微積分授課課件：12_3齊次方程

1、 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 高高 等等 數(shù)數(shù) 學學微分方程 第十二章第十二章yxfy求已知, )( 積分問題積分問題 yy求及其若干階導數(shù)的方程已知含, 微分方程問題微分方程問題 推廣 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 高高 等等 數(shù)數(shù) 學學齊次方程 第三節(jié)第三節(jié)一、齊次方程一、齊次方程*二、可化為齊次方程的方程二、可化為齊次方程的方程 第十二章第十二章 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 高高 等等 數(shù)數(shù) 學學形如形如)(ddxyxy的方程叫做齊次方程的方程叫做齊次方程 .令令,xyu ,xuy 則代入原方程得代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分兩邊積分,

2、 得得xxuuud)(d積分后再用積分后再用xy代替代替 u, 便得原方程的通解便得原方程的通解.解法解法:分離變量分離變量: 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 高高 等等 數(shù)數(shù) 學學例例1. 解微分方程解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy則代入原方程得代入原方程得uuuxutan分離變量分離變量xxuuuddsincos兩邊積分兩邊積分xxuuuddsincos得得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解為故原方程的通解為xCxysin( 當當 C = 0 時時, y = 0 也是方程的解也是方程的解)( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )0C此處此處 哈爾濱工程大

3、學哈爾濱工程大學 高高 等等 數(shù)數(shù) 學學例例2. 解微分方程解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程變形為,xyu 令則有則有22uuuxu分離變量分離變量xxuuudd2積分得積分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原變量得通解代回原變量得通解即即Cuux )1(yCxyx)(說明說明: 顯然顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解也是原方程的解, 但在但在(C 為任意常數(shù)為任意常數(shù))求解過程中丟失了求解過程中丟失了. 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 高高 等等 數(shù)數(shù) 學學x由光的反射定律由光的反射定律:可得可得 OMA

4、= OAM = 例例3. 探照燈的聚光鏡面是一張旋轉曲面探照燈的聚光鏡面是一張旋轉曲面, 它的形狀由它的形狀由)0()(:yxfyL解解: 將光源所在點取作坐標原點將光源所在點取作坐標原點, 并設并設入射角入射角 = 反射角反射角xycotxyy22yxOMTMAPy能的要求能的要求, 在其旋轉軸在其旋轉軸 (x 軸軸)上一點上一點O處發(fā)出的一切光線，處發(fā)出的一切光線，從而從而 AO = OMOPAP xOy 坐標面上的一條曲線坐標面上的一條曲線 L 繞繞 x 軸旋轉而成軸旋轉而成 , 按聚光性按聚光性而而 AO 于是得微分方程于是得微分方程 : xyy22yx yO經(jīng)它反射后都與旋轉軸平行經(jīng)

5、它反射后都與旋轉軸平行. 求曲線求曲線 L 的方程的方程. 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 高高 等等 數(shù)數(shù) 學學21ddyxyxyx, vyx 則,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2積分得積分得故有故有1222CvyCy, xvy代入得得)2(22CxCy (拋物線拋物線)221)(vvCyCyvv21故反射鏡面為旋轉拋物面故反射鏡面為旋轉拋物面.于是方程化為于是方程化為(齊次方程齊次方程) 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 高高 等等 數(shù)數(shù) 學學yxAO頂?shù)降椎木嚯x為頂?shù)降椎木嚯x為 h ,hdC82說明說明:)(222CxCy2,2dyhCx則將則將這時旋

6、轉曲面方程為這時旋轉曲面方程為hdxhdzy1642222hd若已知反射鏡面的底面直徑為若已知反射鏡面的底面直徑為 d ,代入通解表達式得代入通解表達式得)0,(2C 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 高高 等等 數(shù)數(shù) 學學( h, k 為待為待 *二、可化為齊次方程的方程二、可化為齊次方程的方程111ddcybxacybxaxy)0(212cc,. 111時當bbaa作變換作變換kYyhXx,dd,ddYyXx則原方程化為原方程化為 YbXaYbXaXY11ddckbha111ckbha令令 0ckbha0111ckbha, 解出解出 h , k YbXaYbXaXY11dd(齊次方程齊次方程)

7、定常數(shù)定常數(shù)), 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 高高 等等 數(shù)數(shù) 學學,代入將kyYhxX求出其解后求出其解后, 即得原方即得原方 程的解程的解.,. 211時當bbaa原方程可化為原方程可化為 1)(ddcybxacybxaxy令令, ybxavxybaxvdddd則1ddcvcvbaxv(可分離變量方程可分離變量方程)注注: 上述方法可適用于下述更一般的方程上述方法可適用于下述更一般的方程 111ddcybxacybxafxy)0(212cc 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 高高 等等 數(shù)數(shù) 學學例例4. 求解求解64ddyxyxxy52xy解解:04 kh令令,5, 1YyXxYXYXXYdd得得再令再令 YX u , 得得令令06 kh1,5hk 得XXuuudd112積分得積分得uarctan)1(ln221uXCln代回原變量代回原變量, 得原方程的通解得原方程的通解: 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 高高 等等 數(shù)數(shù) 學學15arctanxy2151