概率統(tǒng)計(jì)串講

1、前言關(guān)于考試關(guān)于復(fù)習(xí)題型公式過程串講記憶第一章第一章 隨機(jī)事件及其概率 事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系和運(yùn)算 古典概型古典概型 概率的性質(zhì)概率的性質(zhì) 重要公式重要公式 獨(dú)立性獨(dú)立性事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系和運(yùn)算BABAABABAB互斥(互不相容)AB 對(duì)立事件(逆事件)AB)()()(BPAPABPA 與 B 相互獨(dú)立 重要公式重要公式古典概型古典概型nmAP)(個(gè)數(shù)中所包含的基本事件的n的基本事件的個(gè)數(shù)組成 Am 性質(zhì)性質(zhì)1 加法公式加法公式,()( )( )A BP ABP AP B若事件互斥，則 性質(zhì)性質(zhì)2逆事件公式逆事件公式)(1)(APAP)()()()(ABPBPAPBAP性質(zhì)性質(zhì)3

2、 廣義加法公式廣義加法公式 設(shè)設(shè)、B是兩個(gè)事件，若是兩個(gè)事件，若 , 則則有有 )()()(APBPABP)()(APBPBA 性質(zhì)性質(zhì)4 減法公式減法公式條件概率與乘法公式條件概率與乘法公式ABP)()(APABP) 0)()()(APABPAPABP) 0)()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP 設(shè)設(shè)S為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，A1,A2,An是是兩兩互斥的事件，且有兩兩互斥的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n, niiiABPAPBP1)()()(全概率公式全概率公式稱滿足上述條件的稱滿足上述條件的A1,A2,An為為劃分劃分

3、.,1SAnii則對(duì)任一事件則對(duì)任一事件B，有，有貝葉斯公式貝葉斯公式njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|( 設(shè)設(shè)A1,A2,An是分劃，則對(duì)任一事件是分劃，則對(duì)任一事件B，有有ni, 2112.2.,.P某人忘記了電話號(hào)碼的最后一位數(shù)字因而隨機(jī)按號(hào) 求他第三次撥通，不超過三次而撥通的概率設(shè)iA3,2, 1i表示“按i 次才對(duì)”解1231233()()()()10P AAAP AP AP A101)(iAP則抽簽理論抽簽理論乘法公式乘法公式11()10P A 212121911()()() (|)10 910P AP A AP A P AA398 11()10 9 8

4、10P A古典概率古典概率設(shè)A，B，C是隨機(jī)事件，A與C互不相容，11(),( )23P ABP C()_P AB C ()()()()()( )1( )1( )P ABCP ABP ABCP ABP AB CP CP CP C3.4.20%,30%,50%0.95,0.9,0.8.P15.2甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總數(shù)的，正品率分別為，從這批產(chǎn)品中任取一件，求它是正品的概率B表示產(chǎn)品為正品321 , ,AAA分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車間生產(chǎn)完備事件組完備事件組86. 0)|()()|()()|()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP全概率公式全概率公式該

5、產(chǎn)品由丙車間生產(chǎn)的可能性最大。貝葉斯公式貝葉斯公式86. 0)(BP2209. 0)()()()|(111BPABPAPBAP314. 0)()()()|(222BPABPAPBAP4651. 0)()()()|(333BPABPAPBAP大？個(gè)車間生產(chǎn)的可能性較品由哪，發(fā)現(xiàn)是正品，問這產(chǎn)從這批產(chǎn)品中任取一件，正品率分別為別占總數(shù)的分產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量甲、乙、丙三個(gè)車間生例8 . 0 , 9 . 0 ,95. 0%50%,30%,20. 2P19.5相互獨(dú)立和則事件設(shè)BABAPBAPBPAP, 1)()(, 1)(0 , 1)(01)|(1)|()|()|(BAPBAPBAPBAP因?yàn)?|(

6、)|(BAPBAP所以)(1)()()()()()(BPABPAPBPBAPBPABP)()()(APBPABP()( )()( )( ) ( )( )0.5 ( )0.5 ( )0.3P ABP AP ABP AP A P BP AP AP A( )0.6P A ()( )()0.50.5 ( )0.2P BAP BP ABP A( )0.5,()0.3P BP AB()_P BA設(shè)隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，且隨隨機(jī)機(jī)量量變變散散離離型型定義定義 若隨機(jī)變量 X 的可能取值是有限個(gè)或可列個(gè), 則稱 X 為離散型隨機(jī)變量概率分布或分布律, 2, 1,)(kpxXPkkX kxxx21P kppp

7、21或分布律即離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布分布律的性質(zhì)分布律的性質(zhì)q , 2 , 1, 0kpk非負(fù)性q 11kkp歸一性X 或kxxx21kppp21用性質(zhì)可以判斷用性質(zhì)可以判斷是否為分布律是否為分布律P26例3 3 . 01021016. 0321012aaaX11kkp0kp6 . 0, 9 . 0aa 3 . 012. 036. 006. 016. 032101XP25例2Xpk 0 1 2 1571571518(02)15PX14(02)15PX14(1.5)15P X 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適

8、當(dāng)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可并項(xiàng)即可.一般，若一般，若X是離散型是離散型 r.v ，X的分布律為的分布律為Xkkpppxxx2121則則 Y=g(X)kkpppxgxgxg2121)()()(2.12P423011361331012aaaX11kkp151 a301115151615131012X301115151615131012X30115130751830112XY二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布n 重Bernoulli 試驗(yàn)中, X 是事件A 在 n 次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù) , P (A) = p ,若nkppCkXPknkkn, 1 , 0,)1 ()(則稱 X 服從參數(shù)為n, p 的二項(xiàng)分

9、布，記作),(pnBX01 分布是 n = 1 的二項(xiàng)分布P412.6設(shè) X 為同時(shí)使用的設(shè)備臺(tái)數(shù)，則 X B( 5, 0.2)5個(gè)獨(dú)立同類型的供水設(shè)備，在任一時(shí)刻t每個(gè)設(shè)備使用的概率為0.2，問在同一時(shí)刻 (1)恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？(2)至多有2個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？ 322525225)8 . 0()2 . 0()2(CqpCXP32254155)8 . 0()2 . 0()8 . 0(2 . 0)8 . 0()2(CCXPP412.8 令X 表示發(fā)生次數(shù),則 X B(3, p)2719)1 (1)0(1) 1(3pXPXP31 p泊松分布泊松分布若, 2, 1 , 0,!

10、)(kkekXPk其中0是常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為的泊松(Poisson)分布.或)(X)(P記作若X B( n, p), 則當(dāng)n 較大，p 較小, 則np, 2 , 1 , 0,!)1 (kkeppCkknkkn定理定理二項(xiàng)分布的極限分布是 Poisson 分布n 20, n p 0 為常數(shù)例 顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間T(分鐘)服從參數(shù)為1/10的指數(shù)分布，若等待時(shí)間超過15分鐘，則他就離開.設(shè)他一個(gè)月內(nèi)要來銀行10次，以X表示一個(gè)月內(nèi)他沒有等到服務(wù)而離開的次數(shù)，求X的分布律及至少有兩次沒有等到服務(wù)的概率. . 0, 0; 0,101)(10ttetft.2231. 0101)15(

11、1510dteTPpt ),10(pBX).1()0(1)2(XPXPXP10, 1 , 0,)1 ()(1010kppCkXPkkk3.4 均勻分布均勻分布若 X 的 d.f. 為其他, 0,1)(bxaabxf則稱 X 服從區(qū)間( a , b)上的均勻分布均勻分布),(baUX記作, ),(),(badcxabdXcPd1)(dcabcd例 上的均勻分布，服從區(qū)間設(shè)隨機(jī)變量) 1, 1(X試求方程0132tXt有實(shí)根的概率解：的密度函數(shù)為隨機(jī)變量X 其它01121xxf方程有實(shí)根設(shè)： A )32()32()049(2XPXPXPAP則2132131122dxdx31已知 X 的密度或分布函

12、數(shù)，求 Y = g( X ) 的密度或分布函數(shù)方法：（1） 從分布函數(shù)出發(fā)（2）用公式直接求密度 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布)()()(yXgPyYPyFY方法一方法一 從分布函數(shù)出發(fā))()(yFyfYY其它, 0,)()()(11ydyydgygfyfXY定理定理 設(shè)設(shè)連續(xù)型連續(xù)型r.v X具有概率密度具有概率密度 fX(x),又設(shè)又設(shè)y=g(x)單調(diào)可導(dǎo)，其反函數(shù)為單調(diào)可導(dǎo)，其反函數(shù)為則則Y=g(X)是一個(gè)是一個(gè)連續(xù)型連續(xù)型r.v，其概率密度為，其概率密度為),(1ygx方法二方法二 用公式用公式P69.14 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X在在(0,1)上服從均勻分布，上服從

13、均勻分布，(2)求求Y=- -2lnX的概率密度的概率密度.反函數(shù)反函數(shù)2/)(yeygx其它, 010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedefyf其它, 010, 1)(xxfX其它,)(/00212yeyfyY第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望1)(kkkpxXEdxxxfXE)()(1)()(iiipxgYEdxxfxgYE)()()()()()(22XEXEXD方差方差3. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) (1) 設(shè)設(shè)C是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(C)=C; (2) 若若C是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(CX)=CE(X); (3) E(X+Y) = E(X

14、)+E(Y);niiniiXEXE11)(:推廣2. 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) (1) 設(shè)設(shè)C是常數(shù)是常數(shù),則則D(C)=0; (2) 若若C是常數(shù)是常數(shù),則則D(CX)=C2 D(X); (3) 若若a,b是常數(shù)是常數(shù),則則D(aX+b)=a2 D(X);4 .13P86.1 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為3 . 05233 . 05034 . 05)2(3)53(2222XE2 0.40 0.32 0.30.2EX 22222()( 2)0.420.32.8,()() ()2.76.E XD XE XE X ( 105).DX 求P86.1 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為( 105)10 ()27.6

15、.DXD X21,14.( )10,(),().xXf xxE XD X隨機(jī)變量的密度為其他求121222212211212( )01()()()1( )2111()( )22xEXxf x dxdxxDXE XEXE Xxx f x dxdxxP Xf x dxP862(5,10 )35.XNYXEY已知隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望5,(35)3520XEXEYEXEX由于服從正態(tài)分布，則所以P75.8 市場(chǎng)上對(duì)某種產(chǎn)品每年需求量為 X 臺(tái)，X U (2000,4000), 每出售一臺(tái)可賺3萬元 , 若售不出去，則每臺(tái)需保管費(fèi)1萬元，問應(yīng)該組織多少貨源, 才能使平均利潤最大？最大期望值為多少？ 解

16、解其它, 0,40002000,20001)(xxfX設(shè)組織n 臺(tái)貨源, 利潤為 Y 顯然，2000 n 4000P78.13P78.13xnnxxnnxg,4,3)(XnXnXXnnXgY),(3,3)(dxxfxgYEX)()()(3)4(2000140002000nnndxdxnx)10814002(2000162nn)140004(20001)(ndnYdE0令故 n=3500 時(shí), E(Y )最大n=35008250)(maxYE期望是多少？求一周內(nèi)利潤萬元次以上故障就要虧損元；發(fā)生三次或三生二次故障所獲利潤萬元；發(fā)獲利潤元；發(fā)生一次故障仍可萬獲利潤個(gè)工作日里無故障，可一周停止工作，

17、若，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天為發(fā)生故障的概率假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi).2051052 . 0.1355514522355(5,0.2)0.20.8(0,1,2,3,4,5)00.80.328,10.2 0.80.41020.20.80.205,310120.057kkkXXBP XkCkP XP XCP XCP XP XP XP X 以表示一周 天內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的天數(shù)，則 服從105020.3280.410.2050.057Y則利潤( )10 0.3285 0.4100 0.2052 0.05750216E Y 第第 五五 章章 多維多維 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 二維離散型二維離散型 r.v.

18、及其概率分布及其概率分布為二維 r.v.( X ,Y ) 的聯(lián)合概率分布也簡(jiǎn)稱 概率分布 或 分布律, 2 , 1,),(jipyYxXPijji1x1 xi 11pjp11 ipijppip1pip jp1p jyjy1XY 聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律及邊緣分布律及邊緣分布律二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義 設(shè)二維設(shè)二維 r.v.( X ,Y )的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 F(x ,y), xydvduvufyxF),(),(則稱則稱 f (x,y) 為為( X ,Y ) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)簡(jiǎn)稱概率密度函數(shù)簡(jiǎn)記簡(jiǎn)稱概率密度函數(shù)簡(jiǎn)記 p.d.f.),(2yxfyxF0),

19、() 1 (yxf1),()2( dydxyxfGdxdyyxfGYXP),(),(dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(例 設(shè) r.v.( X ,Y ) 的聯(lián)合 d.f. 為；常數(shù)求k求),()2(1DYXP16),( kdxdyyxf解：由密度函數(shù)的性質(zhì)，得所以，6k其他, 0, 1, 10,),(2yxxkxyyxfyoy=x21x例 設(shè) r.v.( X ,Y ) 的聯(lián)合 d.f. 為),()2(1DYXP其他, 0, 1, 10,),(2yxxkxyyxfyoy=xy=x21x1D41xyd6ddd),(21x10 xDyxyxyxf的邊緣密度函數(shù)，試求隨機(jī)變量其他，設(shè)隨

20、機(jī)變量例YXyxxxyyxfYX, 0, 1, 10,6),(2yoy=x21xdyyxfxfX),()(時(shí)，或當(dāng)10 xx 0 xfX的邊緣密度函數(shù)為隨機(jī)變量 X時(shí)，當(dāng)10 x dyyxfxfX，1106022dyxydydyxx413xx 其它010134xxxxfXyoy=x21x的邊緣密度函數(shù)為同理，隨機(jī)變量Y 其它, 010,32yyyfYdxyxfyfY),()(yoy=x21x若r.v.( X ,Y ) 的聯(lián)合 d.f. 為其他, 0),(,/ 1),(GyxAyxf則稱( X ,Y )服從區(qū)域G上的均勻分布 G1 G, 設(shè)G1的面積為A1,AAGYXP11),(P99.4.4)

21、(202的概率軸的夾角小于原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與正比，求的概率與區(qū)域的面積成點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域內(nèi)擲一點(diǎn)，為正常數(shù)隨機(jī)地向半圓xaxaxy1D4AAGYXP11),(211連續(xù)型)()(),(yfxfyxfYXX與Y 獨(dú)立對(duì)任何 x ,y 有X與Y 獨(dú)立)()(),(jijiyYPxXPyYxXP對(duì)一切 i , j 有離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布)()(zZPzFZ),(zYXgPzDdxdyyxf),(),(| ),(:zyxgyxDz(2)再求Z的密度函數(shù):問題 已知r.v.( X ,Y )的密度函數(shù)， 求Z=g (X , Y)的密度函數(shù).

22、方法 (1) 先求Z 的分布函數(shù)：)()(zFzfZZ),(),(yxfYXbYaXZdxbaxzxfbzfZ,1)(dyyabyzfa,1)(zfZ求或2. 線性和的分布：線性和的分布：Z = aX + bY 特別地，若X ,Y 相互獨(dú)立，則卷積公式卷積公式P116. 0, 0; 0,)( ., 0; 10 , 1)(yyeyfxxfyYX其他P116.401,0;( , )( )( )0,.yXYexyf x yfx fy，其他X 和Y 相互獨(dú)立 解法一解法一（卷積公式法） dxxzfxfzfYXZ22ZX Y 20,01(1),0221(1),22zZzzfzezeezxz2zx012解

23、法二解法二 分布函數(shù)法(P118)當(dāng)z 0 時(shí)，0)(zFZZ的分布函數(shù)為.),()2()()(2zyxZdxdyyxfzYXPzZPzFzyx202z1yx當(dāng)0 z 2 時(shí)，zyx202z1yx2222000( )(1)1(1).2zzxzyx zZzFze dy dxedxze.) 1(211)1 ()(2101022zzxxzOyZeedxedxdyezF當(dāng)2 z 時(shí)，20,0;1( )(1),02;211(1),2.2zZzzFzzezeez20,0;1( )(1),02;21(1),2.2zZzzfzezeez1,),()(jiijjipyxgZEZ = g(X ,Y )的數(shù)學(xué)期望的

24、數(shù)學(xué)期望 dxdyyxfyxgZE),(),()(二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征相關(guān)系數(shù))()(),cov(YDXDYXXY若, 0XY 稱 X ,Y 不相關(guān).協(xié)方差 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) ),cov(),cov()2(YXabbYaX),cov(),cov(),cov() 3 (ZYZXZYX)(),cov()4(XDXX協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)cov(, )cov( ,)X YY X(1),cov(2)()()()5(YXYDXDYXD1|)6(XY1)7(XYP(Y=aX+b)=1，例例 設(shè)二維 r.v. (X ,Y ) 的

25、d.f. 為其它, 0,0 , 10,8),(xyxxyyxf求E(X), E(Y), V(X), V(Y).解解 dxdyyxxfXE),()(1008xxydyxdx54P131 dxdyyxyfYE),()()()()(22XEXEXV dxdyyxfxXE),()(2210028xxydyxdx32)()()(22XEXEXV752)()()(22YEYEYV其它, 0,0 , 10,8),(xyxxyyxf求cov(X,Y), V(5X- 3Y).解解 dxdyyxxyfXYE),()(P131 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) )()(),cov(YVXVYXXY)

26、3 ,5cov(2)3()5()35(YXYVXVYXD),cov(30)(9)(25YXYVXV例例 設(shè) X ,Y 相互獨(dú)立, 且都服從 N ( 0, 2), U = aX + bY , V= aX - bY , a,b 為常數(shù)， 且都不為零，求UV 解解222)(),cov(baVU)()(),cov(),cov(),cov(2222YDbXDaYYbXXabYaXbYaX利用協(xié)方差的性質(zhì)利用協(xié)方差的性質(zhì)而22222)()()()(baYDbXDaUD22222)()()()(baYDbXDaVD故2222babaUV綜合組裝綜合組裝基本模塊組裝為綜合題基本模塊組裝為綜合題?？寄Ｊ街贿B續(xù)

27、型數(shù)字特征概率隨機(jī)變量函數(shù)的分布概率密度邊緣分布常考模式之二離散型分布律數(shù)字特征概率邊緣分布141413112112設(shè)隨機(jī)變量( X，Y )的概率分布為X Y0120010020求：(1) P X = 2Y ； (2) X, Y的邊緣分布律，并判斷X與Y的獨(dú)立性； (3) Cov( X -Y，Y ).12 2,10,04P XYP XYP XY1213161313130,10 1P XYP XP Ycov(, )cov(, )( )22 ()() ( )( )033XY YX YD YE XYE X E YD Y (1)(2) X的邊緣分布律:X012PY的邊緣分布律:Y012P 所以X與Y不

28、相互獨(dú)立. （3）第六章第六章 極限定理極限定理 設(shè)隨機(jī)變量序列,21nXXX獨(dú)立同一分布, 且有期望和方差：, 2 , 1,0)(,)(2kXDXEkk則對(duì)于任意實(shí)數(shù) x ,xtnkkndtexnnXP21221lim)(x定定理理一一林德伯格-列維中心極限定理 獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理 注注)(limxxYPnn即 n 足夠大時(shí)，Y n 的分布函數(shù)近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的分布函數(shù)nnXYnkkn1記)1,0( NYn近似nkkX1),(2nnN近似服從它表明它表明: :當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，n個(gè)具有期望和方差個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的的獨(dú)立同分布的r.v之和

29、近似服從正態(tài)分布之和近似服從正態(tài)分布. .325)(, 5)()10, 0(iiiWVWEUW由中心極限定理由中心極限定理 )31250,250(501NWWii近似3121. 0)31250250260(1)260(1WPP148.5)260(WP)260(WP 設(shè) Y n B( n , p) , 0 p 1, n = 1,2,則對(duì)任一實(shí)數(shù) x，有xtnndtexpnpnpYP2221)1 (limY n N (np , np(1-p) (近似)定定理理二二棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理 二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布 )(x即 n 足夠大時(shí)，例 某單位有200臺(tái)電話

30、分機(jī)，每臺(tái)分機(jī)使用外線的概率為0.05, 假定每臺(tái)分機(jī)是相互獨(dú)立的，問要安裝多少條外線，才能以95%以上的概率保證分機(jī)用外線時(shí)不等待？解：設(shè)有X部分機(jī)同時(shí)使用外線，則有),05. 0 ,200( BX設(shè)有N條外線。由題意有()0.95P XN由拉普拉斯定理()P XN5 . 9,10NX近似)5 . 910(N16N第第 7 章章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念1.總體和樣本總體和樣本總體總體: 研究對(duì)象的全體構(gòu)成的集合研究對(duì)象的全體構(gòu)成的集合. 實(shí)際問題中往往關(guān)心的是某個(gè)實(shí)際問題中往往關(guān)心的是某個(gè)(些些)指標(biāo)，指標(biāo)，并把它并把它(們們)看成是隨機(jī)變量看成是隨機(jī)變量 X.樣本樣本: 在總體

31、在總體 X 中抽取的中抽取的 n 個(gè)個(gè)體個(gè)個(gè)體 X1，Xn . 稱稱 n 為樣本的為樣本的容量容量.可以構(gòu)成一個(gè)可以構(gòu)成一個(gè) n 維隨機(jī)向量維隨機(jī)向量(X1，Xn) . 2.統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量(1)樣本均值樣本均值niiXnX11它反映了它反映了總體均值總體均值EX 的信息的信息(2)樣本方差樣本方差2211()1niiSXXn它反映了總體它反映了總體方差方差DX的信息的信息22111niiXn Xn樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差 2211()1niiSSXXnnikikXnA11它反映了總體它反映了總體 k 階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩 EX k 的信息的信息樣本樣本k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩樣本樣本k階中心矩階中心矩niki

32、kXXnB1)(1 k =1,2,它反映了總體它反映了總體k 階中心矩階中心矩 E(X-EX) k 的信息的信息(3)樣本矩樣本矩 k =1,2,7.2 抽樣分布抽樣分布定義定義 統(tǒng)計(jì)量的分布稱為統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布抽樣分布.P U，則稱，則稱 為該分布的上為該分布的上 分位點(diǎn)分位點(diǎn)。設(shè)統(tǒng)計(jì)量設(shè)統(tǒng)計(jì)量U 服從某個(gè)分布，若對(duì)服從某個(gè)分布，若對(duì)(01)有有定義定義 設(shè)設(shè) XN(0,1)，其上分位點(diǎn)如下圖所示，其上分位點(diǎn)如下圖所示一、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布一、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布()1P XzzP Xz 顯然由對(duì)稱性得下顯然由對(duì)稱性得下 分位點(diǎn)為分位點(diǎn)為z上上 分位點(diǎn)分位點(diǎn):定義定義: 設(shè)設(shè) 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,

33、且都服從正態(tài)分布且都服從正態(tài)分布N(0,1), 則稱隨機(jī)變量：則稱隨機(jī)變量：nXXX,21二、卡方（二、卡方（ ）分布）分布222222121nniiXXXX22( )n記為所服從的分布為所服從的分布為自由度是自由度是 n 的卡方分布的卡方分布，2分布的上分位點(diǎn)如下圖)(2n 20.013557 342()=.20.99(35)18.509例如例如所服從的分布為所服從的分布為自由度為自由度為 n的的 t 分布分布. 定義定義: 設(shè)設(shè)2(0,1),( )XNYn三、三、t 分布分布 ( ).Tt n記為XTY n且且X 與與Y 相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量)(nt t 分布的分位

34、點(diǎn)如圖分布的分位點(diǎn)如圖四、四、F 分布分布2212(),(),XYXnYn設(shè)與 相互獨(dú)立，且定義定義和和 n2 的的 F 分布分布，n1 稱為稱為第一自由度第一自由度，n2稱為稱為第二自由度第二自由度，記作，記作12/X nFY n則稱隨機(jī)變量12(,)FF n n服從服從自由度為自由度為 n1 ),(21nnF F分布的分位數(shù)分布的分位數(shù)12(,)F n n上的分位點(diǎn)為12112211(,)( ,)(,)F n nFn nF n n分位點(diǎn)為:的下正態(tài)總體的正態(tài)總體的抽抽樣分布樣分布() () 一個(gè)正態(tài)總體一個(gè)正態(tài)總體).,() 1 (2nNX的樣本，是總體設(shè)),(,21NXXn) 1(/)4

35、(ntnSX方差，則有：分別是樣本均值與樣本2,SX) 1 , 0( NnX ) 1() 1() 3(222nSn)() 2(221nXnii_) 13() 3(_,) 1 (,) 1 , 0(,. 24231224232121niiiinXXnXXXXNXXX的簡(jiǎn)單樣本是總體).1, 0(2),2 , 0(),1 , 0(2121NXXNXXNXi)2(22423XX )2(242321tXXXX_) 13() 3(,) 1 , 0(,. 24231221niiiinXXnNXXX的簡(jiǎn)單樣本是總體)3(2312iiX)3(242nXnii)3, 3() 13(42312nFXXnniiii例

36、例22161234562(0,1)6,()().XNXXXYXXXXXXCCYnn若總體，從 中取一個(gè)容量為 的樣本，設(shè)試決定常數(shù) ，使(分布,并求123(0,3)XXXN解解123(0,1)3XXXN456(0,1)3XXXN同理可知2221231231(2)333XXXXXXY12.3Cn故，參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)點(diǎn)點(diǎn) 估估 計(jì)計(jì)區(qū)間估區(qū)間估 計(jì)計(jì)統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)推斷推斷基本基本問題問題第第八章章 點(diǎn)估計(jì)概念點(diǎn)估計(jì)概念求估計(jì)量的方法求估計(jì)量的方法 矩法矩法 極大似然法極大似然法估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)第一節(jié)第一節(jié) 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)解解例例 設(shè)總體設(shè)總體X有數(shù)學(xué)期望和方差：有數(shù)學(xué)期望和方差：2

37、,EX DXX1,Xn是是X的一組樣本的一組樣本,求求 的矩估計(jì)的矩估計(jì).2, 即即1222111niiniiXnXn 122111niiniiXEXnXEXn 令令解得解得11niiXXn 222221111()nniiniiXXXXSnn一、一、 矩估計(jì)法矩估計(jì)法矩估計(jì)法就是用樣本矩作為相應(yīng)總體矩的估計(jì)量矩估計(jì)法就是用樣本矩作為相應(yīng)總體矩的估計(jì)量.,.1,010,) 1()(21的矩估計(jì)的一個(gè)簡(jiǎn)單樣本，求總體是是未知參數(shù)其中其他的概率密度為設(shè)總體例XXXXxxxfXn,21) 1()()(10dxxxdxxxfXEXX112得X21令總體矩總體矩樣本矩樣本矩求極大似然估計(jì)的一般步驟求極大似

38、然估計(jì)的一般步驟(1) 構(gòu)造似然函數(shù)構(gòu)造似然函數(shù))(L),;()(xpxXPX屬離散型，其分布律若總體,1的樣本是來自設(shè)XXXn的一個(gè)樣本值；是又設(shè)nnXXxx,11niinxpxxLL11);();,()(似然函數(shù)二、極大似然法二、極大似然法),;(xfX屬連續(xù)型，其概率密度若總體niinxfxxLL11);();,()(似然函數(shù)的一個(gè)樣本值是nnXXxx,11(2) 求似然函數(shù)求似然函數(shù) 的最大值點(diǎn)的最大值點(diǎn))(L. 0)( ddL可由下式求得：一般， . 0)(ln )(ln)(LddLL也可從下述方程解得：的極大似然估計(jì)此處取到極值，因在同一與又因似然方程.,.1,010,) 1()(

39、21的矩估計(jì)的一個(gè)簡(jiǎn)單樣本，求總體是是未知參數(shù)其中其他的概率密度為設(shè)總體例XXXXxxxfXn求求 的極大似然估計(jì)的極大似然估計(jì). 解：似然函數(shù)為解：似然函數(shù)為niixL1) 1()()() 1(1niinx) 10(ixniixndLd10ln1)(ln求導(dǎo)并令其為求導(dǎo)并令其為0解得解得1ln1niixn對(duì)數(shù)似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為niixnL1ln) 1ln()(ln 的極大似然估計(jì)的極大似然估計(jì) 三、估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)三、估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)無偏性無偏性有效性有效性一致性一致性(也稱為相合性也稱為相合性)(1)無偏性無偏性 )(E則稱則稱 為為 的的無偏估計(jì)無偏估計(jì); ),(1nXX 設(shè)設(shè)是未

40、知參數(shù)是未知參數(shù) 的估計(jì)量，若的估計(jì)量，若 (2) 有效性有效性D( ) D( )2 1 則稱則稱 較較 有效有效 .2 1 都是參數(shù)都是參數(shù) 的無偏估計(jì)量，若有的無偏估計(jì)量，若有),(11nXX ),(122nXX 1 設(shè)設(shè)和和 321232111254131)(31XXXXXX都是 的無偏估計(jì)量1最有效例如 X N( , 2 ) ,樣本是.,321XXX)()(21EE22217225)(31)(DD置信區(qū)間定義置信區(qū)間定義置信區(qū)間的求法置信區(qū)間的求法第二節(jié)第二節(jié) 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間定義置信區(qū)間定義1P 和和 分別稱為分別稱為置信下限置信下限和和置信上限置信上限. 則稱區(qū)間則稱區(qū)間

41、是是 的置信水平的置信水平(置信度置信度)為為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.1( , ) 滿足滿足設(shè)設(shè) 是是 一個(gè)未知參數(shù)，給定一個(gè)未知參數(shù)，給定, 0 X1,X2,Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量若由樣本若由樣本12(,)n XXX 12(,),(n XXX (一一) 一個(gè)正態(tài)總體一個(gè)正態(tài)總體 X N ( 2)的情形的情形置信區(qū)間常用公式置信區(qū)間常用公式(1) 方差方差 2已知已知, 的置信區(qū)間的置信區(qū)間,22znXznX(2) 方差方差 2未知未知 , 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 )1(),1(22ntnSXntnSX(3) 當(dāng)當(dāng) 已知時(shí)已知時(shí), 方差方差 2 的置信區(qū)間的置信區(qū)間)()(,)()(211221222nXnXniinii(4) 當(dāng)當(dāng) 未知時(shí)未知時(shí), 方差方差 2 的置信區(qū)間的置信區(qū)間) 1() 1(,) 1() 1(2122222nSnnSn解解例例 從一批燈泡中隨機(jī)抽取從一批燈泡中隨機(jī)抽取 5 只作壽命試驗(yàn)，測(cè)得只作壽命試驗(yàn)，測(cè)得壽命壽命X(單位單位:小時(shí)小時(shí))如下如下: 1050,1100,1120, 1250,1280,設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布. 求燈泡求燈泡壽命均值壽命均值 的置信度為的置信度為0.95的置信區(qū)間：的置信區(qū)間：1160 ,99