線性代數與空間解析幾何：6-2 方陣的相似與對角化

1、6.2 6.2 方陣的相似與對角化方陣的相似與對角化 1. 1. 兩個方陣的相似兩個方陣的相似 示示例例11 12 11 11 01 11 21 10 3 2 11 0:1 20 3 .ABAB【注注意意】 【證證明明】1:PAPB 1|EPAP 1|()PEA P 1| | |PEAP 1| |P PEA |.EA 0 00 1,.0 00 0不不相相似似 但但特特征征多多項項式式相相同同示示例例|EB 1 02 12 1:;0 31 21 2可可對對角角化化 0 1:0 0不不能能對對角角化化0 1, :0 0若若可可對對角角化化 則則其其只只能能與與零零矩矩陣陣相相似似示示例例10 10

2、 ().0 0PP 矛矛盾盾等等式式?方方陣陣可可對對角角化化的的條條【題題】件件是是什什么么問問111,;nnnppppAA2. 2. 方陣可對角化的充要條件方陣可對角化的充要條件 【證證明明】:A設設可可對對角角化化11,nPAP 1,;nppP ?nn一一個個階階方方陣陣在在什什么么條條件件下下有有 個個線線性性無無關關的的特特【題題】征征向向量量問問【證證明明】;每每個個特特征征值值至至少少有有一一個個特特征征向向量量;對對應應不不同同特特征征值值的的特特征征向向量量線線性性無無關關.n此此方方陣陣一一定定有有 個個線線性性無無關關的的特特征征向向量量【注注意意】:此此推推論論是是方方

3、陣陣可可對對角角化化的的充充分分非非必必要要條條件件1 0, 1.0 1可可對對角角化化 但但不不同同的的特特征征值值僅僅一一個個1, 2, 3.A因因為為有有三三個個不不同同的的特特征征值值【解解】2100|021(1)(2) ;002EA A矩矩陣陣的的特特征征多多項項式式1231,2; 特特征征值值r()r(2)2.EAEA 2 :此此方方陣陣最最多多能能找找到到個個線線性性無無關關的的特特征征向向量量()0, (2)0:EA xEA x方方程程組組的的基基礎礎解解系系.都都僅僅有有一一個個向向量量.此此方方陣陣不不能能對對角角化化80 0 000 0 008 0 000 0 03, 5

4、:14 0 014 8 012 0 012 0 8EAEA 【解解】r( 3)r(5)2.EAEA 4, .A有有 個個線線性性無無關關的的特特征征向向量量 可可對對角角化化r()(1, 2,).iinEAkim 【證證明明】():A設設矩矩陣陣可可對對角角化化示示例例r()(1, 2,)iinEAkim 11r();mmiiiinEAkn :而而由由上上一一節(jié)節(jié)最最后后的的命命題題知知1r();miinnEA r()(1, 2,).iinEAkim =,總總之之(), m反反之之 若若上上述述個個等等式式成成立立: :1,.miiAkn 有有個個線線性性無無關關的的特特征征向向量量 可可對對角角化化【評評注注】13: 3r()2, 3r()1.EAEA 原原因因【證證明明】A先先求求的的所所有有特特征征值值: :2220,aab acAba bbcca cb c1r()r( )1.A 分分析析:A 試試求求的的非非零零特特征征值值, , :A由由于于相相似似一一定定等等價價 若若可可對對角角化化 其其特特征征值值為為2223.abc T()(0, 0);xxx T()()().xx TT222, 0: ;xxabc 都都是是數數 且且222123, 0, 0.Aabc總總之之 矩矩陣陣的的特特征征值值確