材料力學(xué)----軸向拉伸與壓縮

1、1第第 二二 章章軸向拉伸與壓縮軸向拉伸與壓縮2第二章第二章 軸向拉伸與壓縮軸向拉伸與壓縮32-1 2-1 軸向拉伸與壓縮的概念軸向拉伸與壓縮的概念一、實例一、實例456變形特點變形特點: : 桿件沿軸向伸長或縮短（伴隨橫向縮擴）。桿件沿軸向伸長或縮短（伴隨橫向縮擴）。軸向拉伸軸向拉伸(axial tension) ：軸向伸長，橫向縮短。軸向伸長，橫向縮短。受力特點受力特點: : 外力的合力作用線與桿的軸線重合。外力的合力作用線與桿的軸線重合。FF拉伸拉伸FF壓縮壓縮二、軸向拉伸與壓縮桿的受力及變形特點：二、軸向拉伸與壓縮桿的受力及變形特點：軸向壓縮軸向壓縮(axial compress)：軸

2、向縮短，橫向變粗。軸向縮短，橫向變粗。7一、一、 橫截面上的內(nèi)力橫截面上的內(nèi)力可見，構(gòu)件的強度與內(nèi)力是密切可見，構(gòu)件的強度與內(nèi)力是密切相關(guān)的。相關(guān)的。 如圖兩相同桿件，受力不如圖兩相同桿件，受力不同，問隨著同，問隨著 F 的逐漸增大，哪的逐漸增大，哪一桿先破壞？一桿先破壞？2-2 軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力FF2F2F下面用下面用截面法截面法求軸向拉壓桿的內(nèi)力求軸向拉壓桿的內(nèi)力問問：8可見，拉、壓桿的內(nèi)力為沿桿件軸線的力，故稱為軸可見，拉、壓桿的內(nèi)力為沿桿件軸線的力，故稱為軸力力( (axial force) )，記為記為FN 。聯(lián)系變形規(guī)定聯(lián)系變形規(guī)定內(nèi)力符號內(nèi)力符號：拉為

3、正，壓為負。拉為正，壓為負。 FFmmFmmFmmFNx 0 xF0N FFFF N2.2.軸力圖：軸力圖：表示桿件軸力與桿件截面位置關(guān)系的圖線。表示桿件軸力與桿件截面位置關(guān)系的圖線。1.1.用用截面法截面法求桿的內(nèi)力求桿的內(nèi)力取左側(cè)為研究對象取左側(cè)為研究對象同樣可取右側(cè)為研究對象同樣可取右側(cè)為研究對象可一目了然看清內(nèi)力隨著桿截面位置變化而變化的情況可一目了然看清內(nèi)力隨著桿截面位置變化而變化的情況 NF9已知已知F1=10kN，F(xiàn)2=20kN， F3=35kN，F(xiàn)4=25kN。試畫。試畫 出圖示桿件的軸力圖。出圖示桿件的軸力圖。1101N1 FF 例例2-1-12-1-1FN1F1解：解：1.

4、1.計算各段的軸力計算各段的軸力F1F3F2F4ABCDAB段段kN1021N2FFFBC段段2233FN3F4FN2F1F2012N2FFFkN254N3 FFCD段段2.2.繪制軸力圖。繪制軸力圖。kN101N1 FF04N3FFx+FN10kN10kN25kN101 1 反映出軸力與截面位置變化關(guān)系，較直觀；反映出軸力與截面位置變化關(guān)系，較直觀；2 2 確定出最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的確定出最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的位置，可確定危險截面位置，為強度計算位置，可確定危險截面位置，為強度計算提供依據(jù)。提供依據(jù)。意義意義: :軸力圖的特點：軸力圖的特點：突變值突變值 = = 集中載荷值

5、集中載荷值 軸力圖要求：軸力圖要求：1.1.位置（對應(yīng)關(guān)系）位置（對應(yīng)關(guān)系） 2.2.分段明確分段明確3.3.正負號標注清楚正負號標注清楚4.4.數(shù)值大小和單位數(shù)值大小和單位5.5.封閉的實線圖封閉的實線圖F1F3F2F4ABCDx+FN10kN10kN25kN11 例例2-1-2 2-1-2 桿受力如圖所示，試畫出桿的軸力圖。桿受力如圖所示，試畫出桿的軸力圖。 已知已知F1 =20kN，F(xiàn)2 =30kN， F3 =30kN。CD段：段：DE 段：段：20kNN1F FAB段：段：40kNAN4 RF軸力的大小與桿截面的大小無關(guān)，與材料無關(guān)。軸力的大小與桿截面的大小無關(guān)，與材料無關(guān)。解：解：4

6、0kN20kN10kN+FNBC段：段：10kN2030N3FARADEBCF3 F1F2 10kN2030N2FRA=40kN求約束反力求約束反力11223344F1FN1FN2F1F212 例例2-1-3 2-1-3 直桿受力如圖所示，試畫出桿的軸力圖。直桿受力如圖所示，試畫出桿的軸力圖。2FF2F5FABCED2F3FF+FN132FF2F5FABCED2F3FF+FN參考正向參考正向用簡捷畫法用簡捷畫法+14二、橫截面上的應(yīng)力二、橫截面上的應(yīng)力 可見，構(gòu)件的強度不僅與內(nèi)力有關(guān)，可見，構(gòu)件的強度不僅與內(nèi)力有關(guān)，而且與橫截面面積有關(guān)，即與橫截面上而且與橫截面面積有關(guān)，即與橫截面上的應(yīng)力有關(guān)

7、。的應(yīng)力有關(guān)。 如圖兩桿件，除橫截面尺寸如圖兩桿件，除橫截面尺寸不同外，其它均相同，問隨著不同外，其它均相同，問隨著 F 的逐漸增大，哪一桿先破壞？的逐漸增大，哪一桿先破壞？問問：FFFF下面求軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力下面求軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力15變形前變形前1.1.實驗觀察變形：實驗觀察變形：2.2.平面假設(shè)平面假設(shè)(plane assumption)(plane assumption)：變形前變形前原為平面的原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，且垂直于軸線。橫截面，變形后仍保持為平面，且垂直于軸線。abcd變形后變形后FF d ac b163.3.橫截面上的應(yīng)力分布：橫截面上的應(yīng)力分

8、布： 如設(shè)想桿由無數(shù)根縱向纖維組成，則由上平面假設(shè)如設(shè)想桿由無數(shù)根縱向纖維組成，則由上平面假設(shè)可知，每根纖維所受力相等，即可知，每根纖維所受力相等，即橫截面上的應(yīng)力是均橫截面上的應(yīng)力是均勻分布的。勻分布的。FNF4.4.橫截面上應(yīng)力公式橫截面上應(yīng)力公式AAFdNAFNAAFdNxFNdA17正應(yīng)力符號規(guī)定正應(yīng)力符號規(guī)定: :單位單位: :FN 牛頓牛頓(N)A 平方米平方米(m2) 帕斯卡帕斯卡(pa)當(dāng)當(dāng)FN為拉力時，為拉力時， 為拉應(yīng)力，規(guī)定為正，為拉應(yīng)力，規(guī)定為正，當(dāng)當(dāng)FN為壓力時，為壓力時， 為壓應(yīng)力，規(guī)定為負。為壓應(yīng)力，規(guī)定為負。 AFN 1MPa = 106Pa 1GPa = 10

9、9Pa 184.4.公式的應(yīng)用條件公式的應(yīng)用條件圣文南原理：圣文南原理：離開載荷作用處一定范圍，應(yīng)力分布與大小離開載荷作用處一定范圍，應(yīng)力分布與大小不受外載荷作用方式的影響。不受外載荷作用方式的影響。19例題例題2-2-1 圖示結(jié)構(gòu)，試求桿件圖示結(jié)構(gòu)，試求桿件AB、CB的應(yīng)力。已的應(yīng)力。已知知 F=20kN；斜桿；斜桿AB為直徑為直徑20mm的圓截的圓截面桿，水平桿面桿，水平桿CB為為15151515的方截面桿。的方截面桿。:0yFkN3 .28N1F解：解：1 1、計算各桿件的軸力。、計算各桿件的軸力。（設(shè)斜桿為（設(shè)斜桿為1 1桿，水平桿為桿，水平桿為2 2桿）桿） 取節(jié)點取節(jié)點B B為研究

10、對象：為研究對象：kN20N2F:0 xFFABC45450cos45N2N1 FF0sin45N1 FF1 12 2BF FN1FN2Fxy45解得解得202 2、計算各桿件的應(yīng)力。、計算各桿件的應(yīng)力。90MPaPa1090 102041028.366231N11AF89MPaPa1089 1015102066232N22AFkN3 .28N1FkN20N2FFABC45451 12 2BF FN1FN2Fxy4521三、斜截面上的內(nèi)力和應(yīng)力三、斜截面上的內(nèi)力和應(yīng)力FFNcoscosAFAFAFpNN cosAA (a)FF同樣可說明桿斜截面上的應(yīng)力也是均勻分布的。同樣可說明桿斜截面上的應(yīng)力

11、也是均勻分布的。(b)FFNp可將可將 分解為分解為 和和 兩個分量兩個分量。p22正應(yīng)力正應(yīng)力：拉為正，壓為負。拉為正，壓為負。剪應(yīng)力剪應(yīng)力：繞脫離體內(nèi)任意點：繞脫離體內(nèi)任意點順時針順時針轉(zhuǎn)向時為正。轉(zhuǎn)向時為正。的符號：由的符號：由 x 軸軸逆時針逆時針轉(zhuǎn)到外法線轉(zhuǎn)到外法線 n 時為正。時為正。符號規(guī)定：符號規(guī)定：:0 245 2max45 :45 max000 2coscos p 2sin2sin p090 090 :90 (c)F23 可見，構(gòu)件的強度不僅與橫截面上可見，構(gòu)件的強度不僅與橫截面上的應(yīng)力有關(guān)，而且與構(gòu)件的材料力學(xué)的應(yīng)力有關(guān)，而且與構(gòu)件的材料力學(xué)性質(zhì)有關(guān)。性質(zhì)有關(guān)。 如圖兩桿

12、件，除材料不同外，如圖兩桿件，除材料不同外，其它均相同，問隨著其它均相同，問隨著 F 的逐漸的逐漸增大，哪一桿先破壞？增大，哪一桿先破壞？問問：2-3 2-3 材料在拉伸時的力學(xué)性質(zhì)材料在拉伸時的力學(xué)性質(zhì)力學(xué)性質(zhì)：力學(xué)性質(zhì)：在外力作用下材料在變形和破壞方面所在外力作用下材料在變形和破壞方面所表現(xiàn)出的特性。表現(xiàn)出的特性。FFFF木木鋼鋼24一、拉伸試驗試件和條件一、拉伸試驗試件和條件試驗條件：試驗條件：常溫、靜載常溫、靜載標準試件：標準試件： 橫截面直徑橫截面直徑d標距標距l(xiāng)下面材料在軸向拉、壓時力學(xué)性質(zhì)的測試方法下面材料在軸向拉、壓時力學(xué)性質(zhì)的測試方法2526二、二、 低碳鋼拉伸時的力學(xué)性低碳

13、鋼拉伸時的力學(xué)性能能拉伸圖拉伸圖應(yīng)力應(yīng)變曲線圖應(yīng)力應(yīng)變曲線圖27拉拉伸伸圖圖281 1、彈性階段彈性階段ob 斜直線斜直線oa: :oabcefPesb E E 彈性模量彈性模量 tg E2 2、屈服階段屈服階段bc3 3、強化階段強化階段ce：4 4、局部頸縮階段局部頸縮階段ef 出現(xiàn)出現(xiàn)45450 0條紋：滑移線條紋：滑移線 主要為塑性變形。主要為塑性變形。 應(yīng)力不增加，應(yīng)變不應(yīng)力不增加，應(yīng)變不斷增加。斷增加。 彈性極限彈性極限e屈服極限屈服極限s強度極限強度極限b比例極限比例極限p 彈性變形：彈性變形：ddg冷作硬化現(xiàn)象冷作硬化現(xiàn)象胡克定律胡克定律29兩個塑性指標兩個塑性指標: :%10

14、0001lll伸長率伸長率: :截面收縮率截面收縮率: :%100010AAA%5為塑性材料為塑性材料, ,%5為脆性材料為脆性材料030o1.1.沒有明顯的直線階段，應(yīng)力應(yīng)變曲線為微彎的曲線。沒有明顯的直線階段，應(yīng)力應(yīng)變曲線為微彎的曲線。三、鑄鐵拉伸時的力學(xué)性能三、鑄鐵拉伸時的力學(xué)性能2.2.沒有明顯的塑性變形，變形很小，為典型的脆性材沒有明顯的塑性變形，變形很小，為典型的脆性材料。料。 3.3.沒有屈服和頸縮現(xiàn)象，試件突然拉斷。沒有屈服和頸縮現(xiàn)象，試件突然拉斷。 b 強度極限強度極限 : : 拉斷時的最大應(yīng)力。拉斷時的最大應(yīng)力。b312-52-5一、壓縮試驗試件和條件一、壓縮試驗試件和條件

15、試驗條件：試驗條件：常溫、靜載常溫、靜載標準試件：標準試件：橫截面直徑橫截面直徑d柱高柱高h2-4 2-4 材料在壓縮時的力學(xué)性能材料在壓縮時的力學(xué)性能32二、低碳鋼壓縮時的力學(xué)性能二、低碳鋼壓縮時的力學(xué)性能33 s O比例極限比例極限 、屈服極限、屈服極限 、彈性模量、彈性模量E E 與拉伸時相同與拉伸時相同強度極限強度極限 測不出。測不出。sbp34三、鑄鐵壓縮時的力學(xué)性能三、鑄鐵壓縮時的力學(xué)性能鑄鐵的抗壓強度比它的抗拉強度高鑄鐵的抗壓強度比它的抗拉強度高4-54-5倍。倍。45450 0斜截面破壞。斜截面破壞。 1 28 1 02 4 67 0 06 0 05 0 04 0 03 0 0

16、2 0 01 0 003536討論題討論題強度高的曲線為強度高的曲線為剛度大的曲線為剛度大的曲線為塑性好的曲線為塑性好的曲線為1 12 23 31 12 23 3 37極限應(yīng)力極限應(yīng)力: :構(gòu)件失效時的應(yīng)力。構(gòu)件失效時的應(yīng)力。一、許用應(yīng)力一、許用應(yīng)力失效失效：構(gòu)件在外力作用下不能正常、安全地工作。：構(gòu)件在外力作用下不能正常、安全地工作。塑性材料：塑性材料：脆性材料：脆性材料：s b 許用應(yīng)力許用應(yīng)力 ssn bbn 極限應(yīng)力極限應(yīng)力:bsnn 、安全因數(shù)。安全因數(shù)。2-5 2-5 軸向拉伸或壓縮時的強度計算軸向拉伸或壓縮時的強度計算 如如屈服屈服和和斷裂斷裂都是破壞現(xiàn)象都是破壞現(xiàn)象382 2

17、設(shè)計截面：設(shè)計截面：1 1 強度校核：強度校核：3 3 確定許可載荷：確定許可載荷： 解決三類問題：解決三類問題：二、強度條件二、強度條件 max等直桿：等直桿： AFNmaxmax NmaxFA AF Nmax安全經(jīng)濟的原則：安全經(jīng)濟的原則：maxmax不超過不超過的的5%5%。 AFNmaxmax39 例例2-5-12-5-1 剛性梁剛性梁ABC由圓桿由圓桿CD懸掛在懸掛在C點，點，B端作用端作用集中載荷集中載荷F=30kN，已知，已知CD桿的直徑桿的直徑d為為30mm，許用應(yīng)，許用應(yīng)力力=160MPa。試校核。試校核CD桿的強度。桿的強度。 FABCXA YA FNCD 2aaFABCD

18、d解：解：取剛性梁為研究對象，取剛性梁為研究對象，受力如圖示。受力如圖示。032:0aFaFMNCDAkN45302323NCDFFMPa69.63030143104544232NCDNCDmax.d FAFMPa160MPa69.63max桿的強度符合條件。CD40 例例2-5-2 2-5-2 在在例例2-5-12-5-1的基礎(chǔ)上，其他條件不變，試根的基礎(chǔ)上，其他條件不變，試根據(jù)強度條件重新設(shè)計據(jù)強度條件重新設(shè)計CD桿的截面尺寸（直徑桿的截面尺寸（直徑d）。）。 2aaFABCDdFABCXA YA FNCD 解：解：由由例例2-5-52-5-5知：知：kN45NCDF根據(jù)強度條件：根據(jù)強度

19、條件：NCDmaxAF42NCDd F即即18.93mmm1093.181016014. 3104544363NCDFd取取 d=19mm41 例例2-5-32-5-3 已知一圓桿受拉力已知一圓桿受拉力F =25kN，直徑，直徑 d =14mm，許用應(yīng)力，許用應(yīng)力=160MPa，試校核此桿，試校核此桿是否滿足強度要求。是否滿足強度要求。解：解：1 1 軸力：軸力：FN = F =25KNMPa1620140143102544232Nmax.d FAF2 2 應(yīng)力：應(yīng)力：3 3 強度校核：強度校核：4 4 結(jié)論：此桿滿足強度要求，能夠正常工作。結(jié)論：此桿滿足強度要求，能夠正常工作。 max %5

20、%5 . 1160160162 max但42 例例2-5-42-5-4 如圖為簡易吊車，如圖為簡易吊車，AB和和BC均為圓形均為圓形鋼桿，已知鋼桿，已知d1=36mm,d2=25mm, , 鋼的許用應(yīng)力鋼的許用應(yīng)力=100MPa。試確定吊車的最大許可起重量。試確定吊車的最大許可起重量。 解：解：1 1 計算桿計算桿AB、BC的軸力的軸力 :0 xF 030cos0N1N2FF :0yF 060cos0N1QFQF2N1QFF323N1N2 2 2 求許可載荷求許可載荷 NmaxAF1NF2NF43 當(dāng)當(dāng)AB桿達到許用應(yīng)力時桿達到許用應(yīng)力時 4211NmaxdAFkN9 .5082121Nmax

21、maxdFQ當(dāng)當(dāng)BC桿達到許用應(yīng)力時桿達到許用應(yīng)力時 4222NmaxdAFkN3 .283410100102534366222N2maxmaxdFQ因此該吊車的最大許可載荷只能為因此該吊車的最大許可載荷只能為Q=28.3kN。 44 例例2-5-52-5-5D=350mm，p=1MPa。螺栓。螺栓 =40MPa，求直徑求直徑d。pDF24 每個螺栓承受的軸力為總壓力的每個螺栓承受的軸力為總壓力的1/61/6解：解： 油缸蓋受到的力油缸蓋受到的力根據(jù)強度條件根據(jù)強度條件 AFNmax 22.6mm104061035. 066622 pDd即螺栓的軸力為即螺栓的軸力為pDFFN2246 NFA得

22、得 24422pDd即即螺栓的直徑螺栓的直徑Dp45lll1ll E ，AFN又又EAlFlN縱向絕對變形量縱向絕對變形量: :縱向線應(yīng)變縱向線應(yīng)變: : 虎克定律虎克定律: : FN , l 一定時，一定時，EA值值愈大，變形愈小，因此，愈大，變形愈小，因此，EA值反映了桿件抵抗值反映了桿件抵抗拉伸拉伸( (或壓縮或壓縮) )變形的能變形的能力，稱之為桿件的力，稱之為桿件的抗拉抗拉剛度剛度。2 26 6 拉伸或壓縮時的變形拉伸或壓縮時的變形一、縱向變形和線應(yīng)變一、縱向變形和線應(yīng)變故故注意其注意其適用條件：適用條件： 46橫向絕對變形為：橫向絕對變形為： aaa1bbb1由試驗可知：由試驗可知

23、：bbaa 即即為材料的橫向變形系數(shù)或為材料的橫向變形系數(shù)或泊松比泊松比 應(yīng)力不超過比例極限時：應(yīng)力不超過比例極限時：二、橫向變形和線應(yīng)變二、橫向變形和線應(yīng)變 二橫向線應(yīng)變相等，二橫向線應(yīng)變相等，47 例例2-6-12-6-1 一階梯軸鋼桿如圖，一階梯軸鋼桿如圖，AB段段A1200mm2，BC和和CD段截面積相同段截面積相同A2A3500mm2；l1= l2= l3=100mm。荷載荷載F120kN，F(xiàn)240kN，彈性模量，彈性模量E200GPa。試求。試求：( (1)1)各段的軸向變形；各段的軸向變形；(2)(2)全桿全桿AD的總變形；的總變形；(3)(3)A和和B截面的位移。截面的位移。解

24、解：( (1)1)求各段軸力，作軸力圖求各段軸力，作軸力圖(2)(2)求各段變形求各段變形mm05. 01020010200100102069311N11EAlFlmm02. 0 1050010200100102069322N22EAlFlBC段段AB段段+ +- -20kN20kNF1F2ADCB33221148(3)求全桿總變形求全桿總變形mm05. 002. 002. 005. 0321llll（縮短）（縮短）(4) 求求A和和B截面的位移截面的位移002. 002. 032llB05. 0lAmm02. 0 mm05. 021llmm02. 0105001020010010206933

25、3N33EAlFlCD段段F1F2ADCB3322114950 例例2-6-22-6-2如圖所示柱形桿，如圖所示柱形桿，長度為長度為 l ,橫橫截面積為截面積為A，材，材料的比重為料的比重為，彈性模量為，彈性模量為E。試求桿的總伸長。試求桿的總伸長。xdxl(a)AxFN(x)(b)解解: (1)計算桿的內(nèi)力計算桿的內(nèi)力 在距下端面在距下端面x處截取處截取下部分為研究對象，如下部分為研究對象，如圖（圖（b)所示。所示。 得任意截得任意截面內(nèi)力為：面內(nèi)力為：FN(x)Ax(2)計算桿的變形計算桿的變形EAxAxEAxxFxdd)(dNElxxEEAxAxlll2dd200因軸力非常量，需取一因軸

26、力非常量，需取一微段計算，如圖（微段計算，如圖（c c）。）。并略去高階微量并略去高階微量AdxFN(x)FN(x)+d FN(x)(c)xd51 例例2-6-32-6-3 一薄壁圓環(huán)，一薄壁圓環(huán)，平均直徑為平均直徑為D，截面面積為，截面面積為A，彈性模量為，彈性模量為E，在內(nèi)側(cè)，在內(nèi)側(cè)承受均布載荷承受均布載荷q作用，求圓作用，求圓環(huán)周長的增量。環(huán)周長的增量。qD52解：解：2NqDF AESFSNAEDqD20d sin220NDqF:0yFNFNFqd53L2ABL1CPC2 2 變形圖嚴格畫法，圖中弧線；變形圖嚴格畫法，圖中弧線；1 1 求各桿的變形量求各桿的變形量li ; ;3 3 近

27、似畫法，切線代圓弧近似畫法，切線代圓弧切線代圓弧法切線代圓弧法l1l2 C54L1L 2BuBvB 例例2-6-42-6-4 寫出圖中寫出圖中B點位移與兩桿變形間的關(guān)系。點位移與兩桿變形間的關(guān)系。L2BL1CA圖圖21LuB解：解：設(shè)設(shè)AB桿為拉桿，桿為拉桿，BC桿桿為壓桿，則為壓桿，則B點位移至點位移至B 點：點：sinctg21LLvB 22BBvuBB 則則22121)sinctg()(LLL55解：解：(1)(1)以鉸以鉸B為研究對象，為研究對象，計算桿的內(nèi)力計算桿的內(nèi)力 例例2-6-52-6-5 如圖所示一簡易托架，如圖所示一簡易托架，BC桿為圓截面鋼桿，其直徑桿為圓截面鋼桿，其直徑

28、d=18.5mm=18.5mm，BD桿為桿為8 8號槽鋼。若兩桿的號槽鋼。若兩桿的=160MPa=160MPa，E=200GPa=200GPa，設(shè)，設(shè)P=60kN=60kN。試校核該托架的。試校核該托架的強度，并求強度，并求B B點的位移。點的位移。)( kN45436043N1拉力拉力 PF）壓壓力力( kN75456045N2PFFN1FN23m4mPDBC56強度符合要求。強度符合要求。 (2) (2) 校核兩桿的強度校核兩桿的強度MPa4 .167105 11AF然而然而: : %5%6 . 41601604 .1671BC桿桿 BD桿，由型鋼表查得其橫截面面

29、積：桿，由型鋼表查得其橫截面面積： 22cm24.10AMPa2 .731010241075632N22AF故，托架的強度是足夠的。故，托架的強度是足夠的。 FN1FN23m4mPDBC573m4mPDBC(3)(3)計算計算B點的位移點的位移 由由“切線代圓弧切線代圓弧”法，法，B點的最終位置在點的最終位置在B3, ,如圖所示如圖所示B2 2B1 1B5 5B4 4B3 3B 1l 2l 11N111EAlFBBl22N222EAlFBBlm1051. 2105 .181020043104536293其中其中m1083. 11010241020051075369258m1051. 231lm

30、1083. 132l則，則，B點的垂直位移為點的垂直位移為 43451245531llBBBBBBB點的水平位移點的水平位移m1051. 2311lBBB點的總位移點的總位移 m1087. 41051. 217. 4 3322212313BBBBBBm1017. 4431051. 2451083. 13333m4mPDBCB2 2B1 1B5 5B4 4B3 3B 1l 2l 592-7 2-7 直桿在軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)變能直桿在軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)變能一、彈性應(yīng)變能一、彈性應(yīng)變能: :彈性體受力后發(fā)生彈性變形，外力在相應(yīng)位移上的彈性體受力后發(fā)生彈性變形，外力在相應(yīng)位移上的功轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰抠A存于

31、彈性體內(nèi)，這種能量稱為應(yīng)變功轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰抠A存于彈性體內(nèi)，這種能量稱為應(yīng)變能能（Strain Energy）或變形能，或變形能，用用“U”表示。表示。二、拉壓桿的應(yīng)變能計算二、拉壓桿的應(yīng)變能計算: :不計能量損耗時，外力功等于應(yīng)變能不計能量損耗時，外力功等于應(yīng)變能 , , 即即WU 60niiiiiAElFU12N2內(nèi)力為分段常內(nèi)力為分段常量量時時)(d11lFdWllFW011)(dlFWU21EAlFl FFNN 且EAlFlFU22 2NN單位體積的應(yīng)變能單位體積的應(yīng)變能（應(yīng)變能密度）（應(yīng)變能密度） 212NAllFAlUuEu2 2或或FF1FFdF161 例例 2-7-12-7-1 圖示

32、三根圓截面桿，其材料、支撐情況、圖示三根圓截面桿，其材料、支撐情況、荷載荷載 F 及長度及長度 l 均相同，但直徑及其變化不同，試比較均相同，但直徑及其變化不同，試比較這三根桿內(nèi)的應(yīng)變能。這三根桿內(nèi)的應(yīng)變能。(b)d2d4lF(a)dF(c)d2d8lF解：解：)41(222dAEAlFUaaiibUEAlFAElFEAlFEAlFU16732742432422222同理同理aiicUEAlFEAlFU32116411222此例說明了什么問題？此例說明了什么問題？說明：說明：若若l、F相同，則相同，則EA愈大，愈大，l 愈小，即應(yīng)變能愈愈小，即應(yīng)變能愈小，故小，故EA可反映桿件抵抗拉、壓變形的

33、能力。可反映桿件抵抗拉、壓變形的能力。62 例例2-7-22-7-2 如圖所示一簡易托架，如圖所示一簡易托架，BC桿為圓截面鋼桿，桿為圓截面鋼桿，其直徑其直徑d=18.5=18.5mm，BD桿為桿為8 8號槽鋼。設(shè)號槽鋼。設(shè)P=60=60kN ，若，若兩桿的兩桿的=160=160MPa，E=200GPa=200GPa。試求。試求B點的位移。點的位移。m,1083. 1m,1051. 23231llm1017. 4345531BBBBBBm,1051. 2311lBB解：解：由由例例2-6-52-6-5已知：已知：且由且由“切線代圓弧切線代圓弧”法得：法得：現(xiàn)用能量法算現(xiàn)用能量法算B點豎直位移點

34、豎直位移EAlFEAlFBBPNN222122212131kN,75, kN45N2N1FFm1017. 4)(4)(13222121222212131lFlFPdElFlFEAPBBNNNN3m4mPDBCB2 2B1 1B5 5B4 4B3 3B 1l 2l 63kN55.113PT 例例 2-7-32-7-3 設(shè)橫梁設(shè)橫梁ABCD為剛性梁，橫截面面積為為剛性梁，橫截面面積為 76.36mm 的鋼索繞過無摩擦的滑輪。設(shè)的鋼索繞過無摩擦的滑輪。設(shè) P=20kN，試求，試求剛索的應(yīng)力和剛索的應(yīng)力和 C點的垂直位移。設(shè)剛索的點的垂直位移。設(shè)剛索的 E=177GPa。解：解：能量法：能量法： （外

35、力功等于應(yīng)變能）（外力功等于應(yīng)變能） （1 1）求鋼索內(nèi)力：以）求鋼索內(nèi)力：以ABD為為研究對象：研究對象：ABCDPTT60ABCD60P400400800剛索 , 0Am060sin6 . 12 . 18 . 060sinTPT64EAlTPC222mm79. 036.7617720)4 . 04 . 0(255.1122PEAlTCMPa1511036.7655.119ATABCDPTT（2) 2) 鋼索的應(yīng)力為鋼索的應(yīng)力為: :60ABCD60P400400800剛索（3) C3) C點位移為點位移為: :652-8 2-8 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題2 2 超靜定問題：超靜定問題：

36、單純依靠靜力平衡方程單純依靠靜力平衡方程不能不能確定出全確定出全部未知力（支反力、內(nèi)力）的問題。部未知力（支反力、內(nèi)力）的問題。一、超靜定問題及其解法一、超靜定問題及其解法1 1 靜定問題：靜定問題：單純依靠靜力平衡方程單純依靠靜力平衡方程能夠能夠確定全部未知確定全部未知力（支反力、內(nèi)力）的問題。力（支反力、內(nèi)力）的問題。 3 3 超靜定次數(shù)超靜定次數(shù) n ：n = = 未知力數(shù)獨立的平衡方程數(shù)未知力數(shù)獨立的平衡方程數(shù)F123F12366 例例2-8-12-8-1 如圖三桿用鉸鏈連接，已如圖三桿用鉸鏈連接，已知：知：l1=l2=l、 l3；橫截面積；橫截面積A1=A2=A、 A3 ；彈性模量為

37、：；彈性模量為：E1=E2=E、E3。外。外力沿鉛垂方向，求各桿的內(nèi)力。力沿鉛垂方向，求各桿的內(nèi)力。4 4 超靜定問題的解題方法步驟：超靜定問題的解題方法步驟： ( (1) 1) 靜力學(xué)關(guān)系列靜力靜力學(xué)關(guān)系列靜力平衡方程平衡方程 ( (2) 2) 幾何關(guān)系（變形協(xié)調(diào)條件）列幾何方程幾何關(guān)系（變形協(xié)調(diào)條件）列幾何方程 (3) (3) 物理關(guān)系（胡克定律）列物理方程物理關(guān)系（胡克定律）列物理方程 (4) (4) 補充方程：由幾何方程和物理方程得到補充方程：由幾何方程和物理方程得到 (5) (5) 解由平衡方程和補充方程組成的方程組。解由平衡方程和補充方程組成的方程組。ABDC132F67A11l3

38、l2l1111N1AElFl 3333N3AElFl(2)(2)幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程：變形協(xié)調(diào)方程：(3)(3)物理方程物理方程胡克定律：胡克定律：(4)(4)補充方程：由幾何方程和物理方程得：補充方程：由幾何方程和物理方程得：解解: : (1)(1)以鉸以鉸A為研究對象，列為研究對象，列平衡方程平衡方程: :(5)(5)聯(lián)聯(lián)解（解（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）式，得）式，得: :0 xF:0yFcos321lll)3(cos3333N1111NAElFAElF33311333N333112112N1Ncos2 ; cos2cosAEAEFAEFAEAEFAEFFABD

39、C132FAFN1FFN2FN3) 1 (0sinsin2N1NFF)2(0coscos3N2N1NFFFF68 例例2-8-22-8-2 兩端固定直桿受軸向外力兩端固定直桿受軸向外力 F 作用，截面作用，截面尺寸如圖所示，求兩端反力。尺寸如圖所示，求兩端反力。解解: :BARR 、端端，加加支支反反力力放放松松 B0:總l變變形形協(xié)協(xié)調(diào)調(diào)條條件件) 2(022EAaREAaRFllBBCBAC 54,5FRFRAB) 1 (0FRRBA，則則由（由（1 1）、（）、（2 2）式得）式得EA2EAABCaa2FBRARABCF69 例例2-8-32-8-3 剛性梁剛性梁AB如圖。桿如圖。桿1、

40、2的截面積和彈性的截面積和彈性模量分別為模量分別為A1、A2；E1、E2。求各桿內(nèi)力。求各桿內(nèi)力。解解：1)1)以剛性梁為研究對象，以剛性梁為研究對象，列靜力列靜力 平衡方程：平衡方程：2)變形幾何協(xié)調(diào)條件變形幾何協(xié)調(diào)條件: : 032 , 021aFaFaFMAFABaaal121l2lFAyF1F2FABFAx122 ll3)力與變形間的物理關(guān)系力與變形間的物理關(guān)系：22221111 ,AElFlAElFl聯(lián)解上各式得：聯(lián)解上各式得：1122222112222146 ,4123AEAEAFEFAEAEAFEFF70即增加即增加桿桿1 1后，桿后，桿2 2內(nèi)力減小，變形內(nèi)力減小，變形l2減小

41、，減小，梁轉(zhuǎn)過的梁轉(zhuǎn)過的角度也減小，角度也減小， 故：靜不定結(jié)構(gòu)可減小構(gòu)件內(nèi)力，減故：靜不定結(jié)構(gòu)可減小構(gòu)件內(nèi)力，減小結(jié)構(gòu)變形小結(jié)構(gòu)變形。（4）若去掉桿若去掉桿1 1，成為靜定結(jié)構(gòu)，則：，成為靜定結(jié)構(gòu)，則：討論討論: :（1 1）若二桿抗拉剛度相同，即）若二桿抗拉剛度相同，即 E1A1=E2A2=E A，則，則1122222112222146 ,4123AEAEAFEFAEAEAFEFFFFFF56 ,5321（2 2）若）若E1A1E2A2，則，則0 ,321FFF（3 3）若）若E1A1E2A2，則，則FFF23 , 021FF232FABaaal12FAyF1F2FAx1l2l71 例例2

42、-8-42-8-4 剛性梁剛性梁AD由由1 1、2 2、3 3桿懸掛，已知三桿材桿懸掛，已知三桿材料相同，許用應(yīng)力為料相同，許用應(yīng)力為 ，材料的彈性模量為，材料的彈性模量為 E，桿長均為桿長均為l，橫截面面積均為，橫截面面積均為A，試求結(jié)構(gòu)的許可載，試求結(jié)構(gòu)的許可載荷荷 F 。Aa123FDaa72解：解：取剛性梁為研究對象，列取剛性梁為研究對象，列靜力平衡方程：靜力平衡方程：變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：) 1 ( 0332N3N2N1aFaFaFaF13123 ,2llll即：即：AElFAElFAElFAElFN1N3N1N23 ,2)2( 3 ,2N1N3N1N2FFFF:0AMAaFD

43、aaFN1FN3FN21l2l3lAD受力圖受力圖位移圖位移圖73聯(lián)立求解聯(lián)立求解(1)(1)和和(2), (2), 得：得：FFFFFF149 ,146 ,143N3N2N11493N33AFAF3 3桿軸力為最大桿軸力為最大, ,其強度條件為其強度條件為: :AF914AF91474解：解：(1)(1)取鉸取鉸A分析，列分析，列平衡方程平衡方程: : 例例2-8-52-8-5如圖所示如圖所示3 3號桿的尺寸誤號桿的尺寸誤差為差為 ，求各桿的裝配內(nèi)力。，求各桿的裝配內(nèi)力。二、裝配應(yīng)力二、裝配應(yīng)力: : 桿件尺寸誤差引起的應(yīng)力。桿件尺寸誤差引起的應(yīng)力。1 1 靜定問題無裝配應(yīng)力。靜定問題無裝配

44、應(yīng)力。2 2 靜不定問題存在裝配應(yīng)力。靜不定問題存在裝配應(yīng)力。FN1、 FN2 為壓力，為壓力， FN3為拉力。為拉力。AN1FN2FN3F:0 xF0sinsin2N1NFF:0yF0coscos3N2N1NFFFABDC132A0 0 75cos)(333N3111N1AElFAElF(3) (3) 物理方程及物理方程及補充方程補充方程：(4) (4) 解平衡方程和補充方程解平衡方程和補充方程，得，得: : / cos21cos331132113N2N1AEAEAElFF / cos21cos2331133113N3AEAEAElF(2) (2) 幾何方程幾何方程cos)(31ll1l2l

45、3lAA0A1ABDC132A0 0 A1761 1、靜定問題無溫度應(yīng)力、靜定問題無溫度應(yīng)力三、溫度應(yīng)力三、溫度應(yīng)力 例例2-8-62-8-6 如圖，如圖，1 1、2 2號桿的尺寸及號桿的尺寸及材料都相同，當(dāng)結(jié)構(gòu)溫度由材料都相同，當(dāng)結(jié)構(gòu)溫度由T1變到變到T2時時, ,求各桿的溫度內(nèi)力。（各桿的線求各桿的溫度內(nèi)力。（各桿的線膨脹系數(shù)分別為膨脹系數(shù)分別為i； T= T2 -T1) )(2) (2) 幾何方程幾何方程2 2、靜不定問題存在溫度應(yīng)力、靜不定問題存在溫度應(yīng)力A11l3l2lABDC132 AFN1 FN2FN3解解: : (1)(1)以鉸以鉸A為研究對象，列為研究對象，列平衡方程平衡方程

46、: :0 xF:0yF) 1 (0sinsin2N1NFF)2(0coscos3N2N1NFFFcos321lll77iiiiiiilTAElFlN(3) (3) 物理方程：物理方程：(4) (4) 補充方程：補充方程：)3(cos)(33333N311111N1lTAElFlTAElF / cos21)cos(3311323111N2N1AEAETAEFF / cos21cos)cos(23311323111N3AEAETAEF桿件變形包括桿件變形包括溫度引起的變形溫度引起的變形和和外外力引起的變形力引起的變形兩部分。兩部分。(5)(5)聯(lián)聯(lián)解（解（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3

47、）式，得）式，得: :78(2)(2)幾何方程幾何方程解：解：(1)(1)解除約束，代之以約束力。解除約束，代之以約束力。列列靜力平衡方程靜力平衡方程: :) 1 (0:021RRyFFF0FTlll 例例2-8-7 2-8-7 如圖，階梯鋼桿的上下兩端在如圖，階梯鋼桿的上下兩端在T1=5時被固定時被固定, ,桿的上下兩段的面積分別桿的上下兩段的面積分別為為 = cm2、 = =c cm2，當(dāng)溫度升至，當(dāng)溫度升至T T2 2 =25=25時時, ,求各桿的溫度應(yīng)力。求各桿的溫度應(yīng)力。( (線膨脹系線膨脹系數(shù)數(shù) ；彈性模量；彈性模量E=200GPa) )C1105 .126ABCaaABCaaF

48、R1FR279(3) (3) 物理方程物理方程(5)(5)聯(lián)解（聯(lián)解（1 1）、（）、（2 2）式）式，得，得: : kN3 .3321RRFF(4) (4) 補充方程補充方程2211 ; 2EAaFEAaFlTalRRFT)2(22211EAFEAFTRR(6) (6) 溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力 MPa7 .66111AFR MPa3 .33222AFRABCaaFR1FR280 例例2-8-8 2-8-8 如圖剛性梁懸掛于如圖剛性梁懸掛于3 3根平行桿上，根平行桿上，l2m, F40kN，a = 1.5m， b = 1m， c = 0.25m， 0.2mm。1桿由黃銅制成，桿由黃銅制成， A1=2

49、cm2， E1=100GPa， 。2桿和桿和3桿由碳鋼制成，桿由碳鋼制成， A2=1cm2， A3=3cm2， E2=E3=200GPa， 。設(shè)溫。設(shè)溫度升高度升高20，試求各桿應(yīng)力。，試求各桿應(yīng)力。C1105 .1661C1105 .12632F123balcAB解：解：分析，分析，各桿中即有由外載各桿中即有由外載荷荷F引起的應(yīng)力，也有裝配應(yīng)力，引起的應(yīng)力，也有裝配應(yīng)力，還有溫度應(yīng)力。還有溫度應(yīng)力。設(shè)三桿最終變形分別為設(shè)三桿最終變形分別為l1、 l2、 l3 。 取剛性梁為研究對取剛性梁為研究對象，受力如圖所示象，受力如圖所示。81(1)(1) 列靜力平衡方程列靜力平衡方程: :F123ba

50、lcABFABFN1FN3FN2l1l2l3(1) 0)()( , 032caFbaFaFMNNA(2) 0 , 0321FFFFFNNNy(2)(2) 幾何方程幾何方程: :(3)(3) 物理方程物理方程: :(4) 1111N11TlAElFl(5) 2222N22TlAElFl(6) 3333N33TlAElFl(3) )(2312lll82聯(lián)解（聯(lián)解（1 1）（）（6 6）式得）式得: :, kN8 1NF, kN10 2NF kN22 3NF（4 4）三桿應(yīng)力分別為）三桿應(yīng)力分別為: : MPa40 11AFN MPa100 22AFN MPa3 .73 33NAF83應(yīng)力集中：由于

51、截面尺寸突變而引起局部區(qū)域應(yīng)力應(yīng)力集中：由于截面尺寸突變而引起局部區(qū)域應(yīng)力劇增的現(xiàn)象。劇增的現(xiàn)象。2-9 2-9 應(yīng)力集中的概念應(yīng)力集中的概念84maxK稱為理論應(yīng)力集中系數(shù)稱為理論應(yīng)力集中系數(shù)1 1、形狀尺寸的影響：、形狀尺寸的影響：2 2、材料的影響：、材料的影響：應(yīng)力集中對塑性材料的影響不大；應(yīng)力集中對應(yīng)力集中對塑性材料的影響不大；應(yīng)力集中對脆性材料的影響嚴重，應(yīng)特別注意。脆性材料的影響嚴重，應(yīng)特別注意。85一、概述一、概述 2-10 2-10 聯(lián)接件的實用計算聯(lián)接件的實用計算螺栓連接螺栓連接鉚釘連接鉚釘連接銷釘連接銷釘連接平鍵連接平鍵連接86878889受力特點：等值、反向、平行，受力特點：等值、反向、平行，作用線很近。作用線很近。變形特點：位于兩力之間的截變形特點：位于兩力之間的截面發(fā)生面發(fā)生相對錯動相對錯動。二、剪切的實用計算二、剪切的實用計算剪應(yīng)力計算公式：剪應(yīng)力計算公式：ssAF剪應(yīng)力強度條件：剪應(yīng)力強度條件： ssAF假設(shè)：剪應(yīng)力假設(shè)：剪應(yīng)力均勻分布均勻分布剪切面上的剪力：剪切面上的剪力：F Fs