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1、解法解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換可化為常系數(shù)微分方程量代換可化為常系數(shù)微分方程.)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 的方程的方程(其中其中nppp21,形如形如叫叫歐拉方程歐拉方程.為常數(shù)為常數(shù))特點(diǎn)特點(diǎn)：各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)相同變量的方次數(shù)相同*第十一節(jié)第十一節(jié) 歐拉方程歐拉方程 作變量變換作變量變換,ln xtext 或或,1dtdyxdxdtdtdydxdy ,122222 dtdydtydxdxyd將自變量換為將自變量換為, t,2312233333 d

2、tdydtyddtydxdxyd用用d表示對(duì)自變量表示對(duì)自變量t求導(dǎo)的運(yùn)算求導(dǎo)的運(yùn)算,dtd上述結(jié)果可以寫為上述結(jié)果可以寫為,dyyx ,)1()(2222yddydddtdydtydyx ,)2)(1()23(232322333ydddyddddtdydtyddtydyx .)1()1()(ykdddyxkk 將上式代入歐拉方程，則化為以將上式代入歐拉方程，則化為以 為自變量為自變量t的常系數(shù)的常系數(shù)線性微分方程線性微分方程.求出這個(gè)方程的解后，求出這個(gè)方程的解后，t把把 換為換為 ，xln即得到原方程的解即得到原方程的解.一般地，一般地，例例求歐拉方程求歐拉方程22334xyxyxyx 的通解的通解解解作變量變換作變量變換,ln xtext 或或原方程化為原方程化為,34)1()2)(1(2tedyyddyddd 即即,332223tedyydyd 或或.33222233tedtdydtyddtyd (1)方程方程(1)所對(duì)應(yīng)的齊次方程為所對(duì)應(yīng)的齊次方程為, 0322233 dtdydtyddtyd其特征方程其特征方程, 03223 rrr特征方程的根為特征方程的根為. 3, 1, 0321 rrr所以齊次方程的通解為所以齊次方程的通解為.33213321xcxccececcytt 設(shè)特解為設(shè)特解為,22bxbeyt 代入原方程，得代入原方程，得.21

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