六同第一講還原法解題

1、第一講 還原法解題教學(xué)目標(biāo)： 1、初步了解“還原法” ，加強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算能力 2、掌握“還原法”的解題步驟，并運(yùn)用于解決實(shí)際問(wèn)題 3、培養(yǎng)獨(dú)立思考、自主探究的能力教學(xué)重難點(diǎn)： 熟練的應(yīng)用還原法解答應(yīng)用題 教學(xué)方法： 講練法教學(xué)用具： 講義 教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入 清朝書(shū)畫(huà)家鄭板橋在山東濰縣當(dāng)縣官時(shí)，有一年春天，他提著一壺酒在街上邊走邊飲， 又是吟詩(shī)， 又是畫(huà)畫(huà)， 正好遇上老朋友計(jì)山， 計(jì)山說(shuō)： “光你一個(gè)人喝酒， 也不說(shuō)請(qǐng)我喝呀？ 鄭板橋說(shuō)： “請(qǐng)倒是想請(qǐng)，只是你來(lái)晚了，我的酒已經(jīng)喝完了。 ”計(jì)山問(wèn)道： “你一個(gè)人喝了 多少酒呀？ ”鄭板橋 “哈哈 ”一笑，吟出一首詩(shī)來(lái)： “我有一壺酒，提著街上走，吟

2、詩(shī)添一倍， 畫(huà)畫(huà)喝一斗。 三作詩(shī)和畫(huà)， 喝光壺中酒。 你說(shuō)我壺中， 原有多少酒？ ”計(jì)山眨著眼 想了半天， 說(shuō)： “我算出來(lái)了，你的壺中原來(lái)一共 有7/8 斗酒。 ”鄭板橋說(shuō)： “對(duì)，你很聰明。 ”同學(xué)們， 你們知道計(jì)山是怎樣算出來(lái)的嗎？其實(shí)，計(jì)山在計(jì)算的過(guò)程中用到了我們今天要學(xué)習(xí)的方法-還原法。 等學(xué)完之后， 大家肯定會(huì)比鄭板橋的好朋友更加聰明的。二、新課學(xué)習(xí)例 1、將一個(gè)數(shù)擴(kuò)大 7 倍后，減去 5，再除以 5，最后加上最大的一位數(shù)，得 22。這個(gè)數(shù)是 多少？解析： 由已知我們知道，一個(gè)數(shù)經(jīng)過(guò)了多步變化后變成了22，順著推肯定我們沒(méi)辦法解決，那就只能倒著推了 怎么來(lái)的怎么回去。這里呢我們采用

3、方框法先把題目中的變化過(guò)程表示出來(lái)：在上圖中，第一個(gè)方框表示原來(lái)的數(shù)，最后一個(gè)方框表示多步變化之后的新數(shù)。 中間的每一個(gè)方框表示，每一步變化之后得到的中間結(jié)果。 我們要求的是第一個(gè)方 框里面的數(shù)， 從最后一個(gè)方框一步一步往前推即可， 要注意的是倒退的時(shí)候采用的是逆運(yùn)算：（22-9）× 5+5÷ 7=（ 13 ×5+5）÷ 7=70÷ 7=10小結(jié)： 這種數(shù)學(xué)運(yùn)算題是用還原法解題的經(jīng)典類(lèi)型之一， 我們采用了倒推法， 即為還原法解 題的精髓 從最后結(jié)果一步一步倒著推理，回到已知條件。每一步運(yùn)算為原來(lái)的逆運(yùn)算，變加為減，變減為加，便乘為除，變除為乘。

4、而且，做這類(lèi)題目時(shí)采用方框法，簡(jiǎn)單明了。 下面大家照著這個(gè)思路，計(jì)算鄭板橋原來(lái)有多少酒，看看計(jì)山有沒(méi)有算錯(cuò)。練習(xí)：“我有一壺酒，提著街上走，吟詩(shī)添一倍，畫(huà)畫(huà)喝一斗。三作詩(shī)和畫(huà)，喝光壺中酒。 你說(shuō)我壺中，原有多少酒”解析： 同樣的我們先畫(huà)方框圖（1÷2+1）÷ 2+1÷ 2=（1.5÷ 2+1）÷ 2=1.75÷2=0.875（斗） 所以，計(jì)山算的是正確的。例 2、一筐魚(yú)連筐重 100 千克，先賣(mài)出一半的魚(yú)，又賣(mài)出剩下魚(yú)的一半，這時(shí)連筐還重28千克，原來(lái)筐重多少千克？解析： 這一例與剛才的例子稍有區(qū)別， 雖然都是一半的關(guān)系。 但是筐子的

5、重量并沒(méi)有發(fā)生變 化，只是魚(yú)的重量存在一半的關(guān)系。從圖中， 可以發(fā)現(xiàn)原來(lái)的魚(yú)最后被分成了 4 份，我們假設(shè)最后剩下的魚(yú)為一份， 那么原來(lái)的 就為 4 份，一共賣(mài)出去 3 份魚(yú)。而筐子不變， 所以我們可以求出沒(méi)份魚(yú)的重量，然后再計(jì)算 筐子的重量。（100-28 ）÷（ 2×2-1） =24（千克）28-24=4（千克）例 3、貝貝的阿姨給貝貝送來(lái)一筐蘋(píng)果，貝貝將其中的一半分給弟弟，又將剩下的一半分給 哥哥，最后將第二次剩下的一半留給爸爸和媽媽?zhuān)?自己拿了剩下的 4個(gè)蘋(píng)果。 問(wèn)阿姨一開(kāi)始 送來(lái)了多少個(gè)蘋(píng)果？解析： 在這一例中都是“一半”的關(guān)系，我們?nèi)匀豢梢圆捎梅娇驁D法來(lái)分析4&

6、#215;2×2×2=32（個(gè)）小結(jié)：一半問(wèn)題是還原法解題中的一大類(lèi)型， 在這兩例中， 關(guān)系比較簡(jiǎn)單， 大家很容易理解。 但很多時(shí)候，并不能恰好為一半，比如說(shuō)“一半多幾個(gè)” “一半少幾個(gè)”對(duì)于這樣的問(wèn) 題，我們?cè)趺唇鉀Q呢？下面看例 3 過(guò)渡： 學(xué)習(xí)了“一半還多”的類(lèi)型，那么“一半要少”該怎么解決呢？下面看例例 4、 倉(cāng)庫(kù)里有一批大米。第一天售出的重量比總數(shù)的一半少12 噸。第二天售出的重量比剩下的一半少 12 噸，結(jié)果還剩下 49 噸。這個(gè)倉(cāng)庫(kù)原有大米多少?lài)崳?解析：已知賣(mài)出了一半少 12 噸，也就是剩下的要比一半多 12 噸，看方框圖（49-12）× 2=74（

7、噸）（74-12）× 2=124（噸）小結(jié)：解決這一類(lèi)一半問(wèn)題時(shí)，要充分理解“多減少加”的思想。下面大家看練習(xí)題5，試試看！練習(xí)：三位同學(xué)共同買(mǎi)了一些鉛筆， 甲分得的比總數(shù)的一半少 1 支，乙分得的是余下的一半 多一支，丙分得 8 支。問(wèn)一共買(mǎi)了多少支鉛筆？解析：這一題里面既有“一半多” ，也有“一半少” ，那么根據(jù)我們前面學(xué)的，畫(huà)方框圖（8+1 ）× 2=18（支）（18-1） × 2=34 （支）過(guò)渡： 到目前為止，我們學(xué)習(xí)的都是一個(gè)量在變化的過(guò)程，那么如果最開(kāi)始有兩個(gè)量、三 個(gè)量互相發(fā)生變化，我們能不能用還原法解決呢？答案是肯定的，我們看例題 5 例 5、爸

8、爸買(mǎi)了一些橘子，全家人第一天吃了這些橘子的一半多一個(gè)，第二天吃了剩下的一 半多一個(gè)，第三天又吃了剩下的一半多一個(gè)，還剩下一個(gè)。問(wèn)爸爸買(mǎi)了多少個(gè)橘子？ 解析： 這一例相對(duì)于上一例來(lái)說(shuō)，要復(fù)雜一些，因?yàn)椴皇乔『靡话肓?。而是“一半多一個(gè)” 也就是剩下的為“一半少一個(gè)” ，運(yùn)算時(shí)要在一半的基礎(chǔ)上再減去一個(gè)?？捶娇驁D：（1+1 ）× 2=4（個(gè)）（4+1 ）× 2=10（個(gè)）（10+1 ）× 2=22（個(gè)）小結(jié)： 這一例屬于典型的一半問(wèn)題， “一半多一個(gè)” ，計(jì)算時(shí)需要減一，即多減少加的思想。大家在做這一類(lèi)題目時(shí)， 一定要分析清楚， 否則倒推的時(shí)候就會(huì)出錯(cuò)！ 下面大家看練習(xí)

9、題 2， 先自己試試。練習(xí)：商場(chǎng)出售洗衣機(jī)， 上午售出總數(shù)的一半多 10 臺(tái)，下午售出剩下的一半多 20臺(tái)，還剩 95 臺(tái)，這個(gè)商場(chǎng)原來(lái)有洗衣機(jī)多少臺(tái)？解析：95+20）× 2=230（臺(tái)）230+10 ）× 2=480（臺(tái)）例 6、甲、乙、丙、丁四個(gè)小朋友有彩色玻璃球共 100 顆，甲給乙 13 顆，乙給丙 18顆，丙給丁 16 顆，丁給甲 2顆后四人的個(gè)數(shù)相等。 他們?cè)瓉?lái)各有玻璃球多少顆？ 解析： 這一例就比我們剛才學(xué)習(xí)的要復(fù)雜一些， 因?yàn)橛兴膫€(gè)人， 他們的玻璃球數(shù)都在不停的 變化。由已知我們可以求出，他們變化到最后擁有的玻璃球數(shù)：100÷ 4=25 顆，然后

10、我們和前面一樣，用方框圖把每一個(gè)人的玻璃球數(shù)變化過(guò)程表示出來(lái)：甲：乙：解析： 甲丁：100÷4=25（顆）甲： 25-2+13=36 （顆）乙： 25+18-13=30 （顆）丙： 25+16-18=23 （顆）?。?25-2-16=11 （顆）小結(jié)： 在這一例中， 是多個(gè)量之間發(fā)生相互變化， 在把每一個(gè)量從后往前倒推的時(shí)候一定要 考慮到這個(gè)量發(fā)生關(guān)系的所有變化，不能有遺漏。下面大家自己做練習(xí)題 4練習(xí)： 甲乙丙三組共有圖書(shū) 90 本，如果乙組借給甲組 3本后，又送給丙 5 本，結(jié)果三個(gè)組 所有圖書(shū)剛好相等，甲乙丙三個(gè)組原有圖書(shū)各多少本？90÷ 3=30（本）甲 30-3=

11、27 （本） 乙 30+5+3=38 （本） 丙 30-5=25 （本）例 7、有甲乙丙三個(gè)油桶，各盛油若干千克，先將甲桐油倒入乙、丙兩桶，使他們各增加原 有油的一倍；再將乙桶油倒入丙、甲兩桶，使他們的油各增加一倍；最后按同樣規(guī)律將丙桶 油倒入甲、乙兩桶。這時(shí)各桶油都是16 千克。求甲乙丙原有油多少千克？解析： 這一例是還原法解題的經(jīng)典類(lèi)型，稱(chēng)為“同樣多”問(wèn)題，即變化量和原來(lái)一樣，也可以說(shuō)變?yōu)樵瓉?lái)的 2 倍，或者增加一倍等。對(duì)于這一類(lèi)題目，我們通常采用列表法：甲乙丙第 3 次倒后161616第 2 次倒后8832第 1 次倒后42816原來(lái)26148下面大家看練習(xí)題 9練習(xí)： 甲乙丙三箱內(nèi)共有

12、 384 個(gè)皮球，先由甲箱內(nèi)取出若干個(gè)放進(jìn)乙、丙兩箱內(nèi)，所放個(gè)數(shù) 分別為乙丙當(dāng)時(shí)所有的球數(shù)； 再由乙箱取出若干放進(jìn)甲丙兩箱； 最后由丙箱取出若干放進(jìn)甲 乙兩箱， 放法都同前， 結(jié)果三個(gè)箱子內(nèi)的皮球數(shù)彼此相等。 問(wèn)甲乙丙各箱內(nèi)開(kāi)始分別有多少 個(gè)球？解析： 這一題和我們的例題非常相似似， 只是題目的說(shuō)法變了。我們可以抓住“三箱內(nèi)球數(shù) 彼此相等”這句話一步步往前推，列表如下：384÷3=128（個(gè)）甲乙丙第 3 次變化后128128128第 2 次變化后6464256第 1 次變化后32224128原來(lái)20811264例 8、兩只猴子拿 26 個(gè)桃，甲猴眼疾手快，搶先得到，乙看甲猴拿得太多

13、，就搶去一半； 甲猴不服，又從乙猴那兒搶走一半；乙猴不服，甲猴就還給乙猴 5個(gè)， 這時(shí)乙猴比甲猴多 2 個(gè)（ 改一下 ）。問(wèn)甲猴最初準(zhǔn)備拿幾個(gè)？解析 ：從最后一步開(kāi)始考慮，兩只猴子拿桃的總和是沒(méi)有變的，這時(shí)乙猴比甲猴多2個(gè)，則可以得到甲猴： （26-2）÷ 2=12 個(gè)，乙猴： 12+2=14 個(gè)。乙猴不服，甲猴就還給乙猴 5個(gè)， 則此時(shí)甲猴有： 12+5=17 個(gè)，乙猴有 14-5=9 個(gè)；甲猴不服，又從乙猴那兒搶走一半，則此 時(shí)甲猴有： 17-9=8 個(gè) 乙猴有： 9×2=18 個(gè)；乙看甲猴拿得太多，就搶去一半，則此時(shí)甲猴 有： 8×2=16個(gè)，乙猴有 18-

14、8=10 個(gè)。由上可知，甲猴最初準(zhǔn)備拿 16個(gè)。三、課堂總結(jié)： 這一講我們學(xué)習(xí)了還原法解應(yīng)用題， 對(duì)于一個(gè)量的變化過(guò)程我們一般采用方 框圖法來(lái)倒推， 多個(gè)量的用列表法來(lái)倒推。在倒推時(shí)，每一步運(yùn)算都變?yōu)樵瓉?lái)的逆運(yùn)算，需 要注意：從最后的結(jié)果或條件出發(fā)， 逐步向前推導(dǎo)，不得跳躍；列算式的時(shí)候要注意運(yùn)算順 序，要合理使用括號(hào)。四、家庭作業(yè)練習(xí)題 1、3、 6、8、10五、板書(shū)設(shè)計(jì)還原法解題 倒推：從問(wèn)題的結(jié)果向前逐步推理，回到已知條件。 類(lèi)型：數(shù)學(xué)運(yùn)算；一半問(wèn)題；同樣多問(wèn)題；方框圖：?jiǎn)蝹€(gè)量列表：多個(gè)量六、課后反思 參考答案：鞏固練習(xí)1、妮妮問(wèn)王老師今年多大年紀(jì)，王老師說(shuō)：把我的年齡加上9，除以 4，

15、減去 2，再乘以 3，恰好是 30 歲。問(wèn)王老師今年多少歲？ 解析：30 ÷3 = 10 （歲） 10+2 = 12 （歲） 12×4 = 48 （歲） 48-9 = 39 （歲）2、商場(chǎng)出售洗衣機(jī)，上午售出總數(shù)的一半多10 臺(tái)，下午售出剩下的一半多 20 臺(tái)，還剩 95 臺(tái)，這個(gè)商場(chǎng)原來(lái)有洗衣機(jī)多少臺(tái)？解析：（95+20 ）× 2 = 230 （臺(tái)） （230+10 ）×2 = 480 （臺(tái)）3、糧庫(kù)內(nèi)有一批大米， 第一次運(yùn)出總數(shù)的一半少 3 噸，第二次運(yùn)出剩下的一半多 5 噸， 還剩下 4 噸。問(wèn)糧庫(kù)原有大米多少?lài)?？?+5 ）× 2 =

16、18 （噸）（18-3 ）×2 = 30 （噸）4、貝貝去銀行取款，第一次取了存款的一半多50 元，第二次取了余下的一半多 100元。這時(shí)他的存折上還剩 1250 元。他原有存款多少元？1250+100 ）×2 = 2700 （元）2700+50 ）×2 = 5500 （元）5、有一堆桃，第一只猴拿走其中的一半加半個(gè)，第二只猴又拿走剩下的一半加半個(gè)，第三、四、五只猴照此方式操作下去，最后還剩下一個(gè)桃。問(wèn)：原來(lái)有多少個(gè)桃？ （1+0.5 ）×2 = 3 （個(gè)） （3+0.5 ）×2 = 7 （個(gè)）（15+0.5 ）× 2 = 31 （個(gè)

17、）31+0.5 ）×2 = 63（7+0.5 ）×2 = 15 （個(gè)） 個(gè)）6、三位同學(xué)共同買(mǎi)了一些鉛筆，甲分得的比總數(shù)的一半少半多一支，丙分得 8 支，問(wèn)三人共買(mǎi)多少支鉛筆？1 支，乙分得的是余下的一8+1 ）× 2 = 18 （支）18-1 ）×2 = 34 （支）3 本后，又送給丙 5 本，結(jié)果三7、甲、乙、丙三組共有圖書(shū) 90 本，如果乙組借給甲組個(gè)組所有圖書(shū)剛好相等，甲、乙、丙三個(gè)組原有圖書(shū)各多少本？90 ÷3 = 30 （本） 甲 30 -3 = 27（ 本）丙 30 -5 = 25 （本） 乙 30+3+5 = 38 （本）8、甲

18、、乙兩桶油各有若干千克，如果要從甲桶中倒出和乙桶同樣多的油放入乙桶，再 從乙桶中倒出和甲桶剩下的同樣多的油放入甲桶。這時(shí)兩桶油恰好都是 36 千克。問(wèn)兩桶油 原來(lái)各有多少千克？甲乙13636236 ÷2=1836+18=54318+27=4554 ÷2=279、甲、乙、丙三箱內(nèi)共有 384 個(gè)皮球，先由甲箱內(nèi)取出若干個(gè)放進(jìn)乙、丙兩箱內(nèi)，所 放個(gè)數(shù)分別為乙、丙當(dāng)時(shí)所有的球數(shù)；再乙箱取出若干放進(jìn)甲、丙兩箱；最后，由丙箱取出 若干放進(jìn)甲、乙兩箱，放法都同前，結(jié)果三箱內(nèi)的皮球個(gè)數(shù)彼此相等。問(wèn)甲、乙、丙各箱內(nèi) 開(kāi)始各有球多少個(gè)？ 384÷3=128 個(gè)甲乙丙11281281282128÷2=64128÷2=64384-64 ×2=256364 ÷ 2=32384-128=32=224256÷2=