2017屆高考數(shù)學(xué)第二輪綜合限時練習題5

1、專題限時集訓(xùn)(二十三)坐標系與參數(shù)方程不等式選講A組高考題體驗練= acos t,1. (選修4-4)在直角坐標系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為$= 1 + asin t,(t為參數(shù)，a>0) 在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2:尸 4cos 6(1) 說明Ci是哪一種曲線，并將Ci的方程化為極坐標方程；(2) 直線C3的極坐標方程為0= a，其中a滿足tan a = 2，若曲線Ci與C2 的公共點都在C3上，求a.解消去參數(shù)t得到Ci的普通方程為x2 + (y- 1)2= a2,則Ci是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓.3分將x=pcos0,y=pin0代入Ci

2、的普通方程中，得到Ci的極坐標方程為p22 pin 0+ 1 a = 0.5 分(2)曲線Ci, C2的公共點的極坐標滿足方程組I” 22p 2 pin 0+ 1 a = 0，彳6分p= 4cos 0若卩工0,由方程組得16co$0-8sin 0cos 0+ 1 a2= 0，7分由已知 tan 0= 2,可得 16cos 0 8sin 0cos = 0, 8 分, 2從而1 a = 0,解得a = 1(舍去)或a = 1.9分當a= 1時，極點也為Ci, C2的公共點，且在C3上.所以a= 1.10分(選修 4-5)已知函數(shù) f(x)= x+ 1| |2x 3|.畫出y= f(X)的圖象；(2

3、)求不等式|f(X)|>1的解集Vj1X£)1圖 23-1X 4, x< 1,由題意得f(x)= 3x2-1<XW 3,x+ 4,x> I，故y= f(x)的圖象如圖所示.(2)由f(x)的函數(shù)表達式及圖象可知，當f(x) = 1時，可得x = 1或x= 3; 6分1當f(x)= 1時，可得x= 3或x= 5.7分故f(x)> 1的解集為x|1< x< 3，8分f(x)< 1的解集為ix x<3或x>59分所以|f(x)|> 1的解集為x<1或1< x< 3或x> 510分2. (選修4-4)在

4、直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x+ 6)2 + /= 25.(1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程;X= tCOS a,(2)直線I的參數(shù)方程是*(t為參數(shù)),l與C交于A, B兩點，|AB|tsin a=10,求I的斜率.【導(dǎo)學(xué)號：85952087】2解 由x= pcos 0, y= pin B可得圓C的極坐標方程為p + 12 pos 0+ 11=0.2 分X= tCOs a,(2)法一：由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)),消去參數(shù)得y= x tany=tsin aa4分設(shè)直線l的斜率為k,則直線l的方程為kx- y= 0.2 2由圓C的方程(x+ 6) +

5、 y = 25知，圓心坐標為(一6,0),半徑為5.5分l- 6k|又AB| =10 ,由垂徑定理及點到直線的距離公式得 2 =屮+ k何緞，即囂90，8分整理得k2= 3，解得k= ±乎，即I的斜率為±y.10分法二：在(1)中建立的極坐標系中，直線i的極坐標方程為0=ap R).3分設(shè)A, B所對應(yīng)的極徑分別為p, P,將I的極坐標方程代入C的極坐標方2程得 p + 12 pos a+ 11 = 0, 4 分于是 p + p= 12cos a, p p2= 11.5分|AB|= | p p= p(p+ p f 4pp='144cos a 44.7 分23xfl5

6、由 AB| =它 10得 cos a= 8, tan a= ± 3 .9 分所以I的斜率為二學(xué)或一d.io分1 1(選修4-5)已知函數(shù)f(x)= x2 + x+ 2 , M為不等式f(x) V2的解集.(1) 求 M;(2) 證明：當 a, b M 時,|a+ b|v |1+ ab|.一2x， xw -2，1 1解(1)f(x)= 1, 2<xv2，2 分l. 2x, x> .1當 x< 2時，由 f(x)v2 得一2xv2,解得 x> 1; 3分1 1當一2<xv2時，f(x)v2; 4分1當 x>2時，由 f(x)v2 得 2xv 2，解得

7、xv 1.所以 f(x) V2 的解集 M = x| 1vxv 1.5 分(2)證明：由(1)知，當 a，b M 時，一1vav 1， 1vbv 1，6 分從而(a+ b)2 (1 + ab)2= a2+ b2 a2b2 1 = (a21)(1 b2) v 0.9 分因此 |a+ b|v |1 + ab|.10 分X = 3COS a,3. (選修4 4)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)萬程為$= sin a(a為參數(shù)).以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為psin + 乂匸2V2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程；設(shè)點P在C1上，點Q在

8、C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標.XQ解Ci的普通方程為3+y2二1, 2分C2的直角坐標方程為x+ y 4 = 0.4分(2)由題意，可設(shè)點P的直角坐標為(3cos a, sin 0).5 分 因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d( 0的最小值，6分I .：3cos a+ sin a當且僅當 a 2k n+ gke Z)時，d( 0取得最小值，最小值為 2 此時P的直 角坐標為 2,1.10 分(選修 4 5)已知函數(shù) f(x)=|2x a| + a.(1) 當 a = 2時，求不等式f(x)w6的解集；(2) 設(shè)函數(shù)g(x) = |2x 1|,當x R時，f

9、(x) + g(x)>3,求a的取值范圍.解(1)當 a=2 時，f(x)= |2x 2| + 2.1 分解不等式 |2x 2|+ 2< 6 得一K x< 3.因此f(x) < 6的解集為x| K x< 3.4分(2)當 x R 時，f(x) + g(x) = |2x a| + a+11 2x|>|2x a+ 1 2x|+ a= |1 a| + a, 5 分1當x= 2時等號成立，所以當x R時，f(x) + g(x)>3等價于|1 a|+ a>3.7當a< 1時，等價于1 a+ a> 3,無解.8分當a>1時，等價于a 1 +

10、 a>3,解得a>2.所以a的取值范圍是2,+).10分B組模擬題提速練1.(選修4 4)在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建 立極坐標系，并在兩坐標系中取相同的長度單位.已知曲線C的極坐標方程為pX = 1 + tCOS a,=2COS 直線I的參數(shù)方程為，(t為參數(shù)，a為直線的傾斜角).tsin a(1) 寫出直線I的普通方程和曲線C的直角坐標方程；(2) 若直線I與曲線C有唯一的公共點，求角a的大小.【導(dǎo)學(xué)號：85952088】n解當a時，直線I的普通方程為X= 1；當a 2時，直線I的普通方程為y= tan o<x+ 1).3分2由尸 2cos 0,得

11、 p = 2 pcos 0,所以X2 + y2二2x,即為曲線C的直角坐標方程.5分2 2 2(2)把 x= 1 + tcos a, y=tsin a代入 x + y = 2x,整理得 t 4tcos a+ 3 = 0.6由= 16co(a 12= 0,得 cos2 a= 4，所以 cos a或 cos a= g3，8 分故直線I的傾斜角a為6或5610分(選修 4 5)設(shè)函數(shù) f(x)=x 3| |x+ a|,其中 a R.(1) 當a = 2時，解不等式f(x)v 1;(2) 若對于任意實數(shù)x,恒有f(x)<2a成立，求a的取值范圍.解(1)a= 2 時，f(x)v 1 就是 x 3

12、|x+ 2|v 1.1 分當xv 2時，3 x+x + 2v 1,得5v 1,不成立；2分當一2< xv3 時，3 xx 2v 1,得 x>0,所以 0vxv3; 3 分當x>3時，x 3 x 2v 1,即一5v 1,恒成立，所以x>3.4分綜上可知，不等式f(x) V 1的解集是(0,+).5分(2)因為 f(x) = X 3|-|x+ a|< |(x-3)- (x+ a)| = |a+ 3|,所以f(x)的最大值為|a+ 3|.6分對于任意實數(shù)x,恒有f(x)<2a成立，等價于|a + 3|<2a.7分當 a> -3 時，a+ 3<2a

13、,得 a>3; 8 分當aV 3時，a 3w 2a, a1,不成立.9分綜上，所求a的取值范圍是3,+).10分2. (選修4 4)平面直角坐標系xOy中，曲線C: (x 1)2 + y2= 1直線I經(jīng)過n點P(m,0)，且傾斜角為6.以O(shè)為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系.(1) 寫出曲線C的極坐標方程與直線I的參數(shù)方程；(2) 若直線I與曲線C相交于A, B兩點，且|PA| |PB匸1,求實數(shù)m的值.解曲線C的普通方程為(x 1)2 + y2 = 1,即x2 + y2 = 2x,即p = 2 pos 0,即曲線C的極坐標方程為2cos 02分直線I的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).5分

14、(2)設(shè)A, B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1, t2，將直線l的參數(shù)方程代入x2+ y2 =2x 中，得 t2 + ( .3m 3)t+ m2 2m= 0,所以 訊2= m2 2m.8 分由題意得|m2 2m匸1,得m= 1,1+ ,2或1. 2.10分(選修 4 5)已知函數(shù) f(x)= |x+ 6| |mx|(m R).(1) 當m= 3時，求不等式f(x)> 5的解集；(2) 若不等式f(x) < 7對任意實數(shù)x恒成立，求m的取值范圍.解(1)當 m= 3 時，f(x) >5,即 |x+ 6|- x 3|>5, 當xV 6時，得一95,所以x ?； 當一6wxW 3時

15、，得x+ 6+ x 35, 即卩X1,所以1 w xW 3; 當x>3時，得95,成立，所以x>3.4分故不等式f(x)5的解集為x|x1.5分(2)因為 x+ 6|-|m-x|wx+ 6+ m x|= |m+ 6|.由題意得|m+ 6|w 7,則一7w m+ 6W 7, 8分解得13W mW 1,故m的取值范圍是13,1.10分x軸的正半軸為極3. (選修4 4)在直角坐標系xOy中，以原點0為極點,軸建立極坐標系，已知直線l的參數(shù)方程為x=-2 + 歩,(t為參數(shù)),P點的極坐標為(2, n,曲線C的極坐標方程為pcos2缸sin 9.C的焦點坐標;(1)試將曲線C的極坐標方程

16、化為直角坐標方程，并求曲線0, 1 .5 分(2)設(shè)直線I與曲線C相交于兩點A, B,點M為AB的中點，求|PM|的值. 解 把x= pcos 9, y= psin 9代入pos2 A sin 9,可得曲線C的直角坐標方程為x2 = y,它是開口向上的拋物線，焦點坐標為點P的直角坐標為(一2,0)，它在直線I上，在直線I的參數(shù)方程中,設(shè)點A, B, M對應(yīng)的參數(shù)為t1, t2, t0.t1 + t2由題意可知t0 = 2-.7分把直線I的參數(shù)方程代入拋物線的直角坐標方程，得t2 5 2t + 8 = 0.8分因為= (5 . 2)2 4X 8= 18>0,所以 t1 +12 = 5 2，

17、則 |PM|= |t0|=乎.10 分(選修 4 5)設(shè)函數(shù) f(x)= |2x+ 1| x 4|.(1) 解不等式f(x)>0；(2) 若f(x) + 3X4|>m對一切實數(shù)x均成立，求m的取值范圍.解當 x>4 時，f(x) = 2x+ 1 (x 4) = x+ 5>0,得 x> 5,所以 x>4成立.2分1當一qW xv4 時，f(x) = 2x+ 1 + x 4= 3x 3>0,得 x> 1,所以 1 <xv4 成立.4分1當 x< 2時，f(x) = x 5>0,得 x< 5,所以 x< 5 成立.綜上，原

18、不等式的解集為x|x> 1或xv 5.6分(2)f(x) + 3 4|= |2x+ 1|+ 2 4|> |2x+ 1 (2x 8)| = 9.8 分1當一2= x< 4時等號成立，所以mW 9.10分4. (選修4 4)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為丿 (t為參數(shù))，在以0為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線 C2的方程為尸.1 + 3sin2 9(1)求曲線C1, C2的直角坐標方程;2(2)若 A, B分別為曲線C1, C2上的任意點，求AB|的最小值.【導(dǎo)學(xué)號: 85952089】2|2cos 9 2sin 9 3.2|=.5解(1)C1： x 2y 3 2 = 0, C2: : + y2= 1.4分設(shè) B(2cos 9 , sin ® ，貝U |AB|.8分na/2 p 10當且僅當 9= 2k n- 4(k Z)時，AB|min= 5=亠.10 分5(選修 4-5)設(shè)函數(shù) f(x)= X 1|+ |2x- 1|.(1) 求不等式f(x) > 2的解集；(2) 若? x R，不等式f(x)aXI恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)不等式f(x) > 2等價于XV 1XV 1 ,2或21-x+ 1-2x> 21- x+ 2x- 1 > 2x>