動(dòng)力學(xué)臨界問題解題技巧

1、動(dòng)力學(xué)臨界問題的類型與處理方法0、問題的緣起高中物理中的動(dòng)力學(xué)臨界問題是一類較難的題目，本文嘗試從牛頓第二定律的等號(hào)的含義的挖掘出發(fā)，提出這類問題的產(chǎn)生原因、基本類型和基本解決方法。一、動(dòng)力學(xué)臨界問題的本質(zhì)一一供需匹配問題牛頓第二定律 F ma，等式的左邊是其他物體 提供給物體的力（供），右邊是物體以加速度 a運(yùn)動(dòng)時(shí)所需要的力（需），因此 F ma實(shí)際上是供需匹配的方程 。當(dāng)某些外界條件變化時(shí)，a可能變化，因此物體所需要的力可能發(fā)生變化，這就存在供需匹配問題。動(dòng)力學(xué)臨界問題，本質(zhì)上講，就是供需匹配問題： 供需相匹配（等號(hào)成立），則可維持兩物體間的某種關(guān)聯(lián)（如相對(duì)靜止、距離不變等）； 若供需不匹

2、配（等號(hào)不成立），則兩物體間的該種關(guān)聯(lián)被破壞（如兩物體相對(duì)滑動(dòng)、距離增 大或者減小等）。二、動(dòng)力學(xué)臨界問題的類型依據(jù)其他物體 提供給物體的力 的特點(diǎn)，可將動(dòng)力學(xué)臨界問題分為兩大類型：供可變型和供不可 變型。1、供可變型其他物體提供的力可以在一定范圍內(nèi)變化；若所需要的力在該范圍內(nèi)，則能夠維持物體間的某 種關(guān)聯(lián)，若所需要的力超出該范圍，則物體間的該種關(guān)聯(lián)被破壞。具有這種特點(diǎn)的力，主要是兩大類：靜摩擦力和彈力。具體分析如下：（1） 靜摩擦力：-Ffm < FfW Ffm, Ffm0FN若：所需FfW Ffm,則兩物體相對(duì)靜止， 若：所需Ff> Ffm,則兩物體相對(duì)滑動(dòng)。（2）彈力：Fn&

3、gt; 0,0< FtW FTm 支持力/壓力Fn :所需Fn> 0,則兩物體相互接觸，所需Fnv 0,則兩物體相互分離。 繩中張力Ft：所需FT滿足0< FtW FTm,則繩子繃直，兩物體維持某間距，所需FtV 0，則繩子松弛，兩物體間距減小，靠近，所需Ft> FTm,則繩子繃斷，兩物體間距增大，分開。2、供不可變型特定位置處，其他物體提供的力是一個(gè)確定的值；若需要的力等于該值，則能夠維持物體間的 相對(duì)位置，若需要的力不等于該值，則兩物體接近或者遠(yuǎn)離。具有這種特點(diǎn)的力有萬有引力、庫(kù)侖力、彈簧彈力等。其中萬有引力作用下人造衛(wèi)星的變軌問 題就屬于這類問題的典型，下文重點(diǎn)是

4、供可變型，所以將此問題的處理方法單獨(dú)在此處說明，下文 不再贅述。如右圖所示，人造衛(wèi)星在離地心r處的A點(diǎn)以某速度va發(fā)射，若發(fā)射速度合適（為 v）,衛(wèi)星在該處所受萬有引力恰好等于其在該圓周軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，則衛(wèi)星就能在該軌道 上做圓周運(yùn)動(dòng)，有4MmG 2 r2V m 一r解得VGM、一。r即有：若：VAv J r ,所需要的向心力2Va m 一rG亍，供求平衡，衛(wèi)星將做圓周運(yùn)動(dòng), r右：VAGM，所需要的向心力mVArrGMmm，供不應(yīng)求，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng),r右：VAGM，所需要的向心力m±rrMm2，供過于求，衛(wèi)星將做近心運(yùn)動(dòng)。r、動(dòng)力學(xué)臨界問題處理的基本方法動(dòng)力學(xué)臨界

5、問題的處理方法有兩種:1、物理分析法 第一步：極端分析法一一找到臨界點(diǎn) 第二步：分析臨界條件一一受力轉(zhuǎn)變條件女口： Ff=Ffm，F(xiàn)n=O， Ft=0， Fr=Frm2、數(shù)學(xué)解析法第一步：假設(shè)法一一假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常第二步：動(dòng)力學(xué)方程（或平衡方程）+受力范圍條件女口： -Ffm W FfW Ffm, FnA 0, OW FtW FTm不過，在此處要做一個(gè)說明：物理分析法對(duì)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)或者物理實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)有較強(qiáng)的依賴 性，而數(shù)學(xué)解析法則對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力一一解不等式組一一有較高的要求，因此，兩種方法各有優(yōu)j- m -.-'i- j- -j-.-1 i- -j-'i-j-i- -

6、i-j-i-j-j- -jm-i -i-u- j- -m-i _ii-j"劣，不同學(xué)生、不同問題，方法的選擇就會(huì)不同?！纠?】（靜摩擦力類） 如圖所示，質(zhì)量 M=8kg小車放在光滑的水平面上，在小車上面靜止放置一質(zhì)量m=2kg的小物塊，物塊與小車間的動(dòng)摩擦因數(shù)尸0.2。現(xiàn)在小車右端施加一水平拉力F,要使物塊保持與小車相對(duì)靜止 則拉力F不能超過多少？ g取10m/s2.V【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法一一找到臨界點(diǎn)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們知道，拉力F很小時(shí)，m將隨M 起 向右加速運(yùn)動(dòng)，拉力 F很大時(shí)，m將相對(duì)M向后滑動(dòng)。因此，拉力 F從很小逐漸增大時(shí)，必定有 個(gè)時(shí)候（F取某個(gè)值Fo

7、）,此時(shí)，m就要相對(duì)M向后滑動(dòng)但還沒有相對(duì)滑動(dòng)。這個(gè)狀態(tài)即為本問題 的臨界點(diǎn)。第二步：分析臨界條件一一受力轉(zhuǎn)變條件在拉力F很小時(shí)，m之所以能夠隨 M 起向右加速運(yùn)動(dòng)，是因?yàn)?M對(duì)m的靜摩擦力足以維持 兩物體相對(duì)靜止一一給 m提供隨M 起向右加速運(yùn)動(dòng)的加速度一一這個(gè)加速度隨整體加速度增大而 增大；當(dāng)達(dá)到臨界點(diǎn)時(shí)，整體加速度達(dá)到了一個(gè)臨界值，此時(shí)，是最大靜摩擦力給m提供加速度;若整體加速度再增大，靜摩擦力將不足以提供足夠大的加速度一一不能滿足需要，于是就會(huì)發(fā)生相 對(duì)滑動(dòng)。即:最大靜摩擦力給 m提供加速度，是本問題的臨界受力轉(zhuǎn)變條件。小物塊：mgmao整體：F0(Mm)ao聯(lián)立解得：Fo(M m)

8、g 20N即：拉力F不能超過20N。方法二：數(shù)學(xué)解析法第一步：假設(shè)法一一假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常設(shè)m隨M 起向右加速運(yùn)動(dòng)，加速度為a.第二步：動(dòng)力學(xué)方程（或平衡方程）+受力范圍條件小物塊：Ff靜 ma整體：F （M m）a 其中：Ff靜mg聯(lián)立解得F 20N【總結(jié)】本問題中研究對(duì)象的選取是關(guān)鍵一一在本題中，對(duì)m才有供需匹配的問題一一對(duì) M來說，拉力F需要多大，就可以施加多大，因此，應(yīng)先選m為研究對(duì)象來分析臨界受力轉(zhuǎn)變條件。若本題拉力F施加在m上，則應(yīng)先選 M為研究對(duì)象來分析臨界受力轉(zhuǎn)變條件?！纠?】（靜摩擦力類） 如圖所示，質(zhì)量 m = 1 kg的物塊放在傾角為 B的斜面上，斜面體質(zhì)量 M =

9、2 kg,斜面與物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)尸0.2，地面光滑，0= 37 °現(xiàn)對(duì)斜面體施加一水平推力 F,要使物體m相對(duì)斜面靜止，力 F應(yīng)為多大？（設(shè)物體與斜面的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，g取10m/s2）【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法一一找到臨界點(diǎn)推力F很小時(shí)，由于本題中tan37，物體m就會(huì)相對(duì)斜面下滑，推力 F很大時(shí)，物體 m就會(huì)相對(duì)斜面上滑，因此，本題有兩個(gè)臨界點(diǎn)：推力F較小且大小合適時(shí)，物體就要相對(duì)斜面向下滑而沒有下滑；推力 F較大且大小合適時(shí)，物體就要相對(duì)斜面向上滑而沒有上滑。第二步：分析臨界條件一一受力轉(zhuǎn)變條件推力F大小合適時(shí)，物體m之所以能夠相對(duì)斜面靜止，是因

10、為能夠提供的靜摩擦力足以維持物體 m相對(duì)斜面靜止；當(dāng)推力F較小且大小合適時(shí)， 物體就要相對(duì)斜面向下滑而沒有下滑，此時(shí)是沿斜面向上的最大靜摩擦力 維持物體m相對(duì)斜面靜止，設(shè)此時(shí)推力為對(duì)m 有:x方向：FN1sin 0 N1cos 0= ma1*t/|*：丿A丹y方向：Fn1COS0+ 卩 N1Sin 0 mg = 0亠解兩式得：a1= 4.78 m/s2XO對(duì)整體有：F1 = (M + m)a1,所以 F1 = 14.34 N.當(dāng)推力F較大且大小合適時(shí)，物體就要相對(duì)斜面向上滑而沒有上滑，1Fi,此時(shí)物塊受力如圖甲.此時(shí)是沿斜面向下的最大靜摩擦力維持物體m相對(duì)斜面靜止，設(shè)此時(shí)推力為F2,此時(shí)物塊受

11、力如圖乙.對(duì) m 有：x 方向：FN2sin 0+ 卩 F2cos 0= ma2y 方向： Fn2cos 0 卩 N2sin 0 mg = 0 解 兩式得：a2= 11.2 m/s2 對(duì)整體有：F2= （M + m）a2，所以 F2 = 33.6 N.F 的范圍為：14.34 N F 33.6 N.方法二：數(shù)學(xué)解析法第一步：假設(shè)法一一假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常 設(shè)m隨M 起向左加速運(yùn)動(dòng)，加速度為a.第二步：動(dòng)力學(xué)方程（或平衡方程）對(duì)m 有:屮0mg乙x 方向： Fnsin 0 Ffcos0= may方向：由于推力F較小時(shí), 向上），推力F較大時(shí), 向下），則有：-INW Ff w此時(shí)物塊受力如圖丙

12、.+受力范圍條件FnFfOFncos0+ Ffsin 0 mg = 0物體 m有相對(duì)斜面下滑的趨勢(shì)（摩擦力沿斜面 物體 m有相對(duì)斜面上滑的趨勢(shì)（摩擦力沿斜面 N解三式，得 F的范圍為：14.34 N « 33.6 N.【總結(jié)】物理分析法對(duì)學(xué)生分析能力要求較高，但是其分析出來的結(jié)果很直觀; 管分析過程簡(jiǎn)單些，但計(jì)算上講麻煩一點(diǎn)，而且算出來的結(jié)果直觀性較差?！纠?】（彈力類一一Fn）試分析在豎直平面內(nèi)的圓周軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，數(shù)學(xué)解析法盡小球通過最高點(diǎn)的條件?！窘馕觥糠椒ㄒ唬何锢矸治龇ǜ?第一步：極端分析法一一找到臨界點(diǎn)根據(jù)實(shí)驗(yàn)，我們知道，小球在最低點(diǎn)初速度較大時(shí)，小球可以在圓周軌道內(nèi)側(cè)做完

13、整圓周運(yùn)動(dòng)，小球在最低點(diǎn)初速度較小時(shí)，小球在到達(dá) 最高點(diǎn)前就已脫離軌道做了斜拋運(yùn)動(dòng)。因此，必定有一種情況，小球在 最低點(diǎn)初速度合適時(shí)， 小球剛好能夠通過圓周最高點(diǎn)，由能量守恒可知,此時(shí)小球在最高點(diǎn)速度是確定的某個(gè)值。第二步：分析臨界條件一一受力轉(zhuǎn)變條件小球速度較大時(shí)，小球在最高點(diǎn)會(huì)緊壓軌道；小球速度較小，小球到最高點(diǎn)前就脫離軌道后與軌道分開；因此，小球剛好通過最高點(diǎn)時(shí)，就是剛好到達(dá)最高點(diǎn)且不壓軌道時(shí)一一即Fn=O .此時(shí)對(duì)小球：2v.mg m解得vgRR即小球通過最高點(diǎn)的條件是：小球在最高點(diǎn)的速度V .：gR方法二：數(shù)學(xué)解析法第一步：假設(shè)法一一假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常設(shè)小球能夠通過最高點(diǎn)，并設(shè)此

14、時(shí)小球通過最高點(diǎn)的速度為 第二步：動(dòng)力學(xué)方程（或平衡方程）2Vmg Fn mR+受力范圍條件對(duì)小球，有:其中Fn只可能向下、不可能向上，即：聯(lián)立，解得vgR【總結(jié)】如下圖甲、乙兩種情況中，均是vV，斤、Fn均只能豎直向下，因此小球能夠通過最高點(diǎn)的條件gR；如圖丙的情況，輕桿對(duì)小球的彈力既可向下也可向上，因此速度既可大于gR，也可小于：gR，即小球能夠通過最高點(diǎn)的條件是 v 0。圖甲圏乙圖丙【例4】（彈力類一一Fn）如右圖所示，在傾角為B的光滑斜面上端固定一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，彈簧下端連有一質(zhì)量為 m的小球，小球被一垂直于斜面的擋 板A擋住，此時(shí)彈簧沒有形變，若手持擋板A以加速度a（a<

15、;gsin B）沿斜面勻加速下滑，求：從擋板開始運(yùn)動(dòng)到小球與擋板分離所經(jīng)歷的時(shí) 間?！窘馕觥糠椒ㄒ唬何锢矸治龇?第一步：極端分析法一一找到臨界點(diǎn)擋板A下滑過程中，最開始一段時(shí)間，小球和擋板一直緊壓在一起，具有相同的加速度；當(dāng)擋板A下滑太遠(yuǎn)時(shí)，小球和擋板就分開了。因此，必定有一個(gè)臨界點(diǎn)一 小球就要離開擋板但還沒有離開。第二步：分析臨界條件一一受力轉(zhuǎn)變條件開始時(shí)小球和擋板一直緊壓在一起，兩者之間有壓力；當(dāng)小球和擋板就 分開后，兩者之間沒有壓力一一因此，小球就要離開擋板時(shí)，小球和擋板間 的壓力為Fn=0.此時(shí)，對(duì)小球，有：mgsin 0 kx= ma即小球做勻加速運(yùn)動(dòng)發(fā)生的位移為x= m(gsin

16、0 a)時(shí)小球與擋板分離。1由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式x = 2at2得從擋板開始運(yùn)動(dòng)到小球與擋板分離所經(jīng)歷的時(shí)間為t2m(gsin 0 a)ka方法二：數(shù)學(xué)解析法第一步：假設(shè)法一一假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常設(shè)小球尚未與擋板分離，則其受力如圖所示。第二步：動(dòng)力學(xué)方程(或平衡方程)+受力范圍條件此時(shí)，對(duì)小球，有：mgsin 0 Fn kx= ma其中：Fn 0聯(lián)立解得：xw m(gsin0 a)即小球做勻加速運(yùn)動(dòng)發(fā)生的位移為x= m(gsin 0 a)時(shí)小球與擋板分離。1由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式x = ；at2得從擋板開始運(yùn)動(dòng)到小球與擋板分離所經(jīng)歷的時(shí)間為2m(gsin 0 a)ka【總結(jié)】分離類問題，分離條件均是相互接觸的

17、兩個(gè)物體間壓力Fn=0時(shí)。不過要注意的是,離之前直到分離瞬間，相互接觸的兩個(gè)物體在垂直接觸面方向始終具有速度和相同加速度。很多學(xué) 生以為小球加速度為零時(shí)分離，從而出錯(cuò)?！纠?】(彈力類一一FT)如圖所示，繩 AC 的小球，其中AC桿長(zhǎng)度為I當(dāng)豎直桿以某一角速度 繩與豎直方向夾角為 30° BC繩與豎直方向夾角為【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法一一找到臨界點(diǎn)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們知道，當(dāng)只有 AC繩時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)桿的角速度 豎直方向的夾角就越大。因此，在本題中，若桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 豎直方向的夾角太小，BC繩就會(huì)松弛；若桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 方向的夾角太大，AC繩就會(huì)松弛；桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度BC一端拴

18、在豎直桿上，另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為3轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，繩AC BC均處于繃直狀態(tài)，此時(shí) 45°試求3的取值范圍。已知重力加速度為3越大，AC繩偏離3太小，AC繩偏離3太大，BC繩偏離豎直3合適時(shí)，繩AC、BC均處于較小，BC繩剛好松弛；桿轉(zhuǎn)AC繩、BC繩與豎直方向mACg.繃直狀態(tài)。即存在兩個(gè)臨界點(diǎn)桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度3動(dòng)的角速度3較大，AC繩剛好松弛一一這兩種情況下， 夾角分別為30°和45°不變。第二步：分析臨界條件一一受力轉(zhuǎn)變條件桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 3較小，BC繩剛好松弛，此時(shí) BC繩中的張力為零，只有 AC繩中有張力 設(shè)此時(shí)的角速度為 31,則有豎直方向： Fti cos30

19、mg=0 水平方向： Fisin30 =m 3i2r 其中 r=lsi n30聯(lián)立解得12、3g31桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度設(shè)此時(shí)的角速度為豎直方向：Ft2COs45 mg=0 水平方向：FT2sin45 =m族2r3較大，AC繩剛好松弛，此時(shí) AC繩中的張力為零，只有 AC繩中有張力32,則有Fl2,其中r=lsi n30聯(lián)立解得2|g時(shí),繩AC BC均處于繃直狀態(tài)。方法二：數(shù)學(xué)解析法第一步：假設(shè)法一一假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常設(shè)豎直桿以某一角速度3轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)，此時(shí) AC繩中張力為FTi, BC繩中張力為Ft2o第二步：動(dòng)力學(xué)方程（或平衡方程）+受力范圍條件由牛頓第二定律，有豎直方向：FTicos30 ° Ft2cos45 ° mg =0水平方向： Fisin 30 + FT2Si n45=m3i2r由于繩AC BC均處于繃直狀態(tài)，因此有Fti> 0, Ft2 >0聯(lián)立解得:【總結(jié)】對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說，物理分析法分析這個(gè)問題要簡(jiǎn)單直接一些；數(shù)學(xué)解