數(shù)學建?；疑A測方法

1、灰色預測法1灰色預測理論2 gm(1,1)模型3gm(1,1)模型的改進 4灰色預測實例1灰色預測理論一、灰色預測的概念(1) 灰色系統(tǒng)、白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng)白色系統(tǒng)是指一個系統(tǒng)的內(nèi)部特征是完全已知的即系統(tǒng)的信息是完全充分的。黑色系統(tǒng)是指一個系統(tǒng)的內(nèi)部信息對外界 來說是一無所知的，只能通過它與外界的 聯(lián)系來加以觀測研究?；疑到y(tǒng)內(nèi)的一部分信息是已知的，另 部分信息是未知的，系統(tǒng)內(nèi)各因素間有不 確定的關系。(2) 灰色預測方法灰色預測法是一種對含有不確定因素的系 統(tǒng)進行預測的方法?；疑A測是對既含有已知信息又含有不確定 信息的系統(tǒng)進行預則，就是對在一定范圍內(nèi) 變化的、與時間有關的灰色過程進彳亍預測

2、?；疑A測法用等時距觀測到的反映預測對 象特征的一系列數(shù)量值構(gòu)造灰色預測模型, 預測未來某一時刻的特征量，或達到某一 特征量的時間。(3) 灰色預測數(shù)據(jù)的特點:1) 序列性：原始數(shù)據(jù)以時間序列的形式岀現(xiàn)。少數(shù)據(jù)性：原始數(shù)據(jù)序列可以少到只有4個 數(shù)據(jù)。(4) 灰色預測的四種常見類型灰色時間序列預測即用觀察到的反映預測對象特征的時 間序列來構(gòu)造灰色預測模型，預測未來某 一時刻的特征量，或達到某一特征量的時 間。災變預測即通過灰色模型預測異常值岀現(xiàn)的時 亥u，預測異常值什么時候出現(xiàn)在特定時區(qū) 內(nèi)。系統(tǒng)預測通過對系統(tǒng)行為特征指標建立一組相互 關聯(lián)的灰色預測模型，預測系統(tǒng)中眾多變 量間的相互協(xié)調(diào)關系的變

3、化。拓撲預測（波形預測）將原始數(shù)據(jù)做曲線，在曲線上按定值尋 找該定值發(fā)生的所有時點，并以該定值為 框架構(gòu)成時點數(shù)列，然后建立模型預測該 定值所發(fā)生的時點。對灰數(shù)的處理主要是利用數(shù)據(jù)處理方法去尋求數(shù)據(jù)間 的內(nèi)在規(guī)律，通過對已知數(shù)據(jù)列中的數(shù)據(jù)進行處理而產(chǎn)生 新的數(shù)據(jù)列，以此來研究尋找數(shù)據(jù)的規(guī)律性，這種方法稱 為數(shù)據(jù)的生成。數(shù)據(jù)的生成方式有多種，常用的方法有累加生成、累 減生成和加權(quán)累加生成等。(1)累加生成設原始數(shù)列為易,令則稱x為數(shù)列(°)的1-次累加生成，數(shù)列則稱x為數(shù)列(°)的1-次累加生成，數(shù)列x(0)則稱x為數(shù)列(°)的1-次累加生成，數(shù)列則稱x為數(shù)列(&#

4、176;)的1-次累加生成，數(shù)列兀(°)的八次累加生成。記的1 次累加生成數(shù)列。類似地有稱之為則稱x為數(shù)列(°)的1-次累加生成，數(shù)列則稱x為數(shù)列(°)的1-次累加生成，數(shù)列兀(°)的心次累加生成數(shù)列。累加的規(guī)則:將原始序列的第一個數(shù)據(jù)作為生成列的第一 個數(shù)據(jù)，將原始序列的第二個數(shù)據(jù)加到原始序列 的第一個數(shù)據(jù)上，其和作為生成列的第二個數(shù)據(jù), 將原始序列的第三個數(shù)據(jù)加到生成列的第二個數(shù) 據(jù)上，其和作為生成列的第三個數(shù)據(jù)，按此規(guī)則 進行下去，便可得到生成列。對非負數(shù)據(jù)，累加次數(shù)越多則隨機性弱化越多，累加次數(shù)足夠大后，可認為時間序列已由隨機序列變?yōu)榉请S機序列。

5、 一般隨機序列的多次累加序列，大多可用 指數(shù)曲線逼近。累加舉例：設原始時間序列為0)= 1,2,1.5,3一次累加生成列為x(1) =1,3,45,7.5x(°)的曲線是擺動的，起伏變化幅度較大, 而x已呈現(xiàn)明顯的增長規(guī)律性。(2)累減生成將原始序列前后兩個數(shù)據(jù)相減得到累減生成 序列累減是累加的逆運算，累減可將累加生成列還原為非生成列，在建模中獲得增量信息。一次累減的公式為:如果數(shù)據(jù)列為x(0)(a:)二兀(kx仇一1)，k = 2,3,，死則稱x(0)(k)為數(shù)列 x(1)的1-次累減生成。一般地，對于廠次累加生成數(shù)列則稱的累減生成數(shù)列。為數(shù)列（3）均值生成設原始數(shù)列?；?1）圜則

6、稱x(0)g)eaoi十°）翻區(qū)兀（°）伙_1）為后鄰值，?；铮榍班徶?a e 0,1則稱兀的鄰值在生成系數(shù)（權(quán)）對于常數(shù)為由數(shù)列 的鄰值生成數(shù)（或生成值）。特別地，當生成系數(shù)(x = 0.5時，則稱為緊鄰均值生成數(shù)，即等權(quán)鄰值生成數(shù)。類似地，可以定義非緊鄰值生成數(shù)而得的數(shù)列稱為緊鄰均值生成數(shù)列。2 gm （仁1）模型灰色模型是利用離散隨機數(shù)經(jīng)過生成變?yōu)殡S機性被顯 著削弱而且較有規(guī)律的生成數(shù)，建立起的微分方程形式 的模型，這樣便于對其變化過程進行研究和描述。灰色預測模型稱為gm模型，g為grey的第一個字母, m為model的第一個字母。gm (1, 1)表示一階的，一個

7、變量的微分方程型預測 模型。gm (1, 1)是一階單序列的線性動態(tài)模型，主 要用于時間序列預測。gm (1, 1)模型概述設有數(shù)列x(0)共有"個觀察值x(o)(l), x(0)(2), x(0)(m)對x(°)作累加生成，得到新的數(shù)列 xw其元素kxw(k) = yx(o)(/n) k = 2,nm=l有：x(1)(1) = x(o)(1) x(1)(2) = x(o)(l) + x(o)(2)=無+ x(o)(2)兀(3) = x(o)(l) +兀+ x= x(1)(2) + x(o)(3)x(1)(n) = x(1)(w-l) + x(o)(w)令z為x的均值序列z

8、=(z(2)，/»() 其中:z (k) = 0.5(兀(k)+xw (k -1)則gm(1,1)的灰微分方程模型為：x(l(a:)+az(1)(a:)=灰導數(shù)發(fā)展系數(shù)灰作用量式中：a.b 為待估計參數(shù)。分別稱為發(fā)展灰數(shù)和內(nèi)生 控制灰數(shù)。gm(1,1)的白化型：xw(k)為灰導數(shù)，對應于笛一atz仇)為白化背景值,對應于兀(f)則灰微分方程對應的白化方程為:dxwdt+ axw(t) = b灰方程也可改寫為：tz(k)+b= x(0) (k)設a為待估計參數(shù)向量，則a = m按最小二乘法求解，有：a = (btb 尸 bty式中：j (2)(0)(2)'b =-z (3)1y

9、 =嚴3) 嚴5）1j_x（0）（ai）_將$代入 心口，并解微分方程，有gm（1j） 預測模型白化響應式（解）為：x（1）a+i）=fx（0）（i）-a/+-弭=i,2, ka） ax（o）a+i）=x（i）a+i）-x（i）a）= （l-ea） x（o）（l）- w"汀=1，2, 'aj注意：gm（1,1）白化型不是從定義推導出來的，是一種“借用”或“白化默認”，所以，一切從白化推導出來的結(jié)果，只在不與定義型有矛盾時才成立，否則無效。也可由gm（1,1）模型推導岀另一表達式內(nèi)涵型表達式:1 - 0.5a y21 + 05a丿bax(o)(l)l+05a灰色預測的事前檢驗給

10、定序列x®能否建立較高精度的gm(1,1)模型，一般用序列x(°)的光滑比p(r)對x")作準光滑性檢驗； 用累加序列x的級比b仇)對x作準指數(shù)規(guī)律 性檢驗來判斷滿足建模條件x(0)(k)光滑比定義：pw = (1 ; 7x (k-1)(1) 若光滑比滿足且e (0, 0.5) k>3則稱x(0)為準光滑序列。級比定義：b仇)=(2)若級比滿足：xw(k)x(q)(k-l)b仏)b) ba = 3<0.5則認為x具有準指數(shù)規(guī)律。當(1) (2)都滿足時可對x®建gm(1,1)模型。若原始數(shù)據(jù)不適合建立gm(1,1)模型，則進行予處理。注：gm

11、(1, 1)模型中發(fā)展系數(shù)a的取值范圍(-2 2、ae匕+ 1， + 1丿列劉"（1）*（2）,.）,其中卅麗 少 仕二1,2,./）?-1（2）對對與護分別進行推光滑性處）二嚴（1）/卅優(yōu)-1）與準扌讖規(guī)律性 （叫滬x優(yōu)）心優(yōu)一1）檢瑟 卩tx®.（3）確定麴啟盼-z(1* (3) 1,二嚴(3)- 2(月)1 "求參數(shù)列m建立生翩據(jù)iwj模型 + 2嚴分 d dt及時間響應式剣 + 1）二（?0）0）-）嚴+你aa（6）建立原始btiwiim-充*q糾_壬（_ 1）二（兀（1）_苛（1 一護）丄 1三、模型檢驗灰色預測檢驗一般有殘差、關聯(lián)度和后驗差檢驗。(1)

12、殘差檢驗按預測模型計算0)(i),并將0)(i)累減生成")(,) 然后計算原始序列x(°與he)的絕對誤差序列及相 對誤差序列。殘差：£(i) =-i 1,2,., n殘差序列=(£(1)，£(2)昇£何)一般要求 4 <20%,最好是 4 <10%平均相對精度：p°=(l-a)xl00%平均相對誤差：a=-l-yia/i一般要求p° > 80% ,最好是 p° > 90%而對于給定的a,當a < a且亠< a成立時，(為n點的模擬相對誤差)稱為殘差合格模型。(2)關

13、聯(lián)度檢驗第一步計算原始數(shù)列x(0)的模型計算值x 第二步計算x(0)與x的絕對誤差aa(i) =1 x(o)(i) -x(o)(o i (i =1,2,兀)代入 x(o)(i).x(o)(i)數(shù)據(jù)得：a(o=lx(o)(i)-x(o)(oi第三步計算最小差與最大差最小差為：mina(i) 最人差為: moxa(j) 第四步計算關聯(lián)系數(shù)臾)郭)=式中：g(i) 第i個數(shù)據(jù)的關聯(lián)系數(shù);p分辨系數(shù)，一般取0.5第五步計算關聯(lián)度§式中：g 數(shù)列x(0)對x的關聯(lián)度。n樣本個數(shù)。根據(jù)經(jīng)驗，當p=0.5時，關聯(lián)度大于0.6便滿意了。 此外，也可計算與x的絕對關聯(lián)度e 11，若對 于給定的

14、3;0>0，有£>£0 ，則稱為關聯(lián)度合格模型。(3)后驗差檢驗a. 計算原始數(shù)列的均值元(o)=-jx(o)(i)n 1=1b. 計算原始數(shù)列的方差-元(°)2n 1=1c.計算殘差序列£(°)的均值止求殘差的方差g郭s艸c.計算均方差比弋注：對給定的cn>o,當cvc°稱模型為均方差比 合格模型。f.計算小誤差概率p = p2 (i) glvo6745sj注：對給定的po>o,當p>po稱模型為小誤差概 率合格模型。g.檢驗根據(jù)經(jīng)驗，對給定a.ecp°的一組取值，就確定 了檢驗模型模擬精度的

15、等級劃分如下表。通過以上檢驗，如果相對誤差、關聯(lián)度、均方差比值、 小誤差概率都在允許范圍之內(nèi)時，則可用所建模進行預 測，否則應進行殘差修正。表預測精度等級劃分指標臨界值相對誤差關聯(lián)度均方差比值小誤差概率ac。p0精度等級一級0.010.900.350.95二級0.050.800.500.80三級0.100.700.650.70四級0.200.600.800.60gm(1,1)模型經(jīng)以上檢驗合格后可用于預測，其預測公式為:x(0)(o = x(1)(o-x(1)(i-l)式中： x(o)(t) i時期預測值。£,x(1)(z-l)生成數(shù)列預測值，按丘g+1)計算。對于數(shù)列預測，要建立多

16、個預測模型，得到多組預測值， 然后進行分析，從中確定出一個合適的預測模型，以取定 一組合適的預測值。對于一組數(shù)列，要建立多個預測模型，是通過對原始數(shù) 列進行不同的取舍，形成新的數(shù)列，即對數(shù)列中的數(shù)據(jù)用 不同的組合方式和取舍方式派生出新的數(shù)列，對原始數(shù)列 和派生出來的新數(shù)據(jù)都建立預測模型，這樣就對一個數(shù)列 建立了多個預測模型。例如有下述原始數(shù)列：兀(0)=(兀(0),*0)(2), x(0) (3),x(0) (8)對x(0)中的數(shù)據(jù)可用如下取舍:x：o)=(兀(。),兀(。),兀(。),卅)，兀) £°)=(卅)(2)用°)(3)卅)(4),卅)(5),卅) xy

17、)= (x(0) (3), x(0) (4), x(0) (5), x(0) (6), x(0) (7) xj = (h)(4),*°)(5),h)(6),h)(7),h)(8)這樣就形成了四個新數(shù)列：,再加上原始數(shù)列，就可建立五個gm (1, 1)模型。3模型的改進一、用殘差模型進行修正若用原始時間序列 0)建立的gm(1,1)模型 檢驗不合格或精度不理想時，則可用gm (1, 1) 殘差模型進行修正以提高原gm (1, 1)模型的預 測精度，從而達到改進目的。如有原始數(shù)列由該gm (1,(1) gm (1, 1)殘差模型x(0),并已建立gm (1, 1)模型x(1)(i +1)

18、 = f x(o)(l) - -le-01 + -i a) a1)模型可得生成數(shù)列x的模擬值x(1)01)=(至/,，丘s)記生成數(shù)列x與其模擬值 亡(1)之差為r叫則有占（力=兀（力仝（力式中：j開始進行殘差修正的原始數(shù)列x（°）的數(shù)據(jù)序號；（o）（j）第j個生成數(shù)據(jù)與其模擬值的偏差。如果取j =他,&）+1,則可建模的殘差尾段為£（0） = （*（0）（硼,#（0）（他 +l）|,.,|f（o）（w）|）注意：八）必須滿足（o）（j）9j >0符號一致；n-0 >4將上述的殘差尾段仍記為艸=（£（°）（他）,艸（心 +1）,

19、63;%）（0）的的一次累加生成數(shù)列為。rd =（占）（心）,£（】）（心 +1）,£仃）（m）對占 建立gm （1, 1）模型有：公（氐+1）=9°）（心）一）+ ?, & n 心、a ja對上式求導數(shù)得殘差尾段£（°）的模擬序列鉀=（評（他）,鉀（他+1）,胛（"）其中丹）（&+ 1） = （-«'）八）（心）一丄 e-a'kk k>kqi a丿用公修正累加序列x的模擬序列x(1)則得則得x 的殘差修正gm (1, 1)模型，'心/八b、< a) (x(o)(l)- e

20、 ia)k <k0a皿 +®±£(0)仇 +1)2心 a式中的正負號應與殘差尾段£(°)的符號保持一致。二、對gm(1,1)模型的其它改進方法(1) 新信息gm (1, 1)模型不斷地補充新出現(xiàn)的信息, 即在預測下一時刻的值時，將最新的信息加入。此模型 隨著時間推移，序列長度會越來越長；(2) 新陳代謝gm (1, 1)模型即新信息出現(xiàn)后，將老 信息去掉，加入新信息，保持序列長度不變；(3) gm (1, 1)模型群法用原始時間序列數(shù)據(jù)建立 多個gm (1, 1)模型，給出預測值的區(qū)間；4灰色預測實例預測實仮原始數(shù)據(jù)x(0) = (x(0

21、)，x(0) (2)，x(0) (3)，x(0) (4)=(27260,29547,32411，35388)(1)求原始序列的一屆累加生成x=(兀，兀(2)，兀(3)，兀)=(27260,56806,89218,124606)p(k) =x(o)(k)對無作準指數(shù)規(guī)律性檢驗兀(氐)x(o)(k-l)(4)作x的緊鄰均值生成序列z并且確定b，yz仏)=05(兀仏)+兀仏一1)-z(1)(2) 1-42033.5 1'(0)(2f_29547_b =-z (3) 1-73012.5 1y =兀32411-z (4) 1-106612 1x(o)(4)35388= (btb)1bty =25

22、790.2按最小二乘法確定a，b的估計值(6)確定模型百-0.089995兀=25790.2其時間響應式(x(1k + 1) = 313834,39995* _ 286574x(0)(a; + 1) = xa)(k + 1) x(1)(zr)并得衛(wèi)的模擬值x(0) = (x(o)(l),x(o)(2),x(o)(3),x(o)(4)=(27260,29553,32337,35381)(7)檢驗誤差相對誤差檢驗殘差序列£(。)=(0),£(0)(2),嚴(3),£(°)=(0, “,74,7)相對誤差序列a = (apa2,a3a4) = (0,0.000

23、2,0.00228,0.0002)_ 1 4平均相對誤差：a = ylaz 1 = 0.067% <0.01模擬誤差：a4=0.02%<0.01,精度為一級。關聯(lián)度檢驗：997>090,關聯(lián)度為一級。均方差比檢驗：元=3115.5, s = 6103.48, e = 18.75, s2 = 64 46 c =雖=0.01 v 035,均方差比值為級。si小誤差概率:0.6745s =4116. &p = p 曲）-刃< 0.6745 s j = 1 > 095, 小誤差概率為級。(8)預測應用|x(1) (k + l) = 313834/剛995" _ 286574 tx(0)(a： + l) = x(1)(zr + l)-x(1)(a;)可得x的兩個預測值如下:x(0) = (x(0) (5), x(0) (6)=(38714,42359)、火乂歡伙！jz/達指序列中有異常值，是異常值可能