問題在中學(xué)階段，力的平衡問題，多為三力平衡，按平衡條件，合力必為零，將三力首尾相聯(lián)即圍成一封閉三角形。一般來說，只要所給條件能滿足解這個三角形的條件（如已知兩邊夾一角或兩角夾一邊）就能按解三角形的方法解出這力三角形中要求的物理量。常遇到一類變動中的三力平衡問題。一般是其中一個力大小和方向確定；另一個力的方向確定，大小可變；第三個力大小和方向均變化。要依據(jù)所給條件，確定后兩力的變化規(guī)律。為了幫助學(xué)生們很好地理解，采用力三角形來解答，現(xiàn)舉幾例如下：例題1一個光滑的圓球擱在光滑的斜面和豎直的檔板之間（圖1），斜面和檔板對圓球的彈力隨斜面傾角變化而變化的范圍是：a斜面彈力n1變化范

2、圍是（mg，）b斜面彈力n1變化范圍是（0，）c檔板的彈力n2變化范圍是（0， +）d檔板的彈力n2變化范圍是（mg， ）答：a、c解：圓球受三個力，其中重力的大小和方向均為確定的，檔板對圓球的彈力n2的方向始終是水平的，亦為確定的。而斜面對圓球的作用力的大小和方向均在變化中，但不論如何變動，只要取一個確定的值，圓球就在三力作用下處于平衡狀態(tài)，則此三力就組成一個封閉的三角形，如圖2所示：由于090°，所以mgn1，0n2解出。例題2如圖3所示,用兩根繩子系住一重物,繩oa與天花板夾角不變,且45°,當用手拉住繩ob，使繩ob由水平慢慢轉(zhuǎn)向ob過程中，ob繩所受拉力將a始終減

3、少 b始終增大c先增大后減少 d先減少后增大答：d解：重物受三個力，其中重力大小方向確定，oa方向不變，ob繩受力的大小方向變化。在變化過程中，重物所受三力平衡，可組成一個封閉三角形，現(xiàn)圖示如下：從圖中可很直觀地得出結(jié)論。由于45°,+=90°所以45°,此時tob取得最小值。例題3如圖4所示，一重球用細線懸于o點，一光滑斜面將重球支持于a點，現(xiàn)將斜面沿水平面向右慢慢移動，那么細線對重球的拉力t及斜面對重球的支持力n的變化情況是：at逐漸增大，n逐漸減??；bt逐漸減小，n逐漸增大；ct先變小后變大，n逐漸減??；dt逐漸增大，n先變大后變小。答：c解：重球受三個力：

4、重力的大小及方向均為確定，在重球由a運動到b的過程中，每一個位置上三力均圍成一個封閉的三角形（圖5）由于物體在水平面上滑動，則f=n，將f和n合成，得到合力f，由圖知f與f的夾角：不管拉力t方向如何變化，f與水平方向的夾角不變，即f為一個方向不發(fā)生改變的變力這顯然屬于三力平衡中的動態(tài)平衡問題，由前面討論知，當t與f互相垂直時，t有最小值，即當拉力與水平方向的夾角=90°-arc ctg=arctg時，使物體做勻速運動的拉力t最小例7、一質(zhì)量為50kg的均勻圓柱體，放在臺階旁，臺階高度（r為柱體半徑）。柱體最上方a處施一最小的力f，使柱體剛能開始以p軸向臺階上滾，求此最小力析：圓柱體不

5、能看作質(zhì)點，選其為研究對象，分析其受力如圖13（a）所示先將圓柱體在p點所受的支持力n和靜摩擦力f合成，得到合力q，則圓柱體受mg、q、f三個力作用，這三個力必為共點力，且q、f二力的合力為定值，如圖13（b）所示，顯然當f與q垂直時，f有最小值，由題給條件知， oap=30°，則：fmin=t·sin30°=mg·sin30°=250n由以上兩例可以發(fā)現(xiàn)，將多力問題轉(zhuǎn)化為三力問題時，常先將同一接觸面上的彈力和摩擦力合成，在求解時用的較多的分析思路是三力的動態(tài)平衡問題的分析思路，請讀者再進一步加以體會（2）利用正交分解法分析求解當受力較多時，利

6、用合成法需要幾次合成才能得出結(jié)論，分析起來較繁瑣最常見的多力平衡問題就是直接建立正交坐標系，在分析物體受力后，利用正交分析法求解例8、如圖14為一遵從胡克定律的彈性輕繩，其一端固定于天花板上的o點，另一端與靜止在動摩擦因數(shù)恒定的水平地面上的滑塊a相連當繩處在豎直位置時，滑塊a對地面有壓力作用b為緊挨繩的一光滑水平小釘，它到天花板的距離bo等于彈性繩的自然長度現(xiàn)用一水平力f作用于a，使它向右作直線運動在運動過程中，作用于a的摩擦力a、逐漸增大 b、逐漸減小c、保持不變 d、條件不足，無法判斷析：取物體a為研究對象，分析a受力如圖15，并沿水平和豎直方向建立正交坐標系 由于物體向右做直線運動，則y

7、軸方向上受力平衡，即：t·sinn=mg依題意，繩的拉力t=kx，x為彈性繩的形變量，則地面對物體的支持力與a物體在b正下方時地面對物體的支持力相同也就是說，在物體向右運動過程中，地面對物體的支持力不變，由滑動摩擦力公式知，正確答案為c解決物理問題的關(guān)鍵在于有正確的分析思路和解題步驟上面我們雖然分成幾種情況來討論平衡問題，但不難發(fā)現(xiàn)，突破障礙后，其解題的思路和步驟是完全一樣的這就要求我們，在學(xué)習(xí)物理的平衡知識時，首先要建立一個解題的基本模式，即解題基本步驟及幾種常見題型的特點，則無論在何處遇到此類問題，都能夠迅速喚起基本模式，通過原型啟發(fā)，迅速重視相關(guān)知識，從而順利地解決問題解平衡問

8、題是這樣，解決其它問題也是這樣，如果我們堅持這樣去做，就會達到會學(xué)、要學(xué)、樂學(xué)的高境界靜力學(xué)中四類極值問題的求解最（大或?。┲祮栴}是中學(xué)物理習(xí)題中常見的題型之一，這類題型滲透在中學(xué)物理的各個部分，技巧性強，解法頗多。深入探究最值問題的解答，能有效地提高運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，培養(yǎng)靈活性和敏捷性。1不等式法：例1 無限長直電桿立于地面，與地面之間的摩擦力足夠大。如圖1示，用長為l的繩拉電桿，若所用拉力t恒定時，繩栓在電線桿的何處最容易拉倒？分析與解：設(shè)繩線栓在離地h高處，則拉力t的力矩最大時，最容易拉倒電桿，如圖1，cos=h/l，則t的力矩觀察此式，t、l一定，因h2+（l2-h2）=l2

9、是一常數(shù)，故當h2=l2-h2評點：解此類問題，首先根據(jù)力的平衡列出方程，然后觀察方程特征，發(fā)掘其隱含條件，若a0，b0,ab=常數(shù),則當a=b時，ab積最大。這里運用了不等式的一個重要性質(zhì)（ab）/22.三角函數(shù)法：例2 重量為g的物體在水平而上作勻速運動，設(shè)物體與地面之間如圖2示。分析與解：物體受共點力作用而平衡，由平衡條件得：水平方向： fcos=n豎直方向： nfsin=g解得 f=g（cossin）為使f最小，只需cossin最大，因為 （cos+sin）=（cossin+cossin）/sin =sin（+）/sin而=ctg-1，故當=30°時，f最小，最小值為fmin

10、=gsing2。評點：求解此類問題的一般思路是先根據(jù)物理規(guī)律求出待求量的表達式，再根據(jù)三角函數(shù)的有界性：|sin|1或|cos|1求最值。3極限推理法：例3 如圖3，用力f推質(zhì)量為m的物體，物體與地面間的摩擦因數(shù)為，求外力f與水平方向交角最小為多大時，無論外力f多么大均不能使物體前進？分析與解：物體受共點力作用，當不動時必滿足：fcos（mgfsin）化簡得：f（cso-sin）mg。因為無論f多大，上式均成立，則當f時，不等式也成立，此時取最小值0因此最小角滿足方程cos0-sin0=0，tg0=1/，0=arctg1/。評點：此類題通過對關(guān)系式的推理分析、=0時f無論多大物體都不能被推動，

11、因而f時所滿足的角便是最小值。這是一種極限推理分析的方法。4矢量三角圖示法例5 一重為g的光滑球放在傾角為的斜面上，被一擋板pq擋住，q處為固定轉(zhuǎn)軸，如圖4示，擋板可以逐漸放平，何時球?qū)醢宓膲毫ψ钚?。分析與解：小球受重力、斜面的支持力和擋板支持力三個共點力作用而平衡。由擋板對球支持力的動態(tài)變化，可作力矢量三角形。如圖5所示，由圖知當擋板逐漸放平的過程中，斜面對球的支持力n1一直逐漸減小，而擋板對球的支持力n2將先減小后增大，故當擋板與斜面垂直時球?qū)醢鍓毫ψ钚?。評點：質(zhì)點在三個共點力作用下而平衡，各力之間的動態(tài)變化的規(guī)律，由力矢量三角形可直觀地作出判斷。這是處理此類平衡問題常用的一種方法。共

12、點力作用下物體的平衡典型例題例1質(zhì)量為m的物體，用水平細繩ab拉住，靜止在傾角為的固定斜面上，求物體對斜面壓力的大小，如圖1（甲）。分析 本題主要考察，物體受力分析與平衡條件，物體在斜面上受力如圖1乙，以作用點為原點建立直角坐標系，據(jù)平衡條件f0，即找準邊角關(guān)系，列方程求解。解解法一：以物體m為研究對象建立圖1乙所示坐標系，由平衡條件得： tcos-mgsin0 （1）n-tsin-mgcoo0 （2）聯(lián)立式（1）（2）解得 nmgcos據(jù)牛頓第三定律可知，物體對斜面壓力的大小為nmgcos解法二：以物體為研究對象，建立如圖2所示坐標系，據(jù)物體受共點力的平衡條件知：ncos-mg=0 nmgc

13、oc同理 n=mgcos說明（1）由上面解法可知：雖然兩種情況下建立坐標系的方法不同，但結(jié)果相同，因此，如何建立坐標系與解答的結(jié)果無關(guān)，從兩種解法繁簡不同，可以得到啟示：處理物體受力，巧建坐標系可簡化運算，而巧建坐標系的原則是在坐標系上分解的力越少越佳。（2）用正交分解法解共點力平衡時解題步驟：選好研究對象正確受力分析合理巧建坐標系根據(jù)平衡條件（3）不管用哪種解法，找準力線之間的角度關(guān)系是正確解題的前提，角度一錯全盤皆錯，這是非常可惜的。（4）由本題我們還可得到共點力作用平衡時的力圖特點，題目中物體受重力g，斜面支持n，水平細繩拉力t三個共點力作用而平衡，這三個力必然構(gòu)成如圖3所示的封閉三角形

14、力圖。這一點在解物理題時有時很方便。例2如圖1所示，擋板ab和豎直墻之間夾有小球，球的質(zhì)量為m，問當擋板與豎直墻壁之間夾角緩慢增加時，ab板及墻對球壓力如何變化。分析本題考察當角連續(xù)變化時，小球平衡問題，此題可以用正交分解法。選定某特定狀態(tài)，然后，通過角變化情況，分析壓力變化，我們用上題中第四條結(jié)論解答此題。解由圖2知，g，n2（擋板對球作用力），n1墻壁對球作用力，構(gòu)成一個封閉三角形，且封閉三角形在變化，當增加到時，由三角形邊角關(guān)系知n1，n2。說明 封閉三角形解法對平面共點三力平衡的定性討論，簡捷直觀。本題是一種動態(tài)變化題目，這種題目在求解時，還可用一種極限法判斷，如把ab板與豎直墻壁夾角

15、增到90°時，可知n1=0，過程中n1一直減小，n2=mg，n2也一直在減小。例3如圖1所示，用一個三角支架懸掛重物，已知ab桿所受的最大壓力為2000n，ac繩所受最大拉力為1000n，=30°，為不使支架斷裂，求懸掛物的重力應(yīng)滿足的條件？分析懸繩a點受到豎直向下的拉力fg，這個拉力將壓緊水平桿ab并拉引繩索ac，所以應(yīng)把拉力f沿ab、ca兩方向分解，設(shè)兩分力為f1、f2，畫出的平行四邊形如圖2所示。解由圖2可知：因為ab、ac能承受的最大作用力之比為當懸掛物重力增加時，對ac繩的拉力將先達到最大值，所以為不使三角架斷裂，計算中應(yīng)以ac繩中拉力達最大值為依據(jù)，即取f2=f

16、2m=1000n，于是得懸掛物的重力應(yīng)滿足的條件為gmf2sin30°500n，說明也可取a點為研究對象，由a點受力，用共點平衡條件求解。a點受三個力：懸掛物的拉力f=g，桿的推力fb，繩的拉力fc，如圖4所示。根據(jù)共點力平衡條件，由fcsin=g，fccos=fb，即得共點力平衡條件可以適用于多個力同時作用的情況，具有更普遍的意義。例4如圖1所示，細繩co與豎直方向成30°角，a、b兩物體用跨過滑輪的細繩相連，已知物體b所受到的重力為100n，地面對物體b的支持力為80n，試求（1）物體a所受到的重力；（2）物體b與地面間的摩擦力；（3）細繩co受到的拉力。分析此題是在共

17、點力作用下的物體平衡問題， 據(jù)平衡條件fx=0，fy=0，分別取物體b和定滑輪為研究對象，進行受力情況分析，建立方程。解如圖2所示，選取直角坐標系。據(jù)平衡條件得f-t1sin=0，nt1cos-mbg=0。對于定滑輪的軸心o點有t1sin-t2sin30°=0，t2cos30°-t1cos-mag=0。 因為t1=mag，得=60°，解方程組得（1）t1=40n，物體a所受到的重力為40n；（2）物體b與地面間的摩擦力ft1sin=40sin60°34.6n；（3）細繩co受到的拉力說明在本題中，我們選取定滑輪的軸心為研究對象，并認定t1與mag作用在這

18、點上，即構(gòu)成共點力，使問題得以簡化。例5如圖1所示，在質(zhì)量為1kg的重物上系著一條長30cm的細繩，細繩的另一端連著圓環(huán)，圓環(huán)套在水平的棒上可以滑動，環(huán)與棒間的靜摩擦因數(shù)為0.75，另有一條細繩，在其一端跨過定滑輪，定滑輪固定在距離圓環(huán)0.5m的地方。當細繩的端點掛上重物g，而圓環(huán)將要開始滑動時，試問（1）長為30cm的細繩的張力是多少？（2）圓環(huán)將要開始滑動時，重物g的質(zhì)量是多少？（3）角多大？分析選取圓環(huán)作為研究對象，分析圓環(huán)的受力情況：圓環(huán)受到重力、細繩的張力t、桿對圓環(huán)的支持力n、摩擦力f的作用。解因為圓環(huán)將要開始滑動，所以，可以判定本題是在共點力作用下物體的平衡問題。由牛頓第二定律給

19、出的平衡條件fx=0，fy=0，建立方程有n-tcos=0，n-tsin0。 設(shè)想：過o作oa的垂線與桿交于b點，由ao=30cm，tg=， 得bo的長為40cm。在直角三角形中，由三角形的邊長條件得ab=50cm，但據(jù)題述條件ab=50cm，故b點與滑輪的固定處b點重合，即得=90°。（1）如圖2所示選取坐標軸，根據(jù)平衡條件有g(shù)cos+tsin-mg=0，tcos-gsin=0。解得 t8n，（2）圓環(huán)將要滑動時，得mggtctg，mg=0.6kg。（3）前已證明為直角。例6如圖1所示，質(zhì)量為m5kg的物體放在水平面上，物體與水平面間的動摩擦因數(shù)求當物體做勻速直線運動時，牽引力f的

20、最小值和方向角。分析本題考察物體受力分析：由于求摩擦力f時，n受f制約，而求f最小值，即轉(zhuǎn)化為在物理問題中應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決的實際問題。我們可以先通過物體受力分析。據(jù)平衡條件，找出f與關(guān)系。進一步應(yīng)用數(shù)學(xué)知識求解極值。解 作出物體m受力分析如圖2，由平衡條件。fx=fcos-n=0 （1）fy=fsin+n-g=0 （2）由 cos（-）=1 即 =0時 =30°，=30°說明 本題中我們應(yīng)用了數(shù)學(xué)上極值方法，來求解物理實際問題，這是在高考中考察的一項重要能力。在以后解題中我們還會遇到用如：幾何法、三角形法等數(shù)學(xué)方法解物理問題，所以，在我們學(xué)習(xí)物理時，逐步滲透數(shù)學(xué)思想，對解決

21、物理問題是很方便的。但要注意，求解結(jié)果和物理事實的統(tǒng)一性。例7如圖1，a、b兩物體質(zhì)量相等，b用細繩拉著，繩與傾角的斜面平行。a與b，a與斜面間的動摩擦因數(shù)相同，若a沿斜面勻速下滑，求動摩擦因數(shù)的值。分析 本題主要考察受力分析及物體平衡條件。選擇a為研究對象，分析物體a受力，應(yīng)用正交分解法。據(jù)平衡條件求解。解取a為研究對象，畫出a受力如圖2，建立如圖所示坐標系。據(jù)物體平衡條件fx=mgsin-f1-f2=0 （1）fyn1-nb-mgcos=0 （2）其中 f1=n1 （3）f2=nb （4）由b受力知 nbmgcos （5）聯(lián)立上面式（1）（2）（3）（4）（5）得說明（1）本題在進行受力分

22、析時，要注意a與斜面c的接觸力n1和f1，a與物體b的接觸力n2和f2，一定注意，n1和n2的取值。（2）本題可以變化為若a沿斜面加速下滑，或沿斜面減速下滑。應(yīng)滿足關(guān)系？則加速時 mgsinn1+nb（3）摩擦力公式fn，有時因物體只受水平作用力，f=n=mg，但當物體受力變化以后， n就不一定等于mg了，如圖3的兩個情形。所以切記：公式一定要寫成n。對n求解不要想當然，應(yīng)據(jù)題設(shè)進行實際分析而得?！纠?】如圖1所示，支桿bc一端用鉸鏈固定于b，另一端連接滑輪c，重物p上系一輕繩經(jīng)c固定于墻上a點。若桿bc、滑輪c及繩子的質(zhì)量、摩擦均不計，將繩端a點沿墻稍向下移，再使之平衡時，繩的拉力和bc桿受

23、到的壓力如何變化？誤解一滑輪c點受桿bc的支持力f、繩ac的拉力t和繩cp的拉力q（其中q大小等于g），如圖2所示。由平衡條件可得fg·sin， tg·cos當繩的a點下移后，增大，所以f增大，而t減小。誤解二滑輪c點受到桿bc支持力f，繩ac的拉力t和繩cp的拉力q（其中q的大小等于g），如圖3，t與f的合力與q等值反向。當 a點下移后，t與豎直方向的夾角要增大，滑輪c也要下降，使bc與墻間的夾角增大，但因這兩力的合力始終與q等值反向，所以這兩個分力均要增大。正確解答滑輪c點受到f、t、q三力作用而平衡，三力組成封閉三角形，如圖4，注意到同一條繩上各處張力都相同，則有t=

24、q=g，以桿受到壓力增大，而繩子拉力仍不變，大小為g。錯因分析與解題指導(dǎo)當不計繩子的質(zhì)量時，繩子各處張力都相等，兩個誤解都未認識這個事實。另外，誤解一自設(shè)t與 f垂直作為討論依據(jù)并將它擴展到一般情況，是毫無道理的。誤解二則臆斷a點下移時，滑輪c也要下降，bc與墻間的夾角增大，與事實不符。值得一提的是：本題bc桿對滑輪c點的作用力是沿著桿子的，而這是有條件的，僅當bc桿重力不計且只受兩個力作用而平衡時，上述結(jié)論才成立。1明確研究對象，對它進行受力分析，畫出受力圖；2根據(jù)平衡條件列方程；3統(tǒng)一單位，代入數(shù)字、解方程、求答案。由題講話由題講話，促使學(xué)生積極思維，獲得更加全面的知識，加深對物理現(xiàn)象和規(guī)

25、律的理解?，F(xiàn)舉一、二例加以說明。如圖1，oa是一根橫梁，一端安在軸o上，另一端用鋼索ab拉著，在b處安裝一小滑輪，可以改變鋼索的長度，oboa，在a端掛一重物g。（橫梁重不計）試求鋼索ba的拉力？學(xué)生不感到困難。根據(jù)m=0，解得：這時教師向?qū)W生發(fā)問：若將鋼索ba加長（即緩慢下放），鋼索的拉力f如何變化？學(xué)生根據(jù)上面的結(jié)果自然會想到，角將逐漸變小，力f必將逐漸增大。當角趨近于零時，f將變得無限大??？f逐漸變大，與感性認識不太相符；無限大，顯然不符合實際情況，感到疑惑不解。毛病出在哪里呢？讓學(xué)生去思索結(jié)癥在哪里。教師可以啟發(fā)學(xué)生，在緩慢下放的過程中，角變小，但f的力臂也隨著變小，（注意表達式lsi

26、n不變），尤其g的力臂也在變小，不再是oa的長，顯然圖1不能反映一般的情況，應(yīng)該重新作圖分析，如圖2。為說明解題的方法是多種的，可以用共點力平衡法去解。根據(jù)正弦定理：可見，下放時，角逐漸變小，力f1逐漸變大。這個結(jié)果與上面的“一致”。應(yīng)該指出表達式（2）在形式上與表達式（1）顯然不同，但（2）卻包括了（1）式的結(jié)果。再看，若角趨近零時，力f1又如何？學(xué)生自然會得出，f1趨近2g？！又會感到不解。在學(xué)生的思維里，應(yīng)為f1=g或f1=g/2才有理。這時教師可以讓學(xué)生求一下f2=？計算結(jié)果f2=g。又看到在下放的過程中f2卻始終不變，也是出乎意料。這兩個意外的結(jié)果有助于揭開謎底。這時應(yīng)指出在這個三角架裝置中，oa必須是桿，不能用繩來代替，它起著支撐的作用。通過計算已知，在下放的過程中，oa桿的支撐力始終不變，為g。所以當角趨近于零時，力f1將趨近gg=2g。必須指出趨近于零，并不是等于零。若等于零后，那么鋼索的拉力f1就是不定的了，已經(jīng)越過本題所討論的范圍。還可以讓學(xué)生研究一下逐漸上拉時的變化情況化？此題屬共點力平衡問題，一般