第四章 線框、曲面建模

1、第四章 三維幾何建模技術(shù)第一節(jié) 基本概念 一、幾何建模的定義是：以計算機(jī)能夠理解的方式，對幾何實(shí)體進(jìn)行確切的定義，賦予一定的數(shù)學(xué)描述，再以一定的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)形式對所定義的幾何實(shí)體加以描述，從而在計算機(jī)內(nèi)部構(gòu)造一個實(shí)體的模型。 通常把能夠定義、描述、生成幾何實(shí)體，并能交互編輯的系統(tǒng)稱為幾何建模系統(tǒng)。幾何建模技術(shù)的發(fā)展u幾何建模技術(shù)產(chǎn)生于20世紀(jì)60年代。初始階段人們主要采用線框結(jié)構(gòu)構(gòu)造三維形體，被稱之為線框模型(Wireframe Model)它僅包含物體的頂點(diǎn)和棱邊的信息。u到了20世紀(jì)70年代出現(xiàn)了表面模型，它在線框模型的基礎(chǔ)上增加了面的信息，使構(gòu)造的形體能夠進(jìn)行消隱、生成剖面和著色處理。表面模

2、型后來發(fā)展成為曲面模型，能夠用于各種曲面的擬合、表示、求交和顯示，u20世紀(jì)70年代末，實(shí)體造型(Solid Model)技術(shù)逐漸成熟并實(shí)用化。所謂實(shí)體造型是通過簡單體素的幾何變換和并、交、差集合運(yùn)算生成各種復(fù)雜形體的建模技術(shù)。實(shí)體模型能夠包含較完整的形體幾何信息和拓?fù)湫畔⒁殉蔀槟壳癈ADCAM建模的主流技術(shù)。 三、三維建模技術(shù)基礎(chǔ) 1、三維形體的幾何信息和拓?fù)湫畔?幾何信息一般指一個物體在三維歐氏空間中的形狀、位置和大小。包括有關(guān)點(diǎn)、線、面、體的信息。 拓?fù)湫畔⑹侵敢粋€物體的拓?fù)湓兀旤c(diǎn)、邊和表面）的個數(shù)、類型以及它們之間的關(guān)系，根據(jù)這些信息可以確定物體表面的鄰接關(guān)系。 2、形體的定義：體

3、、殼、面、環(huán)、邊、點(diǎn)、體素。 3、正則集合運(yùn)算與普通集合運(yùn)算的關(guān)系： 分別為正則交、正則并和正則差；K是封閉的意思；i是內(nèi)部的意思。*()()()iiiABK BAABK BAABK AB*、 、第二節(jié) 線框建模 一、線框建模的原理 線框建模的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是表結(jié)構(gòu)，計算機(jī)存儲的是該物體的頂點(diǎn)和棱邊信息，將物體的幾何信息和拓?fù)湫畔哟吻宄赜涗浽陧旤c(diǎn)表及邊表中。頂點(diǎn)表描述每個頂點(diǎn)的編號和坐標(biāo)，邊表說明每一棱邊起點(diǎn)和終點(diǎn)的編號。 二、線框建模的特點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)：信息量少，數(shù)據(jù)運(yùn)算簡單，占居的存儲空間比較小，對硬件的要求不高。 缺點(diǎn)：1、對于平面構(gòu)成的實(shí)體能比較清楚地反映物體的真實(shí)形狀；對于曲面體不準(zhǔn)確。 2

4、、線框建模所構(gòu)成的實(shí)體模型只有離散的邊，而沒有邊與邊的關(guān)系，即沒有構(gòu)成面的信息，會對物體形狀的判斷產(chǎn)生多義性。 總之， 線框建模不適合用于對物體需要進(jìn)行完整信息描述的場合。但在評價物體外部形狀、布局、干涉檢驗(yàn)或繪制圖樣等足夠。 第三節(jié) 曲面建模 一、曲面建模的原理 曲面建模也稱表面建模，是通過對實(shí)體的各個表面或曲面進(jìn)行描述而構(gòu)造實(shí)體模型的一種建模方法。 二、曲面建模的特點(diǎn) 1、曲面模型相對于線框模型而言，增加了面的信息，能夠比較完整地定義三維立體的表面，描述的零件范圍廣，如汽車車身、飛機(jī)機(jī)翼等。 2、曲面建?？梢詫ξ矬w作剖切面、面面求交、線面消隱、數(shù)控編程以及提供明暗色彩圖顯示所需要的曲面信息

5、等。 三、曲面建模的方法 曲面建模方法的重點(diǎn)是在給出離散點(diǎn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，構(gòu)建光滑過渡的曲面通過或逼近這些離散點(diǎn)。最廣泛應(yīng)用的是雙參數(shù)曲面.幾種常用的參數(shù)曲線、曲面有：貝賽爾（Bezier）、B樣條、非均勻有理B樣條（NURBS）曲線、曲面等。 1、 Bezier曲線、曲面 （1） Bezier曲線 n次Bezier曲線由n+1個頂點(diǎn)構(gòu)成的特征多邊形確定，形狀趨向仿效多邊形的形狀。 Bezier曲線的表達(dá)式如下：P（u）= 式中 是多邊形頂點(diǎn)的位置矢量； 是伯恩斯坦基函數(shù)。,0( )ni niiBu Q01uiQ,( )i nBu 伯恩斯坦基函數(shù)為 = i=0，1， ，n 式中 = ；u是局部參

6、數(shù)，u 當(dāng)n=3時，代入的三次伯恩斯坦基函數(shù)為 = = = = = = = =,( )i nBu1n iiinC uuinC!nini0,10,3( )Bu30031C uu31 u1,3( )Bu21131C uu231uu2,3( )Bu2231C uu231uu3,3( )Bu03331C uu3u 三次Bezier曲線表示為 = = = P u 3,30iiiBu Q23230123(1)3 (1)3(1)()uuuuuuQQQQ01322313313630(1)33001000QQuuuQQ Bezier曲線的特點(diǎn)： 1、 Bezier曲線的形狀由特征多邊形所確定，均落在特征多邊形的

7、各控制點(diǎn)形成的凸包內(nèi)，即具有凸包性。 2、 Bezier曲線首尾端點(diǎn)分別經(jīng)過特征多邊形首末兩個端點(diǎn)，并且在首尾端點(diǎn)處相切于特征多邊形。 3、 Bezier曲線不具有局部控制能力，修改特征多邊形一個頂點(diǎn)或改變頂點(diǎn)數(shù)量時，將影響整條曲線，對曲線要全部重新計算。 （2）、Bezier曲面 Bezier曲面片的一般定義：設(shè) 為給定的（m+1) (n+1)個空間點(diǎn)列，則 次參數(shù) Bezier曲面為 式中 是伯恩斯坦基函數(shù)； 是控制多邊形頂點(diǎn)的 二維陣列。 逐次用線段連接點(diǎn)列 中相鄰兩點(diǎn)所形成的空間網(wǎng)格，稱為特征網(wǎng)格。當(dāng)m=n=3時，得到雙三次Bezier曲面，這是常用的一種。矩陣如下：,0,1,;0,1

8、,i jQim jnm n ,00,mni mj ni jijP u vBu Bv Q0,1u v ,i mj nBuBv、, i jQ 11mn, i jQ 上式可簡寫成 式中， 為特征頂點(diǎn)網(wǎng)格矩陣； 當(dāng)u或v之一固定時，曲面成為一蔟Bezier曲線。 0,31,32,33,30,3000102031,310111213202122232,3303132333,3( , )()P u vBuBuBuBuBvQQQQBvQQQQQQQQBvQQQQBv,TTBBBBPu vUM B M VBB32321 ;1 ;Uu u uVv v v1331363033001000BM補(bǔ)充： 將一矩陣的列元

9、素和行元素互相對調(diào)，即為其轉(zhuǎn)置矩陣。矩陣的轉(zhuǎn)置是矩陣中的一項基本運(yùn)算，對一個mn的矩陣S, 其轉(zhuǎn)置矩陣T為一個nm的矩陣且S中的元素sij對應(yīng)于T中的元素tji (1im,1jn)。轉(zhuǎn)置矩陣有如下運(yùn)算性質(zhì)：()()()TTTTTTTAAkAkAABB A 2、B樣條曲線、曲面 （1）、B樣條曲線 曲線方程為 式中， 為控制頂點(diǎn)，順序連接這些控制頂點(diǎn)形成的折線稱為B樣條控制多邊形； 稱為次規(guī)范B樣條基函數(shù)，是由一個稱為節(jié)點(diǎn)矢量的非遞減的參數(shù)u的序列 所決定的k次分段多項式。 B樣條具有局部支承性質(zhì)， B樣條基是多項式樣條空間具有最小支承的一組基，稱為基本樣條，即B樣條。 ,nii ki oP u

10、Q Nu0,1,iQ in ,0,1,i kNuin011i kuuu B樣條曲線的特點(diǎn)：vB樣條曲線恒位于它的凸包內(nèi)。vB樣條曲線的首尾端點(diǎn)不通過控制多邊形的首末兩個端點(diǎn)。vB樣條曲線具有局部調(diào)整性。 （2）B樣條曲面 B樣條曲面可以看作成是沿兩個不同方向(u,v)的B樣條曲線的交織，則： 設(shè)給定 個空間網(wǎng)格點(diǎn) ， 稱 次參數(shù)曲面為 次B樣條曲面片。,00,( )( )mni mj ni jijP u vBu Bv Q0,1u v11mn0001mnQQQ、 、m nm n 當(dāng) 時，為雙三次B樣條曲面片，相鄰曲面片之間保持連續(xù)，但曲面片不通過特征網(wǎng)絡(luò)的任一頂點(diǎn)。矩陣表示為： 式中，3mn,T

11、Ti jPu vUMBM V32321 ;1Uu u uVv v v00010203101112132021222330313233133136301;303061410QQQQQQQQMBQQQQQQQQ 3、NURBS曲線、曲面 非均勻有理B樣條NURBS（Non Uniform Rational B-Spline)。 （1） NURBS曲線 給定n+1個控制點(diǎn) 及權(quán)因子則k階（k-1）次NURBS曲線表達(dá)式為： 式中， 是B樣條基函數(shù)。0,1,iQin0,1,iW in ,0,0niii kinii kiWQ NuC uW Nu , i kNu （2） NURBS曲面 NURBS曲面定義

12、：給定一張 的網(wǎng)絡(luò)控制點(diǎn) ，以及網(wǎng)絡(luò)控制點(diǎn)的權(quán)值 ，則NURBS曲面表達(dá)式為： 式中， 是NURBS曲面u參數(shù)方向的B樣條基函數(shù)； 是NURBS曲面v參數(shù)方向的B樣條基函數(shù)；k、l是B樣條基函數(shù)的階次。11mn,0,1, ;0,1,i jQin jm,0,1, ;0,1,i jWin jm ,00,00,nmi kj lijijijnmi kj lijijNu Nv Q WS u vNu Nv W , i kNu , j lNv NURBS曲線、曲面的特點(diǎn)： 1、具有 B樣條曲線、曲面的所有優(yōu)點(diǎn)。 2、控制點(diǎn)經(jīng)過透視變換后所生成的曲線或曲面與原先生成的曲線或曲面的再變換是等價的。 3、不僅可以

13、表示自由曲線和曲面，還可以精確地表示解析曲線和曲面，并能實(shí)現(xiàn)兩者的統(tǒng)一。 4、能給出更多的控制形狀的自由度以生成各種形狀的曲線與曲面。 四、常用曲面構(gòu)造方法 下面以NURBS曲線為例進(jìn)行介紹。 1、線性拉伸面：是將一條剖面線沿某一方向滑動所掃成的曲面。 2、直紋面：給定兩條相似的曲線，它們具有相同的次數(shù)和相同的節(jié)點(diǎn)矢量，將兩條曲線上對應(yīng)點(diǎn)用直線相連，便構(gòu)成了直紋面。 3、旋轉(zhuǎn)面：將平面內(nèi)定義的曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)360即得到旋轉(zhuǎn)面。 4、掃描面：將一條剖面線沿另一條基準(zhǔn)線滑動。第四節(jié) 實(shí)體建模 一、實(shí)體建模原理 實(shí)體建模是利用一些基本體素，如長方體、圓柱體、球體、錐體、圓環(huán)體以及掃描體等通過集合運(yùn)

14、算（布爾運(yùn)算）或基本變形操作生成復(fù)雜形體的一種建模技術(shù)。 特點(diǎn)：是在于覆蓋三維立體的表面與其實(shí)體同時生成?？梢酝暾亍⑶宄貙ξ矬w進(jìn)行描述，能實(shí)現(xiàn)對可見邊的判斷，具有消隱功能。 二、實(shí)體生成的方法 1、體素法：通過基本體素的集合運(yùn)算構(gòu)造幾何實(shí)體的建模方法。該法包含兩部分內(nèi)容：（1）基本體素的定義與描述：通過少量參數(shù)進(jìn)行描述；還需定義基本體素在空間的位置和方向（2）體素之間的集合運(yùn)算：布爾運(yùn)算。兩個或兩個以上體素經(jīng)過幾何運(yùn)算得到實(shí)體的表示稱為布爾模型，所以這種運(yùn)算亦稱為布爾運(yùn)算。A、B兩個實(shí)體經(jīng)過布爾運(yùn)算生成C實(shí)體，則布爾運(yùn)算可表示為C=AB，符號是布爾算子，它可以是“并、交、差”等2、掃描法：

15、利用基體的變形操作實(shí)現(xiàn)實(shí)體的建模。該法可分為平面輪廓掃描和整體掃描。 三、三維實(shí)體建模中的計算機(jī)內(nèi)部表示 常見的方法：邊界表示法、構(gòu)造立體幾何法、混合表示法、空間單元表示法等。 1、邊界表示法(Boundary Representation) 簡稱B-Rep法，即一個實(shí)體可以通過包容它的面來表示，而每一個面又可以用構(gòu)成此面的邊描述，邊通過點(diǎn)，點(diǎn)通過三個坐標(biāo)值來定義。 該法的核心是面。對幾何體的整體描述較差，且無法提供關(guān)于實(shí)體生成過程的信息。 2、構(gòu)造立體幾何法(Constructive Solid Geometry) 簡稱CSG法，即通過描述基體體素和它們的集合運(yùn)算構(gòu)造實(shí)體的方法。 CSG法表

16、示實(shí)體可用二叉樹的形式表達(dá)，即CSG樹：葉節(jié)點(diǎn)表示預(yù)先定義的一些基本體素，分枝節(jié)點(diǎn)表示布爾運(yùn)算的結(jié)果，根節(jié)點(diǎn)則是要表示的實(shí)體。是一個過程模型，只定義所表示實(shí)體的結(jié)構(gòu)方式，不反映實(shí)體的面、邊、頂點(diǎn)等有關(guān)邊界信息。 該法的優(yōu)點(diǎn)：形體結(jié)構(gòu)清楚，表達(dá)形式直觀，便于用戶接受，數(shù)據(jù)記錄簡練。缺點(diǎn)：數(shù)據(jù)記錄過于簡單，在對實(shí)體進(jìn)行顯示和操作時，需實(shí)時進(jìn)行大量重復(fù)求交計算，效率低，不便表達(dá)具有自由曲面邊界的實(shí)體。 3、混合模式（Hybrid Model) 該法是建立在以上兩種方法的基礎(chǔ)之上的。 B-Rep法側(cè)重面、邊界的描述，在圖形處理上具有明顯的優(yōu)勢，尤其是探討物體詳細(xì)幾何信息時， B-Rep法的數(shù)據(jù)模型可以

17、較快生成線框模型或面模型； CSG法則強(qiáng)調(diào)過程，在整體形狀定義方面精確、嚴(yán)格，但不具備構(gòu)成實(shí)體的各個面邊點(diǎn)的拓?fù)潢P(guān)系，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)簡單。 混合模式中， CSG法作為系統(tǒng)外部模型， B-Rep法作為系統(tǒng)內(nèi)部模型。 四、特征建模(Feature Modeling) 該技術(shù)的研究是建立參數(shù)模型的一個重要途徑。 1特征的定義：兼有形狀和功能兩種屬性。 形狀特征是零件上一組相互關(guān)聯(lián)的幾何實(shí)體所構(gòu)成的特定形狀，具有特定的設(shè)計或制造意義。 （1）特征定義 的實(shí)現(xiàn)有以下兩種方式： a、提供一套預(yù)先定義好的形狀特征，稱為基于特征的設(shè)計。 b、先進(jìn)行幾何設(shè)計，再從幾何模型中識別或抽取形狀特征，稱為特征識別。 （2）特

18、征識別的局限性： a、產(chǎn)品復(fù)雜時非常困難。 b、形狀與特征間的關(guān)系無法表達(dá)。特征的分類：形狀特征：體特征：凸臺、圓柱體、矩形體 過渡特征：倒角、圓角、鍵槽、螺紋 分布特征：周向均布孔、齒輪的輪廓精度特征：用于描述零件上公稱的幾何形狀允許的變化量，包括尺寸公差、形位公差和表面粗糙度等信息； 材料特征 用于描述和零件材料及熱處理要求相關(guān)的信息，如零件的材料型號、性能、熱處理要求和方式、表面處理方式和條件、硬度、檢驗(yàn)方式等；技術(shù)特征 用于描述零件的有關(guān)性能和技術(shù)要求；裝配特征 用于描述零件在裝配過程中要使用的信息和裝配時的技術(shù)要求，如零件的配合關(guān)系、裝配順序和方式、裝配要求等：管理特征 用于描述零件的管理信息，如零件名、圖號、批量、設(shè)汁者 其中