微積分課件：D7_5降階

1、),(yxfy 可降階高階微分方程 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第五節(jié)一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 )()(xfyn),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程 第七章第七章 一、一、)()(xfyn令令,) 1( nyz)(ddnyxz則因此因此1d)(Cxxfz即即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通過依次通過 n 次積分次積分, 可得含可得含 n 個任意常數(shù)的通解個任意常數(shù)的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

2、例例1.cos2xeyx 求解解解: 12cosCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此處xsin21xC32CxCxcos21CxC機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè)設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為一階方程原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為設(shè)其通解為),(1Cxp則得則得),(1Cxy再一次積分再一次積分, 得原方程的通解得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求解求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 設(shè),py 則

3、代入方程得代入方程得pxpx2)1(2分離變量分離變量)1(d2d2xxxpp積分得積分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用利用, 31C得于是有于是有)1(32xy兩端再積分得兩端再積分得233Cxxy利用利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解為因此所求特解為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 繩索僅受繩索僅受重力作用而下垂重力作用而下垂,解解: 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖. 考察最低點考察最低點 A 到到sg( : 密度密度, s :弧長弧長)弧段重力大小弧段重力大小按靜力平衡條件按靜力平衡條件, 有有,cosHTsa1tanMsgoy

4、x)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有故有211yay 設(shè)有一均勻設(shè)有一均勻, 柔軟的繩索柔軟的繩索, 兩端固定兩端固定, 問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線 ? 任意點任意點M ( x, y ) 弧段的受力情況弧段的受力情況: T A 點受水平張力點受水平張力 HM 點受切向張力點受切向張力T兩式相除得兩式相除得HA機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 MsgoyxHA211yya , aOA 設(shè)則得定解問題則得定解問題: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 則原方程化為原方程化為pdxad1兩端積分得兩端積分得)1(lnshAr2pp

5、p,shAr1Cpax0 0 xy由, 01C得則有則有axysh兩端積分得兩端積分得,ch2Cayax, 0ayx由02C得故所求繩索的形狀為故所求繩索的形狀為axaych)(2axaxeea懸懸 鏈鏈 線線a21p機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令令),(ypy xpydd 則xyypddddyppdd故方程化為故方程化為),(ddpyfypp設(shè)其通解為設(shè)其通解為),(1Cyp即得即得),(1Cyy分離變量后積分分離變量后積分, 得原方程的通解得原方程的通解21),(dCxCyy機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求解求解 .

6、02 yyy代入方程得代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即兩端積分得兩端積分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一階線性齊次方程一階線性齊次方程)故所求通解為故所求通解為xCeCy12解解:),(ypy 設(shè)xpydd 則xyypddddyppdd機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5解解: 設(shè)曲線設(shè)曲線 y = y (x) 的曲率為的曲率為K ，令令 R = 1/K ,不妨設(shè)不妨設(shè).0 y,)1 (2/32yyR 于是則令,)(yypydppdpR2/32)1 (cypR2/12)1 (由此積出)/()(22CyCyRpy從而dxCyRCydCy22)()()(或)(

7、)(122CxCyR由此積出于是得于是得2221)()(RCyCx可見所求曲線是半徑為可見所求曲線是半徑為1/K的圓。的圓。求具有常曲率求具有常曲率K (0)的平面曲線。的平面曲線。 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 解初值問題解初值問題解解: 令令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 則代入方程得代入方程得yeppydd2積分得積分得1221221Cepy利用初始條件利用初始條件, 0100 xyyp, 01C得根據(jù)根據(jù)yepxydd積分得積分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解為故所求特解為xey1得得機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

8、為曲邊的曲邊梯形面積為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與上述兩直線與 x 軸圍成的三角形面軸圍成的三角形面例例7.)0()(xxy設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)二階可導(dǎo), 且且, 0)( xy)(xyy 過曲線上任一點上任一點 P(x, y) 作該曲線的作該曲線的切線及切線及 x 軸的垂線軸的垂線,1S區(qū)間區(qū)間 0, x 上以上以,2S記為)(xy, 1221 SS且)(xyy 求解解:, 0)(, 1)0(xyy因為. 0)(xy所以于是于是cot2121yS yy222S)(xyy 設(shè)曲線在點在點 P(x, y) 處的切線傾角為處的切線傾角為 ,滿足的方程滿足的方程 ., 1)0(y積記為積記為( 99 考研

9、考研 )ttySxd)(02Pxy1S1oyx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 再利用再利用 y (0) = 1 得得利用利用,1221 SS得得xttyyy021d)(兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得2)( yyy 定解條件為定解條件為)0(, 1)0(yy),(ypy 令方程化為方程化為,ddyppy 則yyppdd,1yCp 解得利用定解條件得利用定解條件得,11C, yy 再解得,2xeCy , 12C故所求曲線方程為故所求曲線方程為xey 2ddpyppy12SPxy1S1oyx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降

10、階法)(. 1)(xfyn逐次積分逐次積分),(. 2yxfy 令令, )(xpy xpydd 則),(. 3yyfy 令令, )(ypy yppydd 則機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 方程方程)(yfy 如何代換求解如何代換求解 ?答答: 令令)(xpy 或或)(ypy 一般說一般說, 用前者方便些用前者方便些. 均可均可. 有時用后者方便有時用后者方便 .例如例如,2)(yey 2. 解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題 ?答答: (1) 一般情況一般情況 , 邊解邊定常數(shù)計算簡便邊解邊定常數(shù)計算簡便.(2)

11、遇到開平方時遇到開平方時, 要根據(jù)題意確定正負(fù)號要根據(jù)題意確定正負(fù)號.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題設(shè)物體設(shè)物體 A 從點從點( 0, 1 )出發(fā)出發(fā), 以大小為常數(shù)以大小為常數(shù) v 的速度沿的速度沿 y 軸正向運(yùn)動軸正向運(yùn)動, 物體物體 B 從從 (1, 0 ) 出發(fā)出發(fā), 速度速度大小為大小為 2v, 方向指向方向指向A , 試建立物體試建立物體 B 的運(yùn)動軌跡應(yīng)滿的運(yùn)動軌跡應(yīng)滿足的微分方程及初始條件足的微分方程及初始條件. 提示提示: 設(shè)設(shè) t 時刻時刻 B 位于位于 ( x, y ), 如圖所示如圖所示, 則有則有 yytv 1xxysxd112xysxd112oyx)0 , 1(